2007年高考理科数学试题及参考答案(湖北卷).pdf

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1、20072007 年高考理科数学试题及参考答案（湖北卷）年高考理科数学试题及参考答案（湖北卷）满分 150 分，考试时间 120 分钟一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 1010 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 5050 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的2 1如果3x23的展开式中含有非零常数项，则正整数n的最小值为（）xn35 x3661042将y 2 cos（）y 2 cosy 2 cos 2平移，则平移后所得图象的解析式为的图象按向量a a，x3 24y 2 cosy 2 cos x3 24 x

2、3 212 x3 2123设P和Q是两个集合，定义集合P Q x|x P，且x Q，如果P x|log2x 1，Q x|x 2 1，那么P Q等于（）x|0 x 1x|1x 2x|0 x1x|2x 34平面外有两条直线m和n，如果m和n在平面内的射影分别是m 和n，给出下列四个命题：m n m n；m n m n；m 与n相交m与n相交或重合；m 与n平行m与n平行或重合其中不正确的命题个数是（）12341 11n1 11nqp5已知p和q是两个不相等的正整数，且q 2，则limn（）A0B1CpqDp 1q 16若数列an满足an1a2n2，则称an为“等方比数列”p（p为正常数，n N N

3、）甲：数列an是等方比数列；乙：数列an是等比数列，则（）A甲是乙的充分条件但不是必要条件B甲是乙的必要条件但不是充分条件C甲是乙的充要条件D甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件7双曲线C1:xa22yb22 1(a 0，b 0)的左准线为l，左焦点和右焦点分别为F1和F2；F1F2MF1M1FMF2抛物线C2的准线为l，焦点为F2；C1与C2的一个交点为M，则A1B1C12等于（）D12AnBn7n 4 5n 3anbn8 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别为 An和Bn，且为整数的正整数n的个数是（）A2B3C4D5，则使得9连掷两次骰子得到的点数分别为m和n，记向量a a=(m，

4、n)与向量b b (1，1)的夹角为，则0，的概率是（）A512xaByb12C7122D25610已知直线 1（a，b是非零常数）与圆x y 100有公共点，且公共点的横坐标和纵坐标均为整数，那么这样的直线共有（）A60 条B66 条C72 条D78 条二、填空题：本大题共二、填空题：本大题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2525分把答案填在答题卡相应位置上分把答案填在答题卡相应位置上11已知函数y 2x a的反函数是y bx 3，则a；b 212复数z a bi，a，b R R，且b 0，若z 4bz是实数，则有序实数对(a，b)可以是（写出一个有序实数对即可）

5、x y 0，13设变量x，y满足约束条件则目标函数2x y的最小值为2 x 3.14某篮运动员在三分线投球的命中率是12，他投球 10 次，恰好投进 3 个球的概率y（毫克）（用数值作答）15为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为 1 y 16ta1（a为常数），如图所示据图中提供的信息，回答下列问题：（I）从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式为；O0.1t（小时）（II）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时

6、，学生方可进教室，那么药物释放开始，至少需要经过小时后，学生才能回到教室三、三、解答题：解答题：本大题共本大题共 6 6 小题，共小题，共7575 分分解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤16（本小题满分 12 分）已知 ABC的面积为3，且满足0 AB AC 6，设AB和AC的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数f()2 sin243 cos 2的最大分组1.30，1.34)1.34，1.38)1.38，1.42)1.42，1.46)1.46，1.50)1.50，1.54)频数4值与最小值17（本小题满分 12 分）在生产过程中，测得纤维产品的纤度

7、（表示纤维粗细的一种量）共有 100个数据，将数据分组如右表：（I）在答题卡上完成频率分布表，并在给定的坐标系中画出频率分布直方图；（II）估计纤度落在1.38，1.50)中的概率及纤度小于1.40的概率是多少？253029102（III）统计方法中，同一组数据常用该组区间的中点值（例如区间1.30，1.34)的中点值是1.32）作为代表据合计此，估计纤度的期望18（本小题满分 12 分）100如图，在三棱 锥V ABC中，VC 底面ABC，AC BC，D是AB的中 点，且AC BC a，VDC 0 2（I）求证：平面VAB VCD；（II）当解变化时，求直线BC与平面VAB所成的角的取值范围

