上海交通大学2008年振动力学期末考试试题.pdf

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1、上海交通大学上海交通大学 20082008 年振动力学期末考试试题年振动力学期末考试试题第一题（第一题（2020 分）分）1 1、在图示振动系统中，已知：重物、在图示振动系统中，已知：重物 C C 的质量的质量m m1 1，匀质杆，匀质杆ABAB的质量的质量m m2 2，长为，长为 L L，匀质轮匀质轮 O O 的质量的质量 m m3 3，弹簧的刚度系数，弹簧的刚度系数k k。当。当ABAB杆处于水平时为系统的静平衡位杆处于水平时为系统的静平衡位置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。置。试采用能量法求系统微振时的固有频率。解：解：系统可以简化成单自由度振动系统，系统可以简化成单自由度振动系统

2、，以重物以重物C C的位移的位移y y作为系统的广义坐标，作为系统的广义坐标，在静平衡位置时在静平衡位置时y y0 0，此时系统的势能为零。，此时系统的势能为零。ABAB 转角：转角：系统动能：系统动能：m m1 1动能：动能：m m2 2动能：动能：m m3 3动能：动能：系统势能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，因而有：有：上式求导，得系统的微分方程为：上式求导，得系统的微分方程为：固有频率和周期为：固有频率和周期为：2 2、质量为、质量为m m1 1的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上

3、绕有不可伸长的细绳并通过的匀质圆盘置于粗糙水平面上，轮缘上绕有不可伸长的细绳并通过定滑轮定滑轮A A连在质量为连在质量为m m2 2的物块的物块B B上；轮心上；轮心C C与刚度系数为与刚度系数为k k的水平弹簧相连；的水平弹簧相连；不计滑轮不计滑轮A A，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求，绳及弹簧的质量，系统自弹簧原长位置静止释放。试采用能量法求系统的固有频率。系统的固有频率。解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物解：系统可以简化成单自由度振动系统，以重物B B的位移的位移x x作为系统的广义坐作为系统的广义坐标，在静平衡位置时标，在静平衡位置时x x0 0，此

4、时系统的势能为零。，此时系统的势能为零。物体物体 B B 动能：动能：轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为轮子与地面接触点为速度瞬心，则轮心速度为，角速度为，角速度为，转，转过的角度为过的角度为。轮子动能：。轮子动能：系统势能：系统势能：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：在理想约束的情况下，系统的主动力为有势力，则系统的机械能守恒，有：上式求导得系统的运动微分方程：上式求导得系统的运动微分方程：固有频率为：固有频率为：第二题（第二题（2020 分）分）1 1、在图示振动系统中，重物质量为、在图示振动系统中，重物质量为m m，外壳质量为，外壳质量为 2 2m

5、m，每个弹簧的刚度系数均，每个弹簧的刚度系数均为为k k。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（。设外壳只能沿铅垂方向运动。采用影响系数方法：（1 1）以）以x x1 1和和x x2 2为广义为广义坐标，建立系统的微分方程；（坐标，建立系统的微分方程；（2 2）求系统的固有频率。）求系统的固有频率。解：解：系统为二自由度系统。系统为二自由度系统。当当 x1x11 1，x2x20 0 时，有：时，有：k11k112k2k，k21k212k2k当当 x2x21 1，x2x21 1 时，有：时，有：k22k224k4k，k12k122k2k因此系统刚度矩阵为：因此系统刚度矩阵为：系统质量矩阵

6、为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：系统动力学方程为：频率方程为：频率方程为：解出系统解出系统 2 2 个固有频率：个固有频率：，2 2、在图示振动系统中，物体、在图示振动系统中，物体A A、B B的质量均为的质量均为m m，弹簧的刚度系数均为，弹簧的刚度系数均为k k，刚杆，刚杆ADAD的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：的质量忽略不计，杆水平时为系统的平衡位置。采用影响系数方法，试求：（1 1）以）以x x1 1和和x x2 2为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（为广义坐标，求系统作微振动的微分方程；（2 2）系统的固有频）系统的固有频率方程。率方程。解

