考点43 空间向量在立体几何中的运用（原卷版）.docx

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1、考点43 空间向量在立体几何中的运用 1. 直线的方向向量和平面的法向量(1)直线的方向向量：如果表示非零向量a的有向线段所在直线与直线l平行或重合，则称此向量a为直线l的方向向量(2)平面的法向量：直线l，取直线l的方向向量a，则向量a叫做平面的法向量2. 空间位置关系的向量表示位置关系向量表示直线l1，l2的方向向量分别为n1，n2l1l2n1n2n1n2l1l2n1n2n1n20直线l的方向向量为n，平面的法向量为m,l,nmnm0l,nmnm平面，的法向量分别为n，m,nmnm,nmnm03. 异面直线所成的角3.设a，b分别是两异面直线l1，l2的方向向量，则a与b的夹角l1与l2所

2、成的角范围(0，)a与b的夹角l1与l2所成的角求法coscos|cos |4. 求直线与平面所成的角设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，直线l与平面所成的角为，则sin|cosa，n|.5. 求二面角的大小(1)如图，AB，CD是二面角l的两个面内与棱l垂直的直线，则二面角的大小，(2)如图，n1，n2 分别是二面角l的两个半平面，的法向量，则二面角的大小满足|cos |cosn1，n2|，二面角的平面角大小是向量n1与n2的夹角(或其补角)1、.已知A(1，0，0)，B(0，1，0)，C(0，0，1)，则下列向量是平面ABC法向量的是()A(1，1，1) B(1，1，1)C. D.2

3、、.若直线l的方向向量为a(1，0，2)，平面的法向量为n(2，1，1)，则()Al BlCl或l Dl与斜交3、已知两平面的法向量分别为m(0，1，0)，n(0，1，1)，则两平面所成的二面角为()A45 B135C45或135 D904、在直三棱柱ABCA1B1C1中，BCA90，M，N分别是A1B1，A1C1的中点，BCCACC1，则BM与AN所成角的余弦值为()A. B. C. D.5、在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是对角线BD1上的点，且BEED113，则AE与平面BCC1B1所成的角的正弦值是_考向一 异面直线所成的角例1、在长方体中，则异面直线与所成角的余弦值为ABCD

4、变式1、如图，四边形为菱形，是平面同一侧的两点，平面，平面，（）证明：平面平面（）求直线与直线所成角的余弦值方法总结：利用向量法求异面直线所成角的方法：(1)选择三条两两垂直的直线建立空间直角坐标系；(2)确定异面直线上两个点的坐标，从而确定异面直线的方向向量；(3)利用向量的夹角公式求出向量夹角的余弦值；(4)两异面直线所成角的余弦值等于两向量夹角余弦值的绝对值考向二 直线与平面所成的角例2、如图，三棱柱ABC-A1B1C1中，CA=CB，AB=A A1，BA A1=60 （）证明ABA1C；（）若平面ABC平面AA1B1B，AB=CB=2，求直线A1C 与平面BB1C1C所成角的正弦值变式

5、1、如图，已知多面体，均垂直于平面，(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成的角的正弦值方法总结：利用向量法求线面角的方法：(1)分别求出斜线和它在平面内的射影直线的方向向量，转化为求两个方向向量的夹角(或其补角)；(2)通过平面的法向量来求，即求出斜线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角，取其余角就是斜线和平面所成的角考向三 二面角例3、（2021年全国高考乙卷数学（理）试题）如图，四棱锥的底面是矩形，底面，为的中点，且（1）求；（2）求二面角的正弦值变式、（2020届山东省潍坊市高三上期中）如图，在棱长均为的三棱柱中，平面平面，为与的交点（1）求证：；（2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值方

6、法总结：利用向量法计算二面角大小的常用方法：(1)找法向量法：分别求出二面角的两个半平面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小(2)找与棱垂直的方向向量法：分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小1、，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：当直线与成角时，与成角；当直线与成角时，与成角；直线与所成角的最小值为；直线与所成角的最小值为；其中正确的是（填写所有正确结论的编号）2、如图，在三棱锥中，为的中点（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且二面角为，求与平面所成角的正弦值3、如图，已知三棱柱，平面平面，分别是AC，A1B1的中点（1）证明：；（2）求直线EF与平面A1BC所成角的余弦值4、【2020年全国3卷】如图，在长方体中，点分别在棱上，且，（1）证明：点在平面内；（2）若，求二面角的正弦值学科网（北京）股份有限公司