复旦大学概率论基础第三章答案.pdf

《复旦大学概率论基础第三章答案.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《复旦大学概率论基础第三章答案.pdf（25页珍藏版）》请在淘文阁 - 分享文档赚钱的网站上搜索。

1、复旦大学概率论基础习题答案复旦大学概率论基础习题答案（第一版）第三章第三章随机变量与分布函数随机变量与分布函数1 1、解：解：令n表在 n 次移动中向右移动的次数，则n服从二项分布，kkPn k Cnp(1 p)nk,k 0,1,n以Sn表时刻时质点的位置，则Snn(nn)2nn。n的分布列为0(1 p)n11Cnp(1 p)n1222Cnp(1 p)n2n。pnSn的分布列为 n(1 p)n n 21Cnp(1 p)n1 n 422Cnp(1 p)n22 2、解解：P1 P失成 P成失 pq qp，n。pnP 2 P失失成 P成成失 ppq qqp p2q q2p,所以的概率分布为p k p

2、kq q2p,k 1,2,。3 3、解：解：（1）1f(k)k1Nc N，c 1。N1（2）1 ck!c(e1)，c (e1)k1k。4 4、证证：f(x)0，且1|x|x|xf(x)dx edx edx e02 f(x)是一个密度函数。5 5、解解：（1）P(6 9)P(610)1211(10)(910)22111 P1(10)(2)0.285788222（2）P(7 12)P(7 10)1211(10)(1210)22111 P1(10)1 1(1)0.774538222（3）P(13 15)P(1310)1211(10)(1510)22 P111 1117(10)2 2(1)0.0 6

3、0 5 9222226 6、解：7+24+38+24+7=100，P x4(1007)/100 0.93，P x3P x3(7 2438)/100 0.69，查表得(1.5)0.93,(0.5)0.69。由题设得11(x)P(60)(y 60)x P y33令x 1(y 60)1.5，解 得y 64.5，即x4 64.5。由 对 称 性 得x13160(64.560)55.5。再令(y 60)0.5，解得y 61.5，即x3 61.5。由对称性3得x2 60(61.560)58.5。7 7、解解：（1）(1.3)0.90，而P a P(5)1211(a 5)(a 5)，令221(a 5)1.3

4、解得a 7.6。2（2）由P|5|a 0.01得P5 a 0.005，从而P(5)而(2.6)0.995所以121 a=0.995，21a 2.6,a 5.2。28 8、证证：（1）设x2 x1,F(x2)F(x1)Px1 x2 0，所以F(x2)F(x1)，F(x)非降。（2）设x xn xn1 x1 x0，x1 x由概率的可加性得P(xi1 xi)Px x0i0F(x)F(x)F(xii1i00)F(x)。由此得F(x0)F(x)limF(x0)F(x)，nF(x)lim F(xn)F(x 0),F(x)右连续。n（3）1 P nPn n 1F(n 1)F(n)limF(n)nxnmlim

5、 F(m)。F(x)与lim F(x)均 存 在 且 有 穷，由0 F(x)1及 上 式 得由 单 调 性 得l i mxF()0,F()1。9 9、证证：Px1 x2 P x2 P x1 P x2(1 P x2)P x2 P x11(1)(1)11().不等式成立。0,1010、证法一证法一：定义F(x)P0 x,1,x(,0 x(0,1则F(x)是的分布函数。由题设得，x(1,)对任意2x0,1有P0 x Px 2x，即有P0 2x 2P0 x。由此得F(2x)2F(x)。逐一类推可得，若nx0,1，则F(nx)nF(x)，或者1xmmF(x)F()。从而对有理数，若x与x都属于0,1，则

6、nnnn有Fm m再由F(x)的左连续性可得，对任意无理数a，若ax与x都属于0,1，x F(x)。nn则F(ax)aF(x)。因为区间0,1)与0,1的长度相等，由题设得F(1)P0 1 P0 11.由此及上段证明得，对任意x0,1有F(x)xF(1)x，即F(x)为0,x 0F(x)x,0 x 11,x 1服从0,1上均匀分布。证法二证法二：如同证法一中定义的分布函数F(x)，由F(x)单调知它对0,1上的 L测试几乎处处可微。设x1,x2(0,1)，当x1 x0,1(i 1,2)时，由题设得F(x1 x)F(x1)Px1 x1 x Px2 x2 x F(x2 x F(x2)等式两端都除以

