同济大学2006至2007学年第一学期复变函数期末考试试题A.pdf

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1、同济大学同济大学 20062006 至至 20072007 学年第一学期复变函数期末考试试题学年第一学期复变函数期末考试试题 A A同济大学课程考核试卷（A 卷）20062007 学年第一学期命题教师签名：审核教师签名：课号：12214401课名：复变函数考试考查：考查此卷选为：期中考试()、期终考试()、重考()试卷年级专业学号姓名任课教师题号得分一二三予计分）予计分）四五六七总分（注意：本试卷共（注意：本试卷共 7 7 大题，大题，2 2 大张，满分大张，满分 100100 分考试时间为分考试时间为 100 100 分钟。要求写出解题过程，否则不分钟。要求写出解题过程，否则不一.填空题填空

2、题（每小题 5 分）1 1如果如果2 23 3 设设4 4，则，则（）或）或（）的主值是（的主值是（）在复平面解析，在复平面解析，并满足并满足（），则，则（）5 5 设设为正整数，为正整数，（）6 67 7是是（）的（的（）级极点。）级极点。8 89 9设设1010 设设把（把（）映为单位圆周）映为单位圆周，则，则，则，则。（）（）。）。在区域在区域解析，并设函数解析，并设函数二二.（10 分）设函数设函数在区域在区域内，内，内恒等于一个常数。证明：在内恒等于一个常数。证明：在恒等于某个常数。恒等于某个常数。三.（6 分）计算计算四.（8 分）用围道积分方法计算用围道积分方法计算。五（6 分）

3、设设，求，求。六（六（10 分）求把角域求把角域映射为单位圆映射为单位圆的一个共形映照。的一个共形映照。七七（10分）利用利用LaplaceLaplace变换求常微分方程变换求常微分方程的特解。的特解。满足满足，参考答案一.填空题填空题（每小题 5 分）1 1如果如果，则，则（）或）或（）2 2的主值是（的主值是（）3 3 设设在复平面解析，在复平面解析，并满足并满足，则，则（0 0）4 4（0 0）5 5 设设为正整数，为正整数，（）6 6（1 1）7 7是是的（的（4 4）级极点。）级极点。8 8把（把（虚轴虚轴）映为单位圆）映为单位圆。9 9设设，则，则（）1010 设设二二.（10分）

4、设函数设函数在区域在区域于某个常数。于某个常数。解：由于函数解：由于函数在区域在区域又由于又由于在在所以所以是从是从，则，则（在区域在区域）。）。解析，解析，并设函数并设函数内，内，恒等恒等内恒等于一个常数。证明：在内恒等于一个常数。证明：在在区域在区域内，内，内恒等于一个常数，内恒等于一个常数，（）；）；到到上，上，上的一对一映射，上的一对一映射，恒等于某个常数。恒等于某个常数。三.（6 分）计算计算四.（8 分）用围道积分方法计算用围道积分方法计算在上半平面有一个一级极点在上半平面有一个一级极点。五（6 分）设设，求，求。由于由于在在的的 LaurentLaurent 展开：展开：知知所以所以六（六（10 分）求把角域求把角域映射为单位圆映射为单位圆的一个共形映照。的一个共形映照。所以所以即为把角域即为把角域映射为单位圆的一个共形映照。映射为单位圆的一个共形映照。七七（10 分）利用利用 LaplaceLaplace 变换求常微分方程变换求常微分方程的特解。的特解。满足满足，