8、VCDA19（本小题满分 12 分）B在平面直角坐标系xOy中，过定点C(0，p)作直线与抛物线x2 2 py（p 0）相交于A，B两点（I）若点N是点C关于坐标原点O的对称点，求 ANB面积的最小值；（II）是否存在垂直于y轴的直线l，使得l被以AC为直径的圆截得的弦长恒为定值？若存在，求出l的方程；若不存在，说明理由yCAON（此题不要求在答题卡上画图）20（本小题满分 13 分）已知定义在正实数集上的函数f(x)12Bx2x 2ax，g(x)3a ln x b，其中a 0设两2曲线y f(x)，y g(x)有公共点，且在该点处的切线相同（I）用a表示b，并求b的最大值；（II）求证：f(

9、x)g(x)（x 0）21（本小题满分 14 分）已知m，n为正整数，m（I）用数学归纳法证明：当x 1时，(1 x)1 mx；11m1（II）对于n 6，已知1，求证，1n 32m 32mmm求证1 n 3m 1 2，n；，m 1，2m（III）求出满足等式3n 4n (n 2)n(n 3)m的所有正整数n20072007 年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）年普通高等学校招生全国统一考试（湖北卷）数学（理工农医类）试题参考答案数学（理工农医类）试题参考答案一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题一、选择题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 5050 分分1

10、2345678910二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题二、填空题：本题考查基础知识和基本运算每小题 5 5 分，满分分，满分 2525 分分116；2112(2，1)（或满足a 2b的任一组非零实数对(a，b)）1 10t，0t，1015y；0.61t1 1 10，t 101613321415128三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 6 6 小题，共小题，共 7575 分分16本小题主要考查平面向量数量积的计算、解三角形、三角公式、三角函数的性质等基本知识，考查推理和运算能力解：（）设 ABC中角A，B，C的对边分别为a，b，c，则由1bc sin 3，0bc cos6，可得0

11、cot1，4，2243 cos 21 cos 223 cos 2（）f()2 sin2(1 sin 2)3 cos 2 sin 23 cos 21 2 sin213 132，2，22 sin2363342即当512时，f()max 3；当4时，f()min 217本小题主要考查频率分布直方图、概率、期望等概念和用样本频率估计总体分布的统计方法，考查运用概率统计知识解决实际问题的能力解：（）分组1.341.30，1.381.34，1.421.38，1.461.42，1.501.46，1.541.50，频数频率42530291021000.040.250.300.290.100.021.00合计频

12、率/组距1.30 1.34 1.38 1.42 1.46 1.50 1.54样本数据1.50中的概率约为0.30 0.29 0.10 0.69，纤度小于 1.40 的概率（）纤度落在1.38，约为0.04 0.25 12 0.30 0.44（）总体数据的期望约为1.32 0.04 1.36 0.25 1.40 0.30 1.44 0.29 1.48 0.10 1.52 0.02 1.408818本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力解法 1：（）AC BC a，ACB是等腰三角形，又D是AB的中点，CD AB，又VC

13、 底面ABCVC AB于是AB 平面VCD又AB 平面VAB，平面VAB 平面VCD（）过点C在平面VCD内作CH VD于H，则由（）知CD 平面VAB连接BH，于是CBH就是直线BC与平面VAB所成的角在R Rt tCHD中，CH 22a sin；设CBH，在R Rt t BHC中，CH a sin，0 222sin sin，224 0 sin 1，0 sin2V又0，0 H4即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0，ACDB解法 2：（）以CA，CB，CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间 aa直角坐标系，则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，0，

14、V22 aa2于是，VD，a tan22220，0，a tan2，aa，CD，0)0，AB (a，a，22 1212 aa从而AB CD (a，a，0)，0 aa 0 0，即AB CD2222 aa2同理AB VD (a，a，0)，a tan2221212 aa 0 0，22即AB VD又CD VD D，AB 平面VCD又AB 平面VAB平面VAB 平面VCD（）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n n (x，y，z)，z AB 0，n n VD 0则由n nVax ay 0，得aa2az tan 0 x y 2221，2 cot)，又BC (0，a，0)，可取n n

