四川大学2006至2007学年第一学期常微分方程期末考试试题A.pdf

《四川大学2006至2007学年第一学期常微分方程期末考试试题A.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《四川大学2006至2007学年第一学期常微分方程期末考试试题A.pdf（2页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、四川大学四川大学 20062006 至至 20072007 学年第一学期常微分方程期末考试试题学年第一学期常微分方程期末考试试题 A A1、选择填空，只有一个答案正确（30 分，每小题 5 分）(1)考虑线性系统 dx x/dt=A(t)x x,其中 A 是 nn 实矩阵函数、tR R,x x R Rn。其所有的解构成一个_a_。(a)n 维线性空间，(b)n2维线性空间，(c)无穷维线性空间,(d)不是线性空间。(2)设 X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，若C 是 nn 可逆实矩阵，下列也是基本解矩阵的是_b_。(a)CX(t),(b)X(t)C,(c)C+X(t)，(d)C-X(t)

2、。(3)X(t)是(1)考虑的系统的基本解矩阵，则它具有初值条件 x x(t0)=x x0的解为_c_。(a)x x(t)=exp(A(t-t0)x x0 (b)x x(t)=X(t-t0)x x0,(c)x x(t)=X(t)X-1(t0)x x0,(d)x x(t)=x x0 exp(trA(t-t0)。(4)考虑系统 dx x/dt=f(t,x x)关于 x x(t0)=x x0初值问题,其中(t,x x)R,即R RR Rn中以(t0,x x0)为中心的有界闭矩形。该初值问题存在唯一解的条件是_d_。(a)f 连续，(b)f 连续且对 x x 有界，(c)f 连续且对 x x 可微，(

3、d)f 连续且对 x x 连续可微。(5)在(4)中考虑的初值问题解对初值连续依赖的条件是_c_。(a)f 连续，(b)f 连续且对 x x 有界，(c)连续且对 x x 是 Lipschitz 的，(d)f 连续且对 x x 可微。(6)设系统 dx x/dt=f(x x)的初值问题具有存在唯一性且满足 f(0)=0。系统关于初值 x x(0)=x x0的解记为 x x(t,x x0)。系统零解的渐近稳定性是指其零解稳定并且_d_。(a)存在 x x0使 x x(t,x x0)0 当 t0，(b)对 0 附近所有 x x0有x x(t,x x0)0 当 t0，(c)存在 x x0使 x x(

4、t,x x0)0 当 t+，(d)对 0 附近所有 x x0有 x x(t,x x0)0当 t+.2、（20 分）假设初值问题 dx/dt=ax+f(t),x(t0)=x0满足解的存在唯一性条件，其中 a 为实数，tR R,xR R。(1)写出这个初值问题解的表达式。(2)用常数变易法证明这个表达式。解(1)x(t)=exp(a(t-t0)x0+t0 t exp(a(t-s)f(s)ds.10 分(2)首先，用分离变量法求得 dx/dt=ax 有通解 x(t)=c exp(at)。设方程有形如 x(t)=c(t)exp(at)的解。代入方程得 dc/dt=exp(-as)f(s),从而得到特解

5、 x(t)=exp(at)exp(-as)f(s)ds 和通解x(t)=exp(at)c+exp(a(t-s)f(s)ds.通过初始条件可以确定 c，并证得(1)的表达式。10 分3、（15 分）求方程(xy2+4x2y)+(3x2y+4x3)dy/dx=0 的通解。解 左式=(xy2dx+3x2y dy)+(4x2y dx+4x3 dy)5 分 =(x/y)(y3dx+3xy2dy)+4x2(y dx+x dy)5 分 =(x/y)d(xy3)+4x2 d(xy)=(x/y)d(xy3)+4xy d(xy)=(x/y)dxy3+2(xy)2，4 分从而得到 xy3+2(xy)2=C。1 分4

6、、（15 分）计算方程 d2x/dt2+x=cos t 的通解。进而计算方程关于初值 x(0)=1,dx/dt(0)=0 的解。解(1)特征方程为 l2+1=0,l=i,-i。通解为 x(t)=C1exp(it)+C2 exp(-it).实通解为 x(t)=C1 cos(t)+C2 sin(t).5 分 (2)考虑算子形式的复系统(D2+1)z=exp(it).从而z(t)=exp(it)1/(D+i)2+1)1=exp(it)(1/(D2+2iD)1 =exp(it)(1/(D+2i)t=exp(it)(1/(D+2i)t =(1/(2i)(t-1/(2i)exp(it)=(cos(t)/4

7、+tsin(t)/2)+i(sin(t)/4-t cos(t)/2).从而，x(t)=Re z(t)=cos(t)/4+t sin(t)/2.5分通解为 x(t)=C1 cos(t)+C2 sin(t)+cos(t)/4+tsin(t)/2.1 分(3)代入初始条件得 C1+1/4=1,C2=0,即 C1=3/4,C2=0.最终解为x(t)=(3/4)cos(t)+cos(t)/4+t sin(t)/2=cos(t)+tsin(t)/2.4 分5、（20 分）方程 d2x/dt2+(k/m)x=0 描述了线性弹簧振子的自由振动，其中质量m0,Hook 常数 k0。记 y 表示运动的速度，即 y

8、=dx/dt.（1）写出方程的等价一阶微分方程组。（2）求通解。（3）分别对 k0 和 k0 判断奇点（0，0）的定性性质（类型及稳定性），并给出论据。（4）画相平面轨道的草图。解(1)等价一阶微分方程组为 dx/dt=y,dy/dt=-(k/m)x.4 分(2)特征方程为 l2+(k/m)=0，当 k0 时特征值为 l1=(k/m)1/2i i，l2=-(k/m)1/2i i。3 分因此当 k0 时通解为 x(t)=C1cos(k/m)1/2t)+C2 sin(k/m)1/2t).3 分 (3)当 k0 时奇点（0，0）是中心，是稳定的。3 分 (4)草图(略)4 分注：其他等价做法以及等价结果相应给分。