7、x，再令x 0可得，由F(x1)存在可推得F(x2)也存在，而且F(x2)F(x1)。从而对任意x(0,1)有F(x)c。当x 0,1时显然有F(x)0。一点的长度为 0，由题设得P 0 P1 0。由上所述可知是连续型随机变量，F(x)是其密度函数，从而定出c 1。至此得证服从0,1均匀分布。(xm)211111、证：、证：（1）f(x)exp222(x m)2112 exp(x m)ln exp lnln2022222若令Q()12,T(x)(x m),D(_ ln，S(x)ln2，则有02(2)f(x)expQ()T(x)D()S(x)这就证明了正态分布M(m0,2)是单参数(0)的指数族

8、。（2）fm(x)2(x m)exp220201x22mx m2m2x21 mx exp lnexp2222220202020011m2mx212若令Q(m)，则,T(x)x,D(m),S(x)ln222002020fm(x)expQ(m)T(x)D(m)S(x)所以正态分布N(m,0)是单参数m(m )的指数族。（3）p(k;)2kk!e expk lnlnk!。若令Q()ln,T(k)k,D(),S(k)lnk!，则p(k;)expQ()T(k)D()S(k)，所以p(k;)是单参数(0)的指数族。（4）关于0,上的均匀分布，其密度函数为f(x)1/,0 x x 或 x 00,f(x)是定

9、义在 x 的函数，由于它是x的分段表示的函数，所以无法写成形式f(x)expQ()T(x)D()S(x)1212、证、证：分别对固定的x0和y0有故f(x)关于不是一个单参数的指数族。，1,F(x0,y)0,y x0,y x01,x x0F(x,y0)0,x y0。由上式显然可得F(x,y)对每个变元非降，左连续，而且满足(2.6)及(2.7)，即F(,y)0,，F(x,)0,F(,)1但有F(1,1)F(1,0)F(0,1)F(0,0)1,这说明当取a1 a2 0,b1 b21时(2.5)式不成立。所以F(x,y)不是分布函数。1313、证、证：必要性：ba(xy)2aacb2yaf(x,y

10、)dxdy ke令u x edxdybby,v y，得y v,x u v,J 1。设aaf(x,y)dxdy keaudue2acb22vadv2要积分收敛，必须a 0,(ac b2)/a 0，由此得应有ac b 0以及c 0。利用eudu 可得2k keaudu2eacb22vadv k 1aaac b21ac b2从而题中所列条件全部满足。以上诸步可逆推，充分性显然。1414、解、解：设f(x,y)f1(x)f2(y)h(x,y)是密度函数，则由f(x,y)0得h(x,y)f1(x)f 2(y)。又1f(x,y)dxdy f1(x)dxf2(y)dy h(x,y)dxdy 1h(x,y)d

11、xdy，所以应有h(x,y)dxdy 0。h(x,y)dxdy 0，显 然 有反 之，若h(x,y)f1(x)f 2(y)，h(x,y)可 积 且f(x,y)0且f(x,y)dxdy 1，即f(x,y)是密度函数。所以为使f(x,y)是密度函数，h(x,y)必须而且只需满足h(x,y)f1(x)f 2(y)且h(x,y)dxdy 0。1515、解、解：（1）10Ae2xdx01eydy Ae2x210 ey|00A,A 22（2）P 2,12024ey|11e1)。2e2xdxeydy e2x|00(1e)(（3）的边际分布，当x 0时f(x)0，当x 0时有f(x)2e2xeydy 2e2x

12、.0（4）P 22022e2xdx2x2x0eydy2e0(1e(2x)dx(2e2x2e(2x)dx02(1e4)(2e42e2)1e42e2(1e2)2.（5）当x 0,y 0时f(x|y)0；当x 0,y 0时有f(x,y)2e(2xy)f(x|y)2e2x.yf(y)e（6）P1dy0102e(2xy)dxedy2e001y(2xy)dx ey101e1,利用（2）的结果可得P 2,1(1e4)(1e1)41e.P 2,11P11e1616、解、解：作变换，令x a cos,y b sin，则|J|椭圆区域为cos22rsincossin222212212记cos2212rsincos