7、：解：系统可以简化为二自由度振动系统，以物体系统可以简化为二自由度振动系统，以物体 A A 和和 B B 在铅垂方向的位移在铅垂方向的位移x x1 1和和x x2 2为系统的广义坐标。为系统的广义坐标。当当 x1x11 1，x2x20 0 时，时，ADAD 转角为转角为，两个弹簧处的弹性力分别为两个弹簧处的弹性力分别为另外有另外有。和和。对。对 D D 点取力矩平衡，有：点取力矩平衡，有：；同理，当同理，当 x2x21 1，x2x21 1 时，可求得：时，可求得：，因此，系统刚度矩阵为：因此，系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：系统动力学方程为：频率方程为：频率方

8、程为：即：即：第三题（第三题（2020 分）分）在图示振动系统中，已知：物体的质量在图示振动系统中，已知：物体的质量m m1 1、m m2 2及弹簧的刚度系数为及弹簧的刚度系数为k k1 1、k k2 2、k k3 3、k k4 4。（1 1）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；）采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2 2）若）若k k1 1=k k3 3=k k4 4=k k0 0，又又k k2 2=2=2k k0 0，求系统固有频率；（，求系统固有频率；（3 3）取）取k k0 0=1=1，m m1 1=8/9=8/9，m m2 2=1=1，系统初始位移条，系统初始位移条件为件为

9、 x x1 1(0)=9(0)=9 和和 x x2 2(0)=0(0)=0，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。，初始速度都为零，采用模态叠加法求系统响应。解：解：（1 1）系统可以简化为二自由度振动系统。）系统可以简化为二自由度振动系统。当当 x1x11 1，x2x20 0 时，有：时，有：k11k11k1+k2+k4k1+k2+k4，k21k21k2k2当当 x2x21 1，x2x21 1 时，有：时，有：k22k22k2+k3k2+k3，k12k12k2k2。因此，系统刚度矩阵为：。因此，系统刚度矩阵为：系统质量矩阵为：系统质量矩阵为：系统动力学方程为：系统动力学方程为：（2 2）

10、当）当，时，运动微分方程用矩阵表示为：时，运动微分方程用矩阵表示为：频率方程为：频率方程为：求得：求得：（3 3）当）当k k0 0=1=1，m m1 1=8/9=8/9，m m2 2=1=1 时，系统质量阵：时，系统质量阵：系统刚度阵：系统刚度阵：固有频率为：固有频率为：，主模态矩阵为：主模态矩阵为：主质量阵：主质量阵：主刚度阵：主刚度阵：模态空间初始条件：模态空间初始条件：，模态响应：模态响应：，即：即：，因此有：因此有：第四题（第四题（2020 分）分）一匀质杆质量为一匀质杆质量为 m m，长度为长度为 L L，两端用弹簧支承，两端用弹簧支承，弹簧的刚度系数为弹簧的刚度系数为 k k1

11、1和和 k k2 2。杆质心杆质心 C C 上沿上沿x x方向作用有简谐外部激励方向作用有简谐外部激励。图示水平位置为静平衡位置。图示水平位置为静平衡位置。（1 1）以）以x x和和为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（为广义坐标，采用影响系数方法建立系统的振动微分方程；（2 2）取参数值为取参数值为 m=12m=12，L L=1=1，k k1 1=1=1，k k2 2=3=3，求出系统固有频率；（，求出系统固有频率；（2 2）系统参数仍取）系统参数仍取前值，试问当外部激励的频率前值，试问当外部激励的频率而无而无x x方向的振动？方向的振动？为多少时，能够使得杆件只有为多少时，

12、能够使得杆件只有方向的角振动，方向的角振动，解：解：（1 1）系统可以简化为二自由度振动系统，选）系统可以简化为二自由度振动系统，选x x、q q为广义坐标，为广义坐标，x x为质心的纵向为质心的纵向位移，位移，q q为刚杆的角位移，如图示。为刚杆的角位移，如图示。当当、时：时：，当当、时：时：，因此，刚度矩阵为：因此，刚度矩阵为：质量矩阵为：质量矩阵为：系统动力学方程：系统动力学方程：（2 2）当）当 m=12m=12，L L=，k k1 1=1=1，k k2 2=3=3 时，系统动力学方程为：时，系统动力学方程为：频率方程为：频率方程为：即：即：求得：求得：（3 3）令）令，代入上述动力学