15、(1，CDAxByn n BC于是sinn nBCa a2 2 cot222sin，0 2，0 sin 1，0 sin222又0，0 44即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0，解法 3：（）以点D为原点，以DC，DB所在的直线分别为x轴、y轴，建立如图所示2a，0，B0，a，0，C2222，a，0，02的空间 直角 坐标 系，则D(0，0，0)，A0，22Va，0，a tan22AB (0，2a，0)22，于是DV a，0，a tan222，DC a，0，02 2从而AB DC (0，2a，0)a，0，0 0，即AB DC2 22同理ABDV (0，2a，0)a，0，a tan22 0，

16、即AB DV又DC DV D，AB 平面VCD又AB 平面VAB，平面VAB 平面VCD（）设直线BC与平面VAB所成的角为，平面VAB的一个法向量为n n (x，y，z)，2ay 0，AB 0，n n DV 0，得则由n n22ax az tan 02222可取n n (tan，a，a，0，0，1)，又BC 22V2a tann n BC22sin，于是sin2a 1 tann nBCCDAxBy 0 2，0 sin 1，0 sin222又0，0 4，4即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0，解法 4：以CA，CB，CV所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐 aa标系，

17、则C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，a，0)，D，022设V(0，0，t)(t 0)aa（）CV (0，0，t)，CD，0，AB (a，a，0)，22 AB CV (a，a，0)(0，0，t)0 0 0 0，zV即AB CV22 aa aaAB CD (a，a，0)，0 0 0，2222CDAxBy即AB CD又CV CD C，AB 平面VCD又AB 平面VAB，平面VAB 平面VCD（）设直线BC与平面VAB所成的角为，设n n (x，y，z)是平面VAB的一个非零法向量，AB (x，y，z)(a，a，0)ax ay 0，n n则取z a，得x y tAV (x，y，z)(a，0t

18、)ax tz 0，n n 0)，可取n n (t，t，a)，又CB (0，a，n n CB于是sin n nCBatat t a222t2t a21 a 2 t2，t (0，)，sin关于t递增 0 sin12，0，44即直线BC与平面VAB所成角的取值范围为0，19本小题主要考查直线、圆和抛物线等平面解析几何的基础知识，考查综合运用数学知识进行推理运算的能力和解决问题的能力解法 1：（）依题意，点N的坐标为N(0，p)，可设A(x1，y1)，B(x2，y2)，x2 2 p，y，消 去y得p与x 2 p y联 立 得x py k 2直 线AB的 方 程 为y k xx 2 pkx 2 p 02

19、2y由韦达定理得x1 x2 2 pk，x1x2 2 p2于是S ABN S BCN S ACN 2 p x1 x221BCAONx p x1 x2 p(x1 x2)4x1x2 p4 p k 8 p 2 p22222k 2，22当k 0时，(S ABN)min 22 p（）假设满足条件的直线l存在，其方程为y a，AC的中点为O，l与AC为直径的圆相交于点P，Q，PQ的中点为H，则OH PQ，Q点的坐标为 OP 12AC 122 x1y p，1222yx1(y1 p)12y1 p，22BlAOCOOH a y1 p22122a y1 p，2x PH2 OP OH14(y1 p)2214(2 a

20、y1 p)2Np a y1 a(p a)，22 PQp 2(2 PH)4a y1 a(p a)2令a p2得a 0，p2，此时PQ p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y p2，即抛物线的通径所在的直线解法 2：（）前同解法 1，再由弦长公式得AB 1 k22x1 x22k 2，1 k 2(x1 x2)4x1x221 k 24 p k 8 p222 2 p1 k 又由点到直线的距离公式得d 2 p1 k22从而S ABN dAB 2 p1 k 1122k 2 22 p1 k2 2 p2k 2，2当k 0时，(S ABN)min 22 p2（）假 设满足 条件的 直线l存在，其 方程为y

21、a，则以AC为直径 的圆的 方程为(x 0)(x x1)(y p)(y y1)0，2将直线方程y a代入得x x1x (a p)(a y1)0，则 x1 4(a p)(a y1)4a 2p y a(p a)12设直线l与以AC为直径的圆的交点为P(x3，y3)，Q(x4，y4)，p p 4a y1 a(p a)2a y1 a(p a)22则有PQ x3 x4令a p2 0，得a p2，此时PQ p为定值，故满足条件的直线l存在，其方程为y p2，即抛物线的通径所在的直线20本小题主要考查函数、不等式和导数的应用等知识，考查综合运用数学知识解决问题的能力解：（）设y f(x)与y g(x)(x