13、12sin222 s2则/s，且P(,)D()12121 r12121 r22dse002x12(1r)22S2d2x0(1 r2)2(1r2)e2SS22Sd0211 r2(1r2)1ed20212S22当 时，P(,)D()1，由此得1717、证、证：设多项分布为202121。d22S1rP1 k1,r krrn!p1k1p1kr，（1）k1!kr!ki 0,利用（2）可以把（1）改写成ki1i n,pi1ri1。（2）P1 k1,r1 kr1n!p1k1p1kr(1 p1 pr1)nk1kr1（3）k1!kr1!(n k1 kr1)!由边际分布的定义并把（3）代入得P1 k1,r2 kr

14、2kr1P1 k1,r1 kr1k1kr1n,kr10nk1kr2r2n!p1k1prk(nk1kr2)!2r1prk1k1!kr2!(nk1kr2)!kr10kr1!(nk1kr1)!(1 p1 pr2pr1)由二项式定理得nk1kr1P1 k1,r2 kr2n!nk1k2r2（4）p1k1prk2(1 p1 pr2)k1!kr2!(n k1 kr2)!把（4）与（3）比较知，边际分布仍服从多项分布。多次类推可得P1 k1n!p1k1(1 p1)nk1k1!(n k1)!从而知任意边际分布均服从多项分布（包括二项分布）。1818、解：、解：（1）的密度函数为，当x 0时p(x)0；当x 0时

15、，注意积分取胜有选取，得p(x)p(x,y)dy x1 xk11(y x)k21ydy(令y x 1)(k1)(k2)xk11xk11xk21xtte e dt e.0(k1)(k1)(2)（2）的密度函数为，当y 0时p(y)0；当y 0时，p(y)p(x,y)dx 1 xk11(y x)k21ydxx(k)(k)12y令x yt，当x 0时t 0，当x y时t 1，所以1eyp(y)yk11yk21tk11(1t)k21ydt0(k1)(k2)yk1k21eyyk1k21ey(k1)(k2)B(k1,k2)(k1)(k2)(k1)(k2)(k1 k2)其中用到函数与函数的关系式。1919、

16、证、证：我们有1yk1k21ey(k1 k2)0 Fi(xi)1,1 2fi(xi)1 211,12F1(x1)12F2(x2)12F3(x3)11,代入f(x1,x2,x3)的表达式得f(x1,x2,x3)0 (1)又有2 F(xi)Fi(xi)02F(x)1 f(x)dx 2F(x)1dF(x)1iiiiiiiiif(x1,x2,x3)dx1dx2dx3f1(x1)dx1f2(x2)dx2f3(x3)dx31(2)由（1），（2）知f(x1,x2,x3)是密度函数。用与上面类似的方法计算可得边际密度函数为f(x1,x2,x3)dx2dx3 f1(x1),f(x1,x2,x3)dx1dx2

17、f3(x3)f(x,x12,x3)dx1dx3 f2(x2).2020、解：、解：（1）为求(,)的联合概率分布，分别考虑下列三种情况：(i,k 1)其中利用到独立性。（a）i kkkP k,k P(k,j)P k,jj1j1(b)i kpj1k2qk j2p q2k11qk pqk1(1qk)；1qP k,i P i,k p2q1k2；(c)i k k,i,P k,i 0,)，所以(2)因为 max(k i,k k,ji1j1kk1kP kP i,kP k,j p q2i1j1i1k1k11k2p2qk j2j1k p q2k11 qk11 qkk1kk1(2 q q)pq(k 1,2,)1

18、 q1 q（3）P i|kP i,kP kpqk1(1qk)1qkqk,i kk1k1k pq(2qq)2q121k2i1p qpqqk,i kk1k1kpq(2qq)2q1i k,(i,k 1)2121、解、解：（1）边际分布的密度函数为，当x 0.1时f(x)0；当0 x 1时，f(x)f(x,y)dy 4xydy 2x01同理，当y 0.1时f(y)0；当0 y 1时f(y)2y。f(x,y)f(x)f(y)，所以与独立。（2）边际密度函数为，当x 0.1时f(x)0；当0 x 1时f(x)f(x,y)dy 8xydy 4x(1 x2)01当y 0.1时f(y)0；当0 y 1时f(y)

