高三第一次联考数学.pdf

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1、高三第一次联考数学（理科）试卷一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.）1已知集合A y|y log2x,x 1,B y|y ()x,x 1,则A B等于（）Ay|0 y C1212By|y 0DR2下列四个函数中，同时具有性质：最小正周期为2；图象关于直线x 对称的一3个函数是（）Ay sin(x Cy sin(x 6)By sin(x 6)Dy sin(2x)33（）3设函数 f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图 1 所示，则导函数x f(x)的图象可能为4设随机变量 服从正态分布N(0,1),记(x)p(x),则下列结论不正确的是（）A(0)12B(x)

2、1(x)DP(|a)1(a)（）CP(|a)2(a)15设 p、q 为简单命题，则“p 且 q”为假是“p 或 q”为假的A充分不必要条件C充要条件B必要不充分条件D既不充分也不必要条件6在复平面内，设向量p1(x1,y1),p2(x2,y2)又设复数z1 x1 y1i;z2 x2 y2i(x1,x2,y1,y2 R),则p1 p2等于Az1z2 z1z2CBz1z2 z1z2D（）1（z1z2 z1z2）21（z1z2 z1z2）27 等差数列an中,a1 a4 a7 39,a3 a6 a9 27,则数列an前9项的和 S9等于（）A66C14422B99D2978平面向量a (x,y),b

3、 (x,y),c (1,1),d (2,2),若ac bd 1,则这样的向量a（）B2 个D不存在f(2)f(4)f(6)f(2004)9如果f(a b)f(a)f(b)且f(1)2,则等于（）f(1)f(3)f(5)f(2003)A2003C2004n有A1 个C多个 2 个B1001D2002510若 xR、nN*，定义：Mx x(x 1)(x 2)(x n 1),例如M5=(5)（4）（3）（2）（1）=120，则函数f(x)xMx9的奇偶性为A是偶函数而不是奇函数C既是奇函数又是偶函数B是奇函数而不是偶函数D既不是奇函数又不是偶函数19（）311已知,是锐角,sin x,cos y,c

4、os(),则 y 与 x 的函数关系式为（）53431 x2x(x 1)555343Cy 1 x2x(0 x)555Ay 341 x2x(0 x 1)5534Dy 1 x2x(0 x 1)55By 12某大楼共有20 层，有19 人在第一层上了电梯，他们分别要去第2 层至第 20 层，每层1人，而电梯只允许停 1 次，可只使 1 人满意，其余 18 人都要步行上楼或下楼，假设乘客每向下走 1 层的不满意度为 1，每向上走一层的不满意度为 2，所有人的不满意度之和为 S，为使 S 最小，电梯应当停在第（）层A15B14C13D12二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 4 分，共 16 分）13

5、已知函数 f(x)=x55x4+10 x310 x2+5x+1,则 f(x)的反函数 为 f1(x).14若 f(x)是以 5 为周期的奇函数且 f(3)=1,tan=2，则 f(20sin cos)=.15甲、乙、丙三人值日，从周一至周六，每人值班两天，若甲不值周一，乙不值周六，则可排出的不同值日表有种.16如右图，它满足：（1）第 n 行首尾两数均为 n，（2）表中的递推关系类似杨辉三角，则第n 行（n2）第 2 个数是.三、解答题（本大题共 6 小题，共 74 分，解答应写出文字说明，证明过程，或演算步骤）17（本小题满分 12 分）B C 2cos2A 7.在ABC 中，a，b，c 分

6、别是角 A，B，C 的对边，且 8sin22(I)求角 A 的大小；(II)若 a=3，b+c=3，求 b 和 c 的值.18（本小题满分 12 分）如图，A、B 两点之间有 6 条网线并联，它们能通过的最大信息量分别为1，1，2，2，3，4.现从中任取三条网线且使每条网线通过最大的信息量.（I）设选取的三条网线由 A 到 B 可通过的信息总量为 x，当 x6 时，则保证信息畅通.求线路信息畅通的概率；（II）求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.19（本小题满分 12 分）已知定点A(0,1)B(0,1),C(1,0).动点P满分:APBP k|PC|.（）求动点 P 的轨迹方程，并说明

7、方程表示的曲线；（）当k 2时,求|2AP BP|的最大值和最小值.20（本小题满分 12 分）从边长 2a 的正方形铁片的四个角各截一个边长为x 的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x 与底面正方形边长的比不超过正常数t.（）把铁盒的容积 V 表示为 x 的函数，并指出其定义域；（）x 为何值时，容积 V 有最2大值.21（本小题满分 12 分）已知i,j分别是 x 轴，y 轴方向上的单位向量,OA1 j,OA210 j,且An1An 3AnAn1(n 2,3,4,),在射线 y=x(x0)上从下到上依次有点Bi=（i=1,2,3,），OB1 3i 3j且|Bn1Bn|2

8、 2（n=2,3,4）.（）求A4A5；（）求OAn,OBn；（III）求四边形AnAn1Bn1Bn面积的最大值.22（本小题满分 14 分）已知f(x)ax 2bx 4c(a,b,c R)（）若 a+c=0,f(x)在2，2上的最大值为（）b 4,c 221b,最小值为,求证:|2.32a3，使得时，对于给定的负数a，有一个最大的正数 M（a）4x0,M(a)时都有|f(x)|5，问 a 为何值时，M(a)最大，并求出这个最大值M(a)，证明你的结论.（III）（选做，如果解答正确，加4 分，但全卷不超过 150 分）若 f(x)同时满足下列条件：a0;当|x|2 时，有|f(x)|2；当|

