山东省青岛第二中学2022-2023学年高三上学期1月期末数学试题(含答案).pdf

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1、2022-20232022-2023 第一学期期末测试第一学期期末测试高三数学高三数学一、选择题；本题共一、选择题；本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分在每小题给出的四个选项中，只分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的21已知集合 Ax x 6x5 0，Bx y x3，则 AB 等于()A1,3B1,5C3,5D1，)2若复数 z 满足：z 1i，则z22z的共轭复数的虚部为（）A-2BiC0D23我国古代数学名著算法统宗中说：“九百九十六斤棉，赠分八子做盘缠次第每人多十七，要将第八数来言 务要分明依次第，孝和休惹外人

2、传”意为：“996 斤棉花，分别赠送给 8 个子女做旅费，从第 1 个孩子开始，以后每人依次多17 斤，直到第 8 个孩子为止 分配时一定要按照次序分，要顺从父母，兄弟间和气，不要引得外人说闲话”在这个问题中，第 8 个孩子分到的棉花为（）A184 斤B176 斤2C65 斤D60 斤4已知随机变量X服从正态分布N2,，且P1 X 23PX 5，则P1 X 50.75（）A0.5B0.625C0.75（）D0.8753255已知cos2，则sin346A32B144C144D3422xy6设F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，且点P 到两个焦点的距43离之差为 1，则PF1F2的面积

3、为（）53CD22x x 3cos1(0),上单调递增，7 已知函数fx 4cos在区间222634A2B3且在区间0,上只取得一次最大值，则的取值范围是（）3A0,48B0,92 8C,3 93 8D,4 98定义在R上的函数f(x)满足f(x1)若对xm,)，都有f(x)1f(x)，且当x0,1)时，f(x)1|2x1|.32，则m的取值范围是（）8110A,313C,311B,314D3二、选择题；本题共二、选择题；本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分在每小题给出的选项中，有多项分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得符合题目要求全部

4、选对的得 5 5 分，有选错的得分，有选错的得 0 0 分，部分选对的得分，部分选对的得 2 2 分分9B 的距离之比为定值古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：平面内到两定点 A，（1）A0）的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”在平面直角坐标系 xOy中，（2，B（4，0），点 P满足PAPB2.设点 P 的轨迹为 C，则下列结论正确的是（）1A轨迹 C的方程为（x4）2y29B在 x轴上存在异于 A，B 的两点 D，E 使得PDPE21C当 A，B，P 三点不共线时，射线PO是APB的平分线D在 C 上存在点 M，使得MO 2 MA110已知函数fx cosx，若fx在0,a上的值域是1,

5、，则实数a的可能32取值为（）A3B23C43nk0D5 3k11对于伯努利数BnnN，有定义：B01,BnCnBk(n 2).则（）161CB642AB2BB4130DB2n3 03 3）的最小正周期T,，24212已知函数fxsin2x（为正整数，将函数fx的图象向右平移个单位长度后所得图象关于原点对称，则下列关于函数6fx的说法正确的是（）A是函数fx的一个零点称C方程fx1在0,上有三个解2 D函数fx在,上单调递减6 26B函数fx的图象关于直线x 5对12三、填空题；本题共三、填空题；本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分分13一个布袋中，有大

6、小、质地相同的4 个小球，其中 2 个是红球，2 个是白球，若从中随机抽取 2 个球，则所抽取的球中至少有一个红球的概率是_.14已知抛物线C:x2 4y的焦点为F，过点F作倾斜角为60的直线l交C于A，B两点，过A，B分别作C的切线l1、l2，l1与l2交于点P，l1，l2与x轴的交点分别为M，N，则四边形PMFN的面积为_2215已知函数fxx xx 5x6，则fx的最小值为_.16已知函数fx x11 m xa有六个不同零点，且所有零点之和为3，xm x则a的取值范围为_四、四、解答题；解答题；本题共本题共 6 6 个小题，个小题，共共 7070 分分解答应写出文字说明，解答应写出文字说