19、g(x,y)dx 8xydx 4y201在区域0 y 1中均有g(x,y)f(x)f(y)，所以与不独立。2222、证：、证：当0 x 2,0 y 2时，与的联合分布密度为20p(x,y)11 zsin xsin y(cosz)；323848(1sin xsin ysin z)dz02其余p(x,y)0。当0 x 2时，p(x)20dy20183(1sin xsin ysin z)dz 1；2其余p(x)0。由于,三者在密度函数的表达式中所处地位相同，故得当0 x 2,0 z 2时，p(x,z)1/42；当0 y 2,0 z 2时，当0 y 2时，p(z)1/2；当0 z 2时，p(z)1/2

20、；p(y,z)1/42；在其余区域内，诸边际密度函数均取0 值。由于p(x,y)p(x)p(y),p(x,z)p(x)p(z),p(y,z)p(y)p(z),故,两两独立；但当0 x 2,0 y 2,0 z 2时有p(x,y,z)p(x)p(y)p(z)，故,不相互独立。2323、证、证：当|x|1时，p(x)p(x,y)dy 1 xy1dy，1421其余p(x)0。同理当|y|1时，p(y)1/2其余p(x)0当0|x|1,0 y 1时有p(x,y)p(x)p(y)，所以与不独立。222现试能动分布函数来证与独立。的分布函数记为F1(x)，则当0 x 1时，F1(x)P x P x x 同理

21、可求得2的分布函数F2(y)，得2xx1dx x；2x 00,F1(x)x,0 x 11,x 1,y 00,F2(y)y,0 y 11,y 1,(2,2)联合分布函数记为F3(x,y)，则当0 x 1,y 1时F3(x,y)P2 x,2 y P2 xx同理得当0 y 1,x 1时F3(x,y)y；当0 x 1,0 y 1时F3(x,y)P2 x,2 y P x x,y y1 stxy4dt xy0,x,合起来写得F2(x,y)y,xy,1,=xdsyx 0 或 y 00 x 1,y 10 y 1,x 10 x 1,0 y 1x 1,y 122不难验证F3(x,y)F1(x)F2(y)对所有x,

22、y都成立，所以与独立。2424、证：、证：（1）由褶积公式及独立性得P12 kP1 i,2 k i P1 iP2 k ii0i0kki0ki1i!e1e(k i)!1k221(12)kk!ik1e12k!i!(k 1)!i0(12)k(12)ek 0,1,2,k!这就证明了12具有普阿松分布，且参数为12（2）P1 k|12 nP1 k,12 nP12 nP1 k,2 n kP1 kP2 n kP12 nP12 nk1k!e1kn2(nk)!ke2(12)n(12)en!nk n1 k1225、证：由题设得221证毕。1 11 11，2 22 221 11 11P 1 P(1,1(1,1)。2

23、 22 22P1 P(1,1(1,1)P1,1 P(11,1(1,1)P1,1 P1P11 P1P1，4P1,1 P(11,1(1,1)P1,1 P1P 1同理可证P 1,1 P 1P1，1 P1P 1，4P 1,1 P 1P 1.所以与相互独立。用同样的方法可片与也相互独立。但P1,1,1 P(1,11,1 1,1)，P1P1P1所以,只两两独立而不相互独立。1，82626、解、解：P kkk!e,k 0,1,2，由此得（1）P ak bkk!e,k 0,1,2，（2）P k 2kk!e,k 0,1,2。2727、解、解：（1）由P 0 0知，以概率 1 取有限值。当y 0时，011F(y)

24、P y P 0 Pp(x)dx1p(x)dx；yy当y 0时，011F(y)P y P 01p(x)dx；yy当y 0时，F(y)0p(x)dx。（2）F(y)Ptg y Pk k arctg y)2kk k 2karctg yp(x)dx（3）当y 0时，F(y)0；当y 0时，F(y)P|y P y y2828、解、解：设直径为随机变量 d，则yyp(x)dx。1,a x bpd(x)(b a)。其它0,圆面积S 1211d。当a2 y b2时，4441Fa(y)PS y Pd2 y Pd 4当y 4ya4y1dx；b a121a时Fa(y)0；当y b2时Fa(y)1。由此对Fa(y)求

