中国石油大学2008至2009学年第一学期高等数学期末考试试题.pdf

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1、中国石油大学中国石油大学20082008至至20092009学年第一学期高等数学期末考试试题学年第一学期高等数学期末考试试题中国石油大学中国石油大学 2008200820092009 学年第一学期学年第一学期高等数学期末考试试卷高等数学期末考试试卷(理工科类理工科类)专业班级专业班级姓姓名名学学号号开课系室开课系室数学学院基础数学系数学学院基础数学系考试日期考试日期 2009 2009 年年 1 1 月月 5 5 日日页页 码码一一二二三三四四五五六六总分总分得得分分阅卷人阅卷人说明：说明：1 1 本试卷正文共本试卷正文共 6 6 页。页。2 2封面及题目所在页背面及附页为草稿纸。封面及题目所

2、在页背面及附页为草稿纸。3 3答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿答案必须写在题后的横线上，计算题解题过程写在题下空白处，写在草稿纸上无效。纸上无效。一、填空题一、填空题(本题共本题共 5 5 小题，每小题小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分).).（1 1）=_.=_.（2 2）曲线）曲线上与直线上与直线平行的切线方程为平行的切线方程为_._.（3 3）已知）已知，且，且,则则_._.（4 4）曲线）曲线的斜渐近线方程为的斜渐近线方程为_._.（5 5）微分方程）微分方程的通解为的通解为_._.二、选择题二、选择题(本题共本题共 5 5 小题，每小题

3、小题，每小题 4 4 分，共分，共 2020 分分).).（1 1）下列积分结果正确的是（）下列积分结果正确的是（）(A)(A)(B)(B)(C)(C)(D)(D)（2 2）函数函数在在内有定义，内有定义，其导数其导数的图形如图的图形如图 1-11-1 所示，所示，则则（(A)(A)都是极值点都是极值点.(B)(B)都是拐点都是拐点.(C)(C)是极值点是极值点.，是拐点是拐点.(D)(D)是拐点，是拐点，是极值点是极值点.图图 1-11-1（3 3）函数）函数满足的一个微分方程是（满足的一个微分方程是（）.（A A）（B B）（C C）（D D）（4 4）设设在在处可导，则处可导，则为（为（

4、）.(A)(A).(B).(B).(C)0.(D).(C)0.(D)不存在不存在.）（5 5）下列等式中正确的结果是）下列等式中正确的结果是（）.(A)(A)(C)(C)(B)(B)(D)(D)三、计算题（本题共三、计算题（本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 6 6 分，共分，共 2424 分）分）.1 1求极限求极限.2.2.方程方程确定确定为为 的函数，求的函数，求与与.3.3.计算不定积分计算不定积分4.4.计算定积分计算定积分.四、解答题（本题共四、解答题（本题共 4 4 小题，共小题，共 2929 分）分）.1 1（本题（本题 6 6 分）解微分方程分）解微分方程.2 2（本题

5、（本题 7 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如图分）一个横放着的圆柱形水桶（如图 4-14-1），桶内盛有半桶水，设），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为桶的底半径为，水的密度为，水的密度为，计算桶的一端面上所受的压，计算桶的一端面上所受的压力力图图 4-14-13.3.（本题（本题 8 8 分）设分）设，在在上有上有连续的导连续的导数，数，且，且试求试求.的切线，的切线，该切线与曲线该切线与曲线及及4.4.（本题（本题 8 8 分）分）过坐标原点作曲线过坐标原点作曲线轴围成平面图形轴围成平面图形 D.D.(1)(1)求求 D D 的面积的面积 A;A;(2)(2)求求 D D 绕直线绕直线旋转一

6、周所得旋转体的体积旋转一周所得旋转体的体积 V.V.五、证明题（本题共五、证明题（本题共 1 1 小题，共小题，共 7 7 分）分）.1.1.证明对于任意的实数证明对于任意的实数，.一、填空题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）（2）曲线=_上与直线_.平行的切线方程为_.（3）已知，且,则_.（4）曲线的斜渐近线方程为_（5）微分方程的通解为_二、选择题(本题共 5 小题，每小题 4 分，共 20 分).（1）下列积分结果正确的是（D）(A)(B)(C)（2）函数(A)在(D)内有定义，其导数的图形如图 1-1 所示，则（D）.都是极值点.(B)(C)(D)是极值点.，

7、是拐点，是拐点.是极值点.都是拐点.图 1-1（3）函数（A）（C）满足的一个微分方程是（D）.（B）（D）（4）设(A)在处可导，则.(B)为（A）.(C)0.(D)不存在.（5）下列等式中正确的结果是（A）.(A)(C)(B)(D)三、计算题（本题共 4 小题，每小题 6 分，共 24 分）.1求极限.解=-1 分 =-2 分 =-1 分 =-2 分2.方程确定为 的函数，求与.解-（3 分）-（6 分）4.计算不定积分.4.计算定积分.解-（3 分）-（6 分）（或令）四、解答题（本题共 4 小题，共 29 分）.1（本题 6 分）解微分方程.2（本题 7 分）一个横放着的圆柱形水桶（如

8、图 4-1），桶内盛有半桶水，设桶的底半径为，水的比重为，计算桶的一端面上所受的压力解：建立坐标系如图3.（本题 8 分）设，试求.在上有连续的导数，且4.（本题 8 分）过坐标原点作曲线轴围成平面图形 D.(3)求 D 的面积 A;(4)求 D 绕直线的切线，该切线与曲线及旋转一周所得旋转体的体积 V.解解在点处的切线方程是：(1)设切点的横坐标为，则曲线由该切线过原点知-1分，从而所以该切线的方程为-1分平面图形 D 的面积-2分（2）切线与轴及直线所围成的三角形绕直线旋转所得的圆锥体积为-2分曲线积为与 x 轴及直线所围成的图形绕直线旋转所得的旋转体体，-1分因此所求旋转体的体积为五、证明题（本题共 1 小题，共 7 分）.1.证明对于任意的实数，.-1分解法一：解法二：设因为当时，则-1 分-1 分单调增加，-2 分当时，单调增加，-2 分所以对于任意的实数，解法三：由微分中值定理得，其中位于 0 到 x 之间。-2 分当当时，时，。-2 分。-2 分。-1 分即。-1 分所以对于任意的实数，