7、明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤17某电视台“挑战主持人”节目的挑战者闯第一关需要回答三个问题，其中前两个问题回答正确各得10分，回答不正确得0分，第三个问题回答正确得20分，回答不正确得10分如果一位挑战者回答前两个问题正确的概率都是，回答第三个问题正确的概率为1223，且各题回答正确与否相互之间没有影响 若这位挑战者回答这三个问题的总分不低于10分就算闯关成功（1）求至少回答对一个问题的概率（2）求这位挑战者回答这三个问题的总得分X的分布列（3）求这位挑战者闯关成功的概率18请你设计一个包装盒，如图所示，ABCD是边长为 60cm 的正方形硬纸片，切去如阴影部分所示的四个全等的等腰

8、直角三角形，再沿虚线折起，使得A，B，C，D四个点重合于图中的点 P，正好形成一个长方体形状的包装盒，E，F 是 AB 边上被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE FB x cm.(1)求包装盒的容积Vx关于 x的函数表达式，并求出函数的定义域.(2)当 x为多少时，包装盒的容积V（cm3）最大？最大容积是多少？x1219已知函数fxeax(1)函数f x为fx的导函数，讨论当a 0时f x的单调性；(2)当a 1时，证明：fx存在唯一的极大值点.20已知数列an中，a11，a2 2，2an13anan1，n 2，（1）求an的通项公式；（2）设bn 3an，求bi 4i1n21已知直线

9、方程为(2 m)x(2m1)y 3m4 0，其中mR.(1)当m变化时，求点Q(3,4)到直线的距离的最大值及此时的直线方程；(2)若直线分别与 x 轴、y轴的负半轴交于 A、B 两点，求AOB面积的最小值及此时的直线方程.122已知函数f(x)ln x2xx(1)求f(x)的极值；(2)若g(x)xf(x)3x2，且ab 1，证明：g(a)g(b)0参考答案参考答案1C求出A中不等式的解集确定出A，求出B中x的范围确定出B，找出A与B的交集即可由A中不等式变形可得：x1x50，解得1 x5A15，由B中y x3得到x30，即x3B 3，5则AB3，故选C本题主要考查的是集合的交集及其运算，属

10、于基础题2C根据给定条件，利用复数的乘方、加减运算计算即可判断作答.因z 1i，则z22z (1i)22(1i)2i22i 2，所以所求共轭复数为2，其虚部为 0.故选：C3A根据等差数列的前 n 项和公式、等差数列的通项公式进行求解即可.依题意得，八个子女所得棉花斤数依次构成等差数列，设该等差数列为an，公差为d，前n 项和为Sn，第一个孩子所得棉花斤数为a1，则由题意得，d 17,S88a18717 996，2解得a1 65，a8 a181d 184故选：A4C根据正态分布的对称性，由题中条件，直接求解即可.因为XN2,2，P1 X 2 P2 X 5并且PX 20.5又因为P1 X 23P

11、X 5，所以PX 2 P2 X 5PX 5 4PX 50.5，所以PX 50.125所以P2 X 50.50.1250.375，所以P1 X 50.75故选：C5C由同角三角函数的基本关系与二倍角公式和诱导公式求解即可3因为cos2 cos2 0，3641cos23 2k,k Z，37，且2 2k,所以2sin6226283k,k Z，所以 k,644714 所以sin，68425所以sin6故选：C6C53由题意结合椭圆的定义求出PF1,PF2，又因为F1F2 2c 2，由余弦定理可求出22cosF1PF2，再求出sinF1PF2，由三角形的面积公式即可得出答案.14sin4sin 664x

12、2y21，则a 2,b 3,c 1，因为椭圆的方程为：43x2y2F1，F2是椭圆1的两个焦点，P是椭圆上一点，43因为点 P 到两个焦点的距离之差为1，PF1 PF21PF PF所以假设1，2，则PF1 PF2 2a 453解得：PF1,PF2，又因为F1F2 2c 2，22在PF1F2中，由余弦定理可得：cosF1PF2PF1 PF2 F1F22 PF1 PF2222 5 322322，53522222所以sinF1PF24，5115343PF1 PF2sinF1PF2.222252所以PF1F2的面积为：S 故选：C.7C根据三角恒等变换化简fx，结合函数单调区间和取得最值的情况，利用整