25、导（利用对参数积441212分求导法则）得圆面积的分布密度为，当y a或y b时pa(y)0；当44y121a y b2时pa(y)Fa(y)。44(ba)y2929、解、解：与的密度函数为1,0 x 1（1）p(x)p(x)0,其它由卷积公式及独立性得的分布密度函数为p(y)p(x)p(y x)dx（2）把（2）与（1）比较知，在（2）中应有0 x 1，y0 y x 1，满足此不等式组的解(x,y)构成 2图中平面区域平形四边形ABCD，当0 y 1时 C0 x y,当1 y 2时y 1 x 1。所以当 D 1 B0 y 1时（2）中积分为p(y)11dx y A 0 1 x0y当1 y 2

26、时，（2）中积分为p(y)11dx 2 y;y11对其余的 y 有p(y)0。3030、解、解：p(x)p(x)由求商的密度函数的公式得12e1 x2212(x2y2)，p(x,y)e2112(x2y2x2)2edx p(y)|x|p(xy,x)dx|x|2210 xe1x2(1y2)2dx1112x2(1y2)1e,y 21 y2(1 y)0服从柯西分布。111(s t),y(s t),|J|。由与222221 st st 222 3131、解解：作变换，令s x y,t x y，得x 独立知，它们的联合密度应是它们单个密度的乘积，由此得U，V 的联合密度函数为pUV(s,t)121e4e1

27、x2212e11y22|J|1 s 22 21e2121(s2t2)422e122e1 t 22 2 pU(s)pV(t)所以 U,V 两随机变量也相互独立，且均服从N（0，2）。3232、解、解：当y 0时由独立性得1 F(y)P y P1 y,2 y,n yP1 y(1 Fi(y)(ei1i1i1nF(y)1exp yinnniy)exp(yi)i1n当时。求导得的密度函数为，当时；当时3333、解、解：设(0,a)在内任意投两点1,2，其坐标分别为x,y，则1,2的联合分布密度为(x,y)(0,a)(0,a)0,p(x,y)1。,(x,y)(0,a)(0,a)a2设|12|，则的分布函数

28、为，当z 0时F(z)0；当z a时F(z)1；当0 z a时，F(z)P|12|zzxyz0 x,yap(x,y)dxdy 1a2zxyz0 x,yadxdy 1S，2a积分 S 为平面区域 ABCDEF 的面积，其值为a2(a z)2 2az z2，所以F(z)(2az z2)/a2.Y E D3434、证、证：由独立性得，V (x,y,z)的概率密度为 Fz Cp(x,y,z)S 1(2)33e122(x2y2z2)0 A Bz a x(第 33 题图）x2 y2 z2的分布函数为，当s 0时，F(s)Px y z s 2222x y z S2122(2)33e122(x2yz2)dxd

29、ydz作球面坐标变换，x cossin,y sinsin,z cos，则|J|2sin，F(s)20dsind0a01(2)33e12/222d 22a01(2)33e12/222d由此式对 s 求导可得，当s 0时，S 的密度函数为s2F(s)f(s)exp22 23535、证、证：（3.14）式为2 s2p(x)11 2n21n2x11n1x22e,x 0。令y x211，则x ny,xy 2ny，由p(y)p f(y)|f(y)|得，的密度函nn数为，当y 0时p/n(y)(ny)1n221n12122e1 ny222ny 2nyn11221n21n2e1 ny22与n仍独立。记T/n，

30、则由商的密度函数公式得T 的密度函数为pT(t)|y|p(ty)p1n2(y)dyy/n012e1 t2y222ny1n21n2n1e1 ny221 2n2dy0n1 22n221n2(y)21(n1)12e1y2(nt2)2dy2，令u y2(n t2)，则dydu，得2(n t)pT(t)n(n t)1n21n221(n1)21 22n2n12u011(n1)1 u22edu12221n21(n 1)1(n1)22(n t)2121(n1)211(n 1)22(n1)t 2 t pT(t)11nnn23636、解、解：U 的分布函数为，当t 0时F(t)0；当t 0时有F(t)xyztp(

31、x,y,z)dxdydz dx0ttx0dytxy06dz4(1 x y)tt2t22dxdy3300(1t)2(1 x y z)ttt2t11tt2dxdx 13222300t 1(1t)(1t)(1t)(1 x)(1t)3t2对F(t)求导可得 U 的密度函数为，当t 0时p(t)0；当t 0时p(t)。4(1t)3737、证、证：（U，V）联合分布函数为12(x2y2)F(u,v)edxdy222x y uxvy122当s 0时作变换，s x y,t x，反函数有两支ysx t(1t2)sy s(1t2)sx t(1t2)sy(1t2)与J12x2y2x21x 2 2 2(t21)，|J