13、方程，有：，代入上述动力学方程，有：由第二行方程，解得由第二行方程，解得，代入第一行的方程，有：，代入第一行的方程，有：，要使得杆件只有要使得杆件只有方向的角振动，而无方向的角振动，而无x x方向的振动，则需方向的振动，则需，因此，因此。第五题（第五题（2020 分）分）如图所示等截面悬臂梁，梁长度为如图所示等截面悬臂梁，梁长度为L L，弹性模量为，弹性模量为E E，横截面对中性轴的惯性矩，横截面对中性轴的惯性矩为为I I，梁材料密度为，梁材料密度为为：为：解梁的响应解梁的响应，的详细过程。的详细过程。，相应的模态函数为，相应的模态函数为，）。在梁的。在梁的 位置作用有集中载荷位置作用有集中载

14、荷。已知梁的初始条件。已知梁的初始条件。（。（1 1）推导梁的正交性条件；（）推导梁的正交性条件；（2 2）写出求）写出求（假定已知第（假定已知第i i阶固有频率为阶固有频率为提示：梁的动力学方程为：提示：梁的动力学方程为：，为为函数。函数。，其中，其中解：解：（1 1）梁的弯曲振动的动力学方程为：）梁的弯曲振动的动力学方程为：可写为：可写为：代入梁的动力学方程，有：代入梁的动力学方程，有：设与设与、对应有对应有、，有：，有：（1 1）（2 2）式（式（1 1）两边乘以）两边乘以并沿梁长对并沿梁长对积分，有：积分，有：（3 3）利用分部积分，上式左边可写为：利用分部积分，上式左边可写为：（4

15、4）由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时由于在梁的简单边界上，总有挠度或剪力中的一个与转角或弯矩中的一个同时为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：为零，所以，上式右边第一、第二项等于零，成为：将上式代入（将上式代入（3 3）中，有：）中，有：（5 5）式（式（2 2）乘）乘并沿梁长对并沿梁长对积分，同样可得到：积分，同样可得到：（6 6）由式由式(5)(5)、(6)(6)得：得：（7 7）如果如果时，时，则有：，则有：当当（8 8）上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（上式即梁的主振型关于质量的正交性。再由（3 3）及（）及（6 6）可得：）可得：当当

16、当当上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。上两式即梁的主振型关于刚度的正交性。当当、时，式（时，式（7 7）总能成立，令：）总能成立，令：即为第即为第j j阶主质量和第阶主质量和第j j阶主刚度。阶主刚度。由式（由式（6 6）知有：）知有：如果主振型如果主振型中的常数按下列归一化条件来确定：中的常数按下列归一化条件来确定：（9 9）则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第则所得的主振型称为正则振型，这时相应的第j j阶主刚度阶主刚度式（式（9 9）与（）与（8 8）可合并写为：）可合并写为：为为。由式（由式（6 6）知有：）知有：，（2 2）悬臂梁的运动微分方程为：）悬臂梁的运动微分方程为：（1 1）其中：其中：（2 2）令：令：（3 3）代入运动微分方程，有：代入运动微分方程，有：（4 4）上式两边乘上式两边乘，并沿梁长度对，并沿梁长度对 x x 进行积分，有：进行积分，有：（5 5）利用正交性条件，可得：利用正交性条件，可得：（6 6）其中广义力为：其中广义力为：（7 7）初始条件可写为：初始条件可写为：（8 8）上式乘以上式乘以，并沿梁长度对，并沿梁长度对 x x 积分，由正交性条件可得：积分，由正交性条件可得：（9 9）由式（由式（6 6），可得：），可得：（1010）利用式（利用式（3 3），梁的响应为：），梁的响应为：