13、体法即可求得参数的范围.xx3x1x xcos1 4sincossin因为fx 4cos122222222613sinxcosx 2sinx，22263 3 3因为fx在区间,上单调递增，由x,，则x,，636463434 2 3sincos2sin2xxx则36 388,?，解得1,，即0；246299,，要使得该函数取得一次最大值，66652 8故只需，解得,；2623 3当x0,时，x2 8综上所述，的取值范围为,.3 9故选：C.8B根据已知，利用分段函数的解析式，结合图像进行求解.12x,0 x?2因为当x0,1)时，f(x)1|2x1|，所以f(x)，122x,x 12又因为函数f

14、(x)满足f(x1)1f(x)，所以函数f(x)的部分图像如下，3由图可知，若对xm,)，都有f(x)故选：B.9BC根据阿波罗尼斯圆的定义，结合两点间距离公式逐一判断即可.在平面直角坐标系 xOy中，A（2，0），B（4，0），点 P满足211，则m.故 A，C，D 错误.3811=，设 P（x，y），则PB2PA(x 2)2 y2(x 4)2 y21，化简得（x4）2y216，所以 A 错误；2假设在 x轴上存在异于 A，B的两点 D，E使得PDPE1，设 D（m，0），E（n，0），则2(xn)2 y2 2(xm)2 y2，化简得3x23y2（8m2n）x4m2n20，由轨迹C的方程为

15、x2y28x0，可得 8m2n24，4m2n20，解得 m6，n12 或 m2，n4（舍去），即在 x 轴上存在异于 A，B的两点 D，E使PDPE1，所以 B 正确；2当 A，B，P 三点不共线时，OAOB1PA，2PB可得射线 PO 是APB的平分线，所以 C 正确；若在 C上存在点 M，使得MO 2 MA，可设 M（x，y），则有x2 y22(x2)2 y2，化简得 x2y2程组无解，故不存在点 M，所以 D 错误故选：BC关键点睛：运用两点间距离公式是解题的关键.10BC根据已知求出a的范围即可.1616x0，与 x2y28x0 联立，方33fx cosx，因为x0,a，所以x,a33

16、3351又因为fx的值域是1,，所以a,33224可知a的取值范围是,.33故选：BC.11ACD根据伯努利数的定义以及二项式定理，将BnnN写成递推公式的形式，逐一代入计算即可判断选项.k由B01,BnCnBk(n 2)得，k0k123nBnCnBk C0nB0CnB1CnB2+CnB3 CnBn(n 2)，k0nn0123n1所以，CnB0CnB1CnB2+CnB3 CnBn1 0(n 2)，0123n1n同理，Cn1B0Cn1B1Cn1B2+Cn1B3 Cn1Bn1Cn1Bn 0(n 1)，n0123n1所以，Cn1Bn Cn1B0Cn1B1Cn1B2+Cn1B3 Cn1Bn1(n1)，

17、Bn 1123n1C0n1B0Cn1B1Cn1B2+Cn1B3 Cn1Bn1(n 1)n1其中第m1项为1m1(n1)n(n1)(nm2)n(n1)(nm2)Cn1BmBmBmn1n1123 m123 mBmn(n1)(nm2)(nm1)Bm Cmn123 mnm1nm1BmB1B20B0mn1+C1+C2 Cn CnBn1(n 1)即可得Bn Cnnnnn1nm1n110B0；令n 1，得B1 C1211B10B011 1C1；令n 2，得B2 C2232326B10B0 111 2B2C1C 令n3，得B3 C333 0432424同理，可得B4 1115,B5 0,B6,B7 0,B8,

