特征根法求数列的递推公式.pdf

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1、特征根法求数列的递推公式一、形如一、形如an2 pan1qan(p,q是常数）的数列是常数）的数列形如a1 m1,a2 m2,an2 pan1 qan(p,q是常数）的二阶递推数列都可用特征根法求得通项an，其特征方程为x2 pxq若有二异根,，则可令an c1nc2n(c1,c2是待定常数）若有二重根，则可令an(c1nc2)n(c1,c2是待定常数）再利用a1 m1,a2 m2,可求得c1,c2，进而求得an例例 1 1 已知数列an满足a1 2,a23,an23an12an(nN*)，求数列an的通项an解：解：其特征方程为x2 3x2，解得x11,x2 2，令an c11nc22n，c

2、11a1 c12c2 2n1由，得1，an12c2a2 c14c232例例 2 2 已知数列an满足a11,a2 2,4an2 4an1an(nN*)，求数列an的通项an11解：解：其特征方程为4x 4x1，解得x1 x2，令anc1nc2，222n1a (c c)112c 43n212由，得1，ann12c2 6a (c 2c)1 22124二、形如二、形如an1Aan B的数列的数列Can DAanB，a1m,nN*(A,B,C,D是常数且C 0,ADBC0）CanDAx B，变形为Cx2(D A)xB 0Cx D对于数列an1其特征方程为x 若有二异根,，则可令值可求得c值。an1a

3、cn（其中c是待定常数），代入a1,a2的an1ana a1这样数列n，公比为c的等比数列，于是这样可求得an是首项为a1an若有二重根，则可令的值可求得c值。11，代入a1,a2c（其中c是待定常数）an1an11这样数列，公差为c的等差数列，于是这样可求得an是首项为anan例例 3 3 已知数列an满足a1 2,anan12(n 2)，求数列an的通项an2an11解：解：其特征方程为x 由a1 2,得a2x2a1a 1，化简得2x22 0，解得x11,x2 1，令n1 cn2x1an11an141，可得c ，53n1a 11a 11 1a 1 1数列n是以1为首项，以为公比的等比数列，n，3a 1 3an1331an13n(1)nannn3(1)例例 4 4 已知数列an满足a1 2,an1解：解：其特征方程为x2an1(nN*)，求数列an的通项an4an612x14 x1 0，即4x2解得x1 x2，令24x611an1211an2c由a1 2,得a23，求得c 1，14112是 以数 列为 首 项，以1为 公 差 的 等 差 数 列，15an1a122123(n1)1 n，155an2135nan10n6