9、x|1 时，f(x)最大值为 2，求 f(x)的解析式.参考答案一、选择题一、选择题1B2B3D4D5B 6D7B8 A9 C10A 11 A12B二、填空题二、填空题135x 2 1f(x)(x 1)5 2,f1(x)5x 2 1141f(20sin cos)=f(10sin2)=f(8)=f(3)=1.1542直接方法：3C4A2C4 42种,间接方法:C6C4 2C5C4C4C3 42.222221211n2 n 2 a2 2(n 2)迭加得an.16ana a n2nn1三、解答题三、解答题17解：（I）在ABC 中有 B+C=A，由条件可得：41cos(B+C)4cos2A+2=7

10、又cos(B+C)=cosA4cos2A4cosA+1=0解得cos A 1（6分）,又A(0,),A.231b2 c2 a21（II）由cos A 知,即(b c)2 a2 3bc22bc2又a 3,b c 3,代入得bc 2.(10分)(12分)b c 3b 1b 2由或.bc 2c 2c 1111C2C2118解：（I）11 4 1 23 6,P(x 6)34C651204313 4 2 2 4 8,P(x 8)202123 4 9,P(x 9)201011313P(x 6)44201041 2 4 2 23 7,P(x 7)（II）11 2 4,P(x 4)(4分)(6分)13,113

11、 1 2 2 5,P(x 5)(8分)1020线路通过信息量的数学期望 41311315 6 789 6.510204420103答：（I）线路信息畅通的概率是.（II）线路通过信息量的数学期望是6.5.（12 分）419（I）设动点的坐标为 P(x,y),则AP (x,y 1),BP (x,y 1),PC (1 x,y)APBP k|PC|2x2 y21 k(x 1)2 y2(1 k)x2(1 k)y2 2kx k 10若 k=1，则方程为 x=1，表示过点（1，0）是平行于 y 轴的直线.（4 分）若 k1，则方程化为：(x k)2 y2(1)2,表示以(k,0)为圆心,以1为半1 k1

12、kk 1|1 k|径的圆.（5 分）（II）当 k=2 时，方程化为（x2）2+y2=1.2AP BP 2(x,y 1)(x,y 1)(3x,3y 1),|2AP BP|9x29y26y 1.又x2 y2 4x 3,|2AP BP|36x 6y 26(7分)(9分)(x 2)2 y21,令x 2 cos,y sin.则36x 6y 26 36cos6sin 46 6 37 cos()46466 37,46 6 37|2AP BP|的最大值为.46 6 37 337,最小值为 466 37 37 320解：（）由已知正方形的长为2a-2x,高为 x，(12分)则V (2a 2x)2 x 4x(a

13、 x)2,0 x a,0 x a,x2at t,0 x.1 2t2a 2x2ata2ata 0,0 x.1 2t1 2t1 2t2at函数的定义域为x|0 x.1 2t（）V 4x(a x)4x 8ax 4a x2322（2 分）(5分)V 12x216ax 4a2,a或x a(舍去)3a2at1若,即t 时,31 2t4令V 0,则x xV(6分)a(0,)3+a30a2at(,)3 1 2ta,V取极大值,而V存在最大值.3a当x 时,V取最大值.(9分)3a2at1若,即0 t 时,V 12x216ax 4a2 0,31 2t42atV在(0,上是增函数,1 2t2at当x 时V(x)取

14、最大值1 2t1a综上知:当t 时,x,容积V取最大值;4312at当0 t 时x 时,容积V取最大值.(12分)41 2t当x 21（）An1An 3AnAn1 AnAn1A4A51An1An311111A3A4()2A2A3()3A1A2(OA2OA1)J.(3分)33327311（II）由（1）知AnAn1n1A1A2n3j,33OAn OA1 A1A2An1An j A1A2 An1An1191()n129()n4133 j 9 j 3j n3j j j j.(6分)12313|Bn1Bn|2 2且Bn1,Bn均在射线y x(x 0)上,Bn1Bn 2i 2 j.OBn OB1 B1B

15、2 B2B3 Bn1Bn 3i 3j (n 1)(2i 2 j)(2n 1)i (2n 1)j.13n3(8分)(III)四边形AnAn1Bn1Bn的面积为Sn SAnAn1Bn1 SBn1BnAn|AnAn1|,AnAn1Bn1的底面边AnAn1的高为h1 2n 3.1129()n429()n433又|BnBn1|2 2,An(0,)到直线y x的距离为h2.22 2129()n411129n3Sn(2n 3)n32 2 n3(10分)222332 2nn 1 2n 3而S S 0,nn1n3n4n3333S1 S2 SnSmax S1291294729.2322(12分)22（）若 a=0

16、,则 c=0,f(x)=2bx.2f(x)4|b|,max3当 2 x 2时,有f(x)4|b|1.min2这是不可能的，a0.若 a0，则由|bb|2，区间2，2在对称轴 x=的左侧或右侧，aaf(x)在2，2上是单调函数.2f(x)4|b|,maxb3也是不可能的，|2.af(x)4|b|1.min2综上知|（II）b|2.（6 分）a416f(x)a(x)23.aa16a 0,所以f(x)max 3a164(i)当3 5,即8 a 0,此时0 M(a).aa所以,M(a)是方程ax28x 3 5的较小根.8648a2212a16 2a 442164(ii)3 5,即a 8,此时M(a).aa所以,M(a)是方程ax28x 3 5的较大根.M(a)4 2a 2当且仅当a 8时,等号成立.由于M(a)86432a2a4420 2(9分)5 125 115 1,因此当且仅当a 8时,M(a)取最大值.(14分)222（III）f(x)2ax 2b,a 0,f(x)max 2a 2b 2.a b 1.2 f(0)4c 4a 4b 4c 4(a b)f(2)4 2 4 212又|f(x)|2,f(x)2 f(0).4c 2,C f(x)在x 0处取到最小值且02,22b 0,b 0,从而a 1,f(x)x2 2.2a(4分)