18、B9 0,B10,B11 0；30423066即可得选项 AC 正确，B 错误；由上述前 12 项的值可知，当n为奇数时，除了B1之外其余都是 0，即B2n1 0(n 1)，也即B2n3 0,nN；所以 D 正确.故选：ACD.12ABD先由周期范围及为正整数求得1，再由fx平移后关于原点对称求得到fx sin2x，3，从而得35对于 AB，将x 与x 代入检验即可；126对于 C，利用换元法得到sint1 7在,内只有两个解，从而可以判断；233对于 D，利用整体法及y sin x的单调性即可判断.323243 3 T,因为fxsin2x，所以，解得，4223342又为正整数，所以1，所以f

19、xsin2x，所以函数fx的图象向右平移个单位长度后所得图象对应的函数6 gxsin2xsin2x，63（点拨：函数y sinx0的图象经过平移变换得到y sinx的图象时，不是平移个单位长度，而是平移个单位长度），kkZ，即 kkZ，33又，所以k 0，所以fx sin2x，332由题意知，函数gx的图象关于原点对称，故对于 A，fsin2sin0 0，故 A 正确；66355对于 B，fsin2sin 1，故 B 正确；122123对于 A，令t 2x 显然sint错误；2 4 3 对于 A，当x,时，2x,，333226 2 3因为y sin x在,上单调递减，所以函数fx在,上单调递减

20、，故 D 正确.6 222 7，因为x0,，所以t,，33351311 7在,内只有，两个解，即方程fx在0,上只有两个解，故 C623362故选：ABD.关键点点睛：求解此类问题的关键是会根据三角函数的图象变换法则求出变换后所得图象对应的函数解析式，注意口诀“左加右减，上加下减，横变51361，纵变 A”在解题中的应用.先求出“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件的概率，再用 1 减去此概率的值，即得所求从中随机抽取 2 个球，所有的抽法共有C42 6种，事件“所抽取的球中至少有一个红球”的对立事件为“所抽取的球中没有红球”，2C21而事件：“所抽取的球中没有红球”的概率为2，C46故事件

21、“所抽取的球中至少有一个红球”的概率等于15故答案为.615，66本题考查等可能事件的概率，“至多”、“至少”问题的概率通常求其的对立事件的概率，再用1 减去此概率的值，属于简单题.144求得焦点F的坐标，直线l的方程，与抛物线的方程联立，即可求出A、B两点坐标；由导N的坐标，PB的方程，数的几何意义，求得切线PA，求得交点P的坐标，求得M，可得MN，再由三角形的面积公式，计算可得所求值解：抛物线C:x2 4y的焦点为F0,1且直线l的倾斜角为kl3，60，则所以直线l方程为y13x0，即y 3x 1，设Ax1,y1，Bx2,y2，不妨设A在第一象限，y=3x+1，消去y得联立2x1 2 34

22、、x2 2 34，x24 3x4 0解得x=4y代入直线方程，则A 2 3 4,7 4 3、B 2 3 4,7 4 3，l1与抛物线相切于点A，因为直线即y 121x，则y x，4212 3 4 3 2，同理可得kl232，2k所以l1l1方程为y 74 3 则可得直线则其与x轴交点，令 3 2x 2 3 4，y 即3 2 x74 3，3 2 x74 3 0，则x 3 2，所以M3 2，0，l2的方程为y 74 3 直线 3 2x 2 3 4，即y 3 2 x74 3，3 2，0，所以则其与x轴交点，令3 2 x74 3 0，则x 3 2，所以NMN 4，y=联立l1、l2的方程y=SPFMN

23、 SFMN3+2 x74 3?x=2 3，解得，即P点坐标为2 3,1，32 x7+4 3y=1 SPMN111 MN 1 MN MN 422故答案为：49154化简函数的解析式，利用换元法，通过二次函数的最值的求解即可解：f（x）（x2+x）（x25x+6）x（x+1）（x2）（x3）x（x2）（x+1）（x3）（x22x）（x22x3），329不妨令 tx22x1，则y tt 3(t)（t1），24所以当t 39时，f（x）的取最小值429故答案为4本题考查函数与方程的应用，考查转化思想以及计算能力165,根据函数的对称性可求得m的值，将问题转化为gx x11 1 x与y a有6个不x1

