2013全国数学联赛初中数学试题及答案.pdf

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1、2013 全国数学联赛初中数学竞赛试题参考答案初中数学竞赛试题参考答案一、选择题一、选择题a 2b3c 0，abbc ca1设非零实数a，b，c满足则2的值为（）222a 3b4c 0，a b c1（A）2【答案】【答案】A（B）0（C）12（D）1【解答】【解答】由已知得a bc (2a 3b4c)(a 2b3c)0，故(a b c)2 0于是1abbc ca1abbc ca (a2b2c2)，所以2 222a b c22已知a，b，c是实常数，关于x的一元二次方程ax2bx c 0有两个非零实根x1，x2，则下列关于x的一元二次方程中，以11，为两个实根的是（）2x12x2（A）c2x2(

2、b22ac)x a2 0（C）c2x2(b22ac)x a2 0【答案】【答案】B（B）c2x2(b22ac)x a2 0（D）c2x2(b22ac)x a2 0【解答】【解答】由于ax2bx c 0是关于x的一元二次方程，则a 0因为x1 x2 b，ac11(x1 x2)22x1x2b22ac11a2，222，x1x2，且x1x2 0，所以c 0，且222ax1x2x12x2c2x1x2c于 是 根 据 方 程 根 与 系 数 的 关 系，以11，为 两 个 实 根 的 一 元 二 次 方 程 是2x12x2b22aca22222c x(b 2ac)x a 0 x x 0，即2cc23如图，

3、在 RtABC 中，已知 O 是斜边 AB 的中点，CDAB，垂足为 D，DEOC，垂足为 E若 AD，DB，CD 的长度都是有理数，则线段OD，OE，DE，AC 的长度中，不一定是有理数的为（）（A）OD（B）OE（第（第 3 3 题）题）（C）DE【答案】【答案】D（D）AC【解答】【解答】因 AD，DB，CD 的长度都是有理数，所以，OAOBOC数OD2DCDO由 RtDOERtCOD，知OE，DE 都OCOC（第（第 3 3 题答题）题答题）AD BD是有理数于是，ODOAAD 是有理2AB不一定是有理数是有理数，而 ACAD4如图，已知ABC 的面积为 24，点D 在线段 AC 上，

4、点F在线段 BC 的延长线上，且BC 4CF，DCFE 是平行四边形，则图中阴影部分的面积为（）（A）3（C）6【答案】【答案】C【解答】【解答】因为 DCFE 是平行四边形，所以 DE/CF，且 EF/DC连接 CE，因为 DE/CF，即 DE/BF，所以 SDEB=SDEC，因此原来阴影部分的面积等于ACE 的面积连接 AF，因为 EF/CD，即 EF/AC，所以 SACE=SACF因为BC 4CF，所以 SABC=4SACF 故阴影部分的面积为 6（B）4（D）8（第（第 4 4 题）题）5对于任意实数 x，y，z，定义运算“*”为：x y 3x3y 3x2y2 xy345（第（第 4

5、4 题答题）题答题）x 1y 118219673360，且x yz x yz，则20132012（A）60796732的值为（）（C）5463967（B）（D）16389967【答案】【答案】C【解答】【解答】设201320124 m，则201320123m333m29 m27 45 9，43 m3m33m23m 1646039323922292345546332 923310 3 60967于是20132012二、填空题二、填空题6设a 3，b 是a2的小数部分，则(b 2)3的值为【答案】【答案】9【解答】【解答】由于1 a 2 a2 3，故b a22 9 2，因此(b 2)3(39)3

6、97如图，点 D，E 分别是ABC 的边 AC，AB 上的点，直线BD 与 CE 交于点 F，已知CDF，BFE，BCF 的面积分别是 3，4，5，则四边形 AEFD 的面积是【答案】【答案】3320413（第（第 7 7 题）题）【解答】【解答】如图，连接 AF，则有：SAEF 4SAEF SBFEBFSBCF5=，SAFDSAFDFDSCDF3SAFD3SAFD SCDFCFSBCF5，SAEFSAEFFESBEF4解得SAEF10896，SAFD1313（第（第 7 7 题答题）题答题）所以，四边形 AEFD 的面积是204138已知 正整 数 a，b，c 满足ab22c2 0，3a28

7、bc 0，则abc的最大值为【答案】【答案】2013【解答】【解答】由已知ab22c2 0，3a28bc 0消去 c，并整理得b826a2a 66由 a 为正整数及6a2a66，可得 1a32若a 1，则b8 59，无正整数解；若a 2，则b8 40，无正整数解；若a 3，则b8 9，于是可解得b 11，b 5（i）若b 11，则c 61，从而可得abc 31161 2013；（ii）若b 5，则c 13，从而可得abc 3513195综上知abc的最大值为2013229实数 a，b，c，d 满足：一元二次方程x2cx d 0的两根为 a，b，一元二次方程x2ax b 0的 两 根 为c，d，