22、0)在公共点(x0，y0)处的切线相同3ax2 f(x)x 2a，g(x)，由题意f(x0)g(x0)，f(x0)g(x0)12222x0 2ax0 3a ln x0 b，3a即由x0 2a 得：x0 a，或x0 3a（舍去）23ax0 x 2a，0 x0即有b 令h(t)1252a 2a 3aln a 2222252a 3aln a22t 3tln t(t 0)，则h(t)2t(1 3ln t)于是1当t(1 3ln t)0，即0 t e3时，h(t)0；1当t(1 3ln t)0，即t e3时，h(t)01故h(t)在0，e313 为减函数，为增函数，在e，213于是h(t)在(0，)的最

23、大值为he3e32（）设F(x)f(x)g(x)3ax212x 2ax 3aln x b(x 0)，22则F(x)x 2a(x a)(x 3a)x(x 0)故F(x)在(0，a)为减函数，在(a，)为增函数，于是函数F(x)在(0，)上的最小值是F(a)F(x0)f(x0)g(x0)0故当x 0时，有f(x)g(x)0，即当x 0时，f(x)g(x)21本小题主要考查数学归纳法、数列求和、不等式等基础知识和基本的运算技能，考查分析问题能力和推理能力解法 1：（）证：用数学归纳法证明：2（）当m 1时，原不等式成立；当m 2时，左边 1 2x x，右边 1 2x，因为x0，所以左边右边，原不等式

24、成立；k（）假设当m k时，不等式成立，即(1 x)1 kx，则当m k 1时，2 x 1，1 x 0，于是在不等式(1 x)k1 kx两边同乘以1 x得(1 x)(1 x)(1 kx)(1 x)1(k 1)x kx1(k 1)x，k2所以(1 x)k 11(k 1)x即当m k 1时，不等式也成立综合（）（）知，对一切正整数m，不等式都成立1m（）证：当n6，mn时，由（）得11 0，n 3n 3m1于是11n 3n 3nnmmn11n 3m 1，2，n，m 12m（）解：由（）知，当n6时，1 1 1 1 1 1 1 1，nn 3n 3n 32222 n 2 n 1 3 1n 3n 3n

25、3nnn1n2nnn21n即3n 4n (n 2)n(n 3)n即当n6时，不存在满足该等式的正整数n故只需要讨论n 1，2，3，4，5的情形：当n 1时，3 4，等式不成立；当n 2时，32 42 52，等式成立；当n 3时，33 43 53 63，等式成立；当n 4时，34 44 54 64为偶数，而74为奇数，故34 44 54 64 74，等式不成立；当n 5时，同n 4的情形可分析出，等式不成立3综上，所求的n只有n 2，解法 2：（）证：当x 0或m 1时，原不等式中等号显然成立，下用数学归纳法证明：m当x 1，且x 0时，m2，(1 x)1 mx22（）当m 2时，左边 1 2x

26、 x，右边 1 2x，因为x 0，所以x 0，即左边右边，不等式成立；k（）假设当m k(k2)时，不等式成立，即(1 x)1 kx，则当m k 1时，2因为x 1，所以1 x 0又因为x 0，k2，所以kx 0k于是在不等式(1 x)1 kx两边同乘以1 x得(1 x)(1 x)(1 kx)(1 x)1(k 1)x kx 1(k 1)x，k2所以(1 x)k 1 1(k 1)x即当m k 1时，不等式也成立综上所述，所证不等式成立111（）证：当n6，mn时，1，1n 3n 32nmm 1，2n1m而由（），11 0 n 3n 3nnm，mmm1 1 11n 3n 32（）解：假设存在正整数n06使等式33即有n 30n0n0 4n0 (n0 2)n0(n0 3)n0成立，4n 30n0n0 n 2 0n 30n0n0 1n03又由（）可得n 30n01n0 3n04n 30n0 n 2 0n 30n0n01 1n0 31 1n0 3 1 2n0 1 2n01 12 112n0 1，与式矛盾故当n6时，不存在满足该等式的正整数n下同解法 1