24、x同交点的问题，通过分类讨论和导数的方式得到gx单调性和极值，进而确定gx的图象，采用数形结合的方式得到结果.fm x m x11 xa fx，m xxfx图象关于x m对称，2又fx的六个零点之和为3，fx x3m，解得：m 1，6211 1 xa，x1 x11 1 x，则gx与y a有6个不同交点，x1 x令gx x11 11,x 1 x1 x2gx；112x1,x 1xx1112x111gx 0，gx在,1上单调递增；x 1当时，2222x1 xx1 x22112x44x32x1当x 1时，gx 22，2xx12x2x1g2又y 223 3 0，g 094211y 与2在1,上单调递减，

25、gx在1,上单调递增，x1x2 3x0,2，使得gx00，且当x1,x0时，gx0；当xx0,时，gx0；2gx在1,x0上单调递减，在x0,上单调递增，1 314g 5，gx0 g 5，223结合gx对称性可得其大致图象如下图所示：由图象可知：若gx与y a有6个不同交点，则a 5，即实数a的取值范围为5,.故答案为：5,.方法点睛：解决函数零点问题的基本方法：（1）直接法：求出函数的单调区间与极值，根据函数的基本性质作出图象，然后将问题转化为函数图象与轴的交点问题；（2）构造新函数法：将问题转化为研究两函数图象的交点问题；（3）分离变量法：由fx 0分离变量得出a gx，将问题等价转化为直

26、线y a与函数y gx的图象的交点问题.17（）1713；（）见解析；（）.1818试题分析：（）由题意结合对立事件概率公式可得至少回答对一个问题的概率为17.18（）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40.计算各个分值相应的概率值即可求得总得分X 的分布列；（）结合()中计算得出的概率值可得这位挑战者闯关成功的概率值为13.18试题解析：11117（）设至少回答对一个问题为事件A,则PA1.33218（）这位挑战者回答这三个问题的总得分X的所有可能取值为10,0,10,20,30,40.1111根据题意,PX 10,332182112PX 02,3

27、3292212PX 10,33291111PX 20,332182112PX 302,33292212PX 40.3329随机变量X的分布列是:（）设这位挑战者闯关成功为事件B,则PB18(1)Vx 2 2x3 60 2x2，x0,30(2)当x 20cm时，包装盒的容积最大是8000 2cm3（1）设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，分别将a,h用x表示，求出函数的解析式，注明定义域即可（2）利用函数的导数判断函数的单调性，求解函数的最值即可（1）解：设包装盒的高为h(cm)，底面边长为a(cm)，则a 2x，h 2(30 x)，0 x 30，所以Vx a2h 2 2(x330

28、x2)2 2x3 60 2x2，x0,30；（2）解：由Vx 2 2x3 60 2x2，212213.9189918可得Vx 6 2x(20 x)，当x(0,20)时，Vx0；当x(20,30)时，Vx0，所以函数Vx在0,20上递增，在20,30上递减，当x20时，Vx取得极大值也是最大值：8000 2所以当x 20cm时，包装盒的容积最大是8000 2cm319(1)在,1ln2a上单调递减，在1ln2a,上单调递增(2)证明见解析（1）由导数分析单调性求解，（2）由导数分析单调性，及零点存在性定理证明(1)f xex12ax，设gx f xex12ax，则gxex12a.当a 0时，令g

29、xex12a 0，则x 1ln2a，当x,1ln2a时，gx0，f x单调递减；当x1ln2a,时，gx0，f x单调递增.所以f x在,1ln2a上单调递减，在1ln2a,上单调递增.(2)x12x1证明：当a 1时，fxex，f xe2x，由（1）可知f x的最小值为f 1ln2，而f 1ln2 2ln 20，又f 01 0，e由函数零点存在定理可得存在x10,1ln2使得fx10，又f x在,1ln2上单调递减，所以当x,x1时，f点，又f x在1ln2,上单调递增，故fx在1ln2,上不存在极大值点，x0，当xx1,1ln2a时，fx0，故x1为fx的极大值所以fx存在唯一的极大值点x