8、则 所 有 满 足 条 件 的 数 组(a，b c d)为【答案】【答案】(1，2，1 2)，(t，0 t，0)（t为任意实数）ab c，ab d，【解答】【解答】由韦达定理得cd a，cd b由上式，可知b a c d若b d 0，则a db1，c 1，进而b d a c 2bd若b d 0，则c a，有(a，b c d)(t，0 t，0)（t为任意实数）经检验，数组(1，2，1 2)与(t，0 t，0)（t为任意实数）满足条件10小明某天在文具店做志愿者卖笔，铅笔每支售 4 元，圆珠笔每支售 7 元开始时他有铅笔和圆珠笔共 350 支，当天虽然笔没有全部卖完，但是他的销售收入恰好是2013

9、 元则他至少卖出了支圆珠笔【答案】【答案】2074x7y 2013，【解答】【解答】设 x，y 分别表示已经卖出的铅笔和圆珠笔的支数，则x y 350，所以x 20137yy 1，(5032y)44于是y 1是整数又2013 4(x y)3y 43503y，4所以y 204，故 y 的最小值为 207，此时x 141三、解答题三、解答题11如图，抛物线y ax2bx 3，顶点为 E，该抛物线与x轴交于 A，B 两点，与y轴1交于点 C，且 OBOC3OA直线y x1与y轴交于点 D3求DBC CBE1【解答】【解答】将x 0分别代入y x 1，y ax2bx 3知，3D(0，1)，C(0，3)

10、，1所以 B(3，0)，A(1，0)直线y x 1过点 B3（第（第 1111题）题）将点 C(0，3)的坐标代入y a(x 1)(x 3)，得a 15 5 分分抛物线y x2 2x 3的顶点为E(1，4)于是由勾股定理得BC3 2，CE2，BE2 5因为 BC2CE2BE2，所以，BCE 为直角三角形，BCE 901010 分分因此 tanCBE=（第（第 1111题答题）题答题）CE1OD1=又 tanDBO=，则DBOCBEOB3CB31515 分分所以，DBC CBE DBC DBO OBC 452020 分分12设ABC的外心，垂心分别为O，H，若B，C，H，O共圆，对于所有的ABC

11、，求BAC所有可能的度数【解答】【解答】分三种情况讨论（i）若ABC为锐角三角形因为BHC 180 A，BOC 2A，所以由BHC BOC，可得180A 2A，于是A 605 5 分分（ii）若ABC为钝角三角形当A 90时，因为BHC 180 A，BOC 2180 A，所以由BHC BOC 180，可得3180A180，于是A120。1010 分分当A 90时，不妨假设B 90，因为BHC A，BOC 2A，所以由BHC BOC 180，可得3A180，于是A 601515 分分（iii）若ABC为直角三角形当A 90时，因为O为边BC的中点，B，C，H，O不可能共圆，所以A不可能等于90；

12、当A 90时，不妨假设B 90，此时点 B 与 H 重合，于是总有B，C，H，O共圆，因此A可以是满足0 A 90的所有角综上可得，A所有可能取到的度数为所有锐角及1202020 分分（第（第 1212 题答题（题答题（i）（第（第 1212 题答题（题答题（ii）13 设a，b，c是素数，记x bca，y cab，z abc，当z2 y,时，a，b，c能否构成三角形的三边长？证明你的结论【解答】【解答】不能111依题意，得a(y z)，b(x z)，c(x y)22211z(z 1)因为y z2，所以a(y z)(z2 z)222x y 2又由于z为整数，a为素数，所以z 2或3，a 310

13、10 分分当z 2时，y z2 4，x(y 2)216进而，b 9，c 10，与b，c是素数矛盾；1515 分分当z 3时，a bc 0，所以a，b，c不能构成三角形的三边长2020 分分14如果将正整数 M 放在正整数 m 左侧，所得到的新数可被 7 整除，那么称 M 为 m 的“魔术数”（例如，把 86 放在 415 的左侧，得到的数 86415 能被 7 整除，所以称 86 为 415的魔术数）求正整数 n 的最小值，使得存在互不相同的正整数a1，a2，an，满足对任意一个正整数 m，在a1，a2，an中都至少有一个为 m 的魔术数【解答】【解答】若 n6，取m 1，2，7，根据抽屉原理知，必有a1，a2，an中的一个正整数 M 是i，j(1ij7)的公共的魔术数，即 7|(10M i)，7|(10M j)则有7|(j i)，但 0j i6，矛盾故 n71010 分分又当a1，a2，an为 1，2，7 时，对任意一个正整数 m，设其为k位数（k为正整2，数）则10kim（i 1，7）被7 除的余数两两不同若不然，存在正整数i，j(1ij7)，满足 7|(10kj m)(10ki m)，即7|10k(j i)，从而 7|(j i)，矛盾故必存在一个正整数i(1i7)，使得 7|(10ki m)，即i为 m 的魔术数所以，n 的最小值为 72020 分分