30、1，20（1）an 312n2；（2）详见解析n1an1an11，根据等比数列通项公式得aa（1）由2an1 3anan1，得n1n，再anan122根据累加法 得答案；（2）根据等比数列求和即可得证.即（1）因为a11，a2 2，2an1 3anan1，所以an1an1，n 2，a2a11，anan12n1 1所以an1an2，n 2，所以an12n212n31n11120a11 3n2.12212112n2而a11也符合该式，故an 3（2）bn12n2.，1 2 1n12nb 4 1in12i112 421(1)距离最大值为2 13，此时直线方程为2x3y8 0；(2)AOB面积的最小值

31、为 4，此时直线方程为2x y 4 0；（1）求出直线恒过定点M，由两点间距离公式即可求出最大值，由两条直线垂直的充要条件求出直线的斜率，即可得到直线方程；（2）设直线的方程为y 2 k(x1)，k 0，求出|OA|，|OB|，利用三角形的面积公式结合基本不等式求解最小值，从而求出此时k的值，得到直线方程(1)解：直线方程为(2 m)x(2m1)y 3m4 0，其中mR，即m(x 2y 3)(2x y 4)0，x2y3 0 x 1令，解得，y 22x y4 0故直线经过定点M(1,2)，当m变化时，点Q(3,4)到直线的距离的最大值为QM(31)2(42)2 2 13，1 12 m 224，解

32、得m，4 23，即2m 13731此时，QM和直线垂直，所以直线的斜率为kQM此时直线的方程为2x3y8 0；(2)解：因为直线经过定点M(1,2)，设直线方程为y 2 k(x1)，k 0，令x 0则y k 2，令y 0，则x 所以|OA|1|，|OB|k 2|，所以SAOB21，k2k11 21(k 2)2|OA|OB|1|k 2|，22 k2k因为k 0，则SAOB1(k 2)21414()(k)4(2()(k)4)4，2k2k2k当且仅当4 k，即k 2时取等号，k所以AOB面积的最小值为 4，此时直线的方程为y 2 2(x1)，即2x y 4 0 122(1)极小值为f 3ln2，无极

33、大值2(2)见解析（1）由导数得出单调性进而得出极值；（2）由导数得出g(x)在0,上单调递增，讨论1 a b，0 a 1b两种情况，利用导数证明即可.(1)f(x)(2x1)(x1)(x 0)x211f(x)0 x；f(x)0 0 x 221 1即函数f(x)在0,上单调递减，在,上单调递增22 1所以f(x)的极小值为f 3ln2，无极大值.2(2)g(x)xlnx x21,g(x)ln x2x1,g(x)g(x)0 x 2x1x11；g(x)0 0 x 221 1 1即函数g(x)在0,上单调递减，在,上单调递增，即g(x)g ln2 0222所以函数g(x)在0,上单调递增不妨设a b

34、，则1 a b，0 a 1b对于1 a b，因为函数g(x)在0,上单调递增，所以g(b)g(a)g(1)0所以g(a)g(b)011对于0 a 1b，由ab 1得，a，故ga gbb1111g(a)g(b)g g(b)blnbb，由0 a 1b知，b 0bbbb1x2 x111设(x)lnx x,(x 1)，则(x)12xxxx2113而x2 x1x 0，所以(x)0，即函数(x)lnx x,(x 1)是单调减函数x242(x)g(1)0,(x 1)，故g g(b)blnbb 0，即g(a)g(b)0bbb111综上，当ab 1时，g(a)g(b)0.1关键点睛：对于，在证明g(a)g(b)0时，关键是利用ga g将双变量变为单变量b问题，再利用导数证明不等式g(a)g(b)0.