32、|122y2(1t)yy考虑到反函数有两支，分别利用两组11uv12s1 12(x2y2)F(u,v)edxdy 2 edt2022(1t)x2y2ux2y2u2xxv,y0v,y0yy对F(u,v)求导，得（U，V）的联合密度为（其余为0）12u1p(u,v)e,2(1v2)1 u若令pU(u)e2(u 0),211u 0,0 v 1(1v2)pV(v)(v )，则 U 服从指数分布，V 服从柯西分布，且p(u,v)pU(u)pV(v)，所以 U，V 两随机变量独立。3838、证、证：当x o时，与的密度函数分别为p(x)r1(r1)xr11xe,p(x)r2(r2)xr21ex;当x 0时

33、，p(x)p(x)0。设U,V。当s 0或t 0时，（U，V）联xst，得x，y(1t)合密度为p(s,t)0；当s 0,t 0时，作变换s x y,t y ss而|J|，所以(1t)(1t)2p(s,t)r r12(r1)(r2)xr11yr21e(xy)|J|r 1r 112s st s se(r1)(r2)1t1t(1t)212r rr1r2(r1 r2)tr11r1r21sse(r)(r)(r)(r)(1t)r1r22211由此知 U 服从分布服从分布，且U 与 V 相互独立。3939、解、解：令U,V pU(s)pV(t)()，当s 0或t (0,1)时，U，V 联合密度p(s,t)

34、0；当s 0且t(0,1)时作变换s x y,y x，则x st,y s st,|J|s，(x y)p(s,t)exey|J|se(xy)ses1 pU(s)pV(t)由此得 U 服从分布G(1,2)，V 服从(0,1)分布，且 U 与 V 相互独立。40、解:（2.22）式为p(x,y)1212(x n)22r(x a)(y b)(y b)21exp2222 2(1 r)1r1212设Ui,Vi;U U1a b,V V1a b。作变换s x y a b，t x y a b则x a 为111(s t)，y b(s t),|J|。U，V 的联合密度函数222f(s,t)p(x,y)|J|(s t

35、)22r(s t)(s t)(s t)2111exp222222121 r412422(1 r)411412122222222exps 2 t 2 2st()121212122122228(1 r)1 r12设 U，V 的边际分布 密度 函数分别为fU(s),fV(t)，欲 U 与 V 独立，必须 且只需212 0时成立。U，Vf(s,t)fU(s)fV(t)，由f(s,t)的表达式可知，这当且仅当2相互独立与Ui,Vi相互独立显然是等价的，所以Ui,Vi相互独立的充要条件是12。当12 时，得s21s2fU(s)expf(t)exp，V224(1 r)4(1 r)2(1 r)2(1 r)1U

36、 N(0,2(1 r)2),V N(0,2(1r)2)。4141、解：、解：（1）因为指数中二次项x,y,xy的系数分别为1,上题解答）比较知，可设其配方后的形式为221,1，所以与(2.22)式（见211(x s)2(y t)21(x s)(y t)。22s t 11比较系数得 s t 7 s21t2 st 32122此方程组有唯一解s 4,t 3，由此得p(x,y)11expx 4)2(y 3)2(x 4)(y 3)22 211(y 3)1(x 4)(y 3)2exp(x 4)21212122(1)212 122（2）与（2.22）式比较得，a 4,b 3,11,2 2,r 12。（3）p

37、1(x)(x 4)2(y 3)21expexp，p2(y)。242212p(x,y)111 1 11（4）p(x|y)它服从Ny 5,。expx y 5，22 2p2(y)22 4242、解、解：|B1|27,|B|11.127|B|p(x,y,z)(2)11n2|B|121exp(x a)B1(x a)21(2)1n21exp12|B|2r(x a)(x a)jk11kkj,k1n1(2)321exp(7x2 4y2 2z2 6xy 4xz 2yz).1227(1,2)的边际密度函数为（积分时在指数中对z 配方）p(x,y)p(x,y,z)dz(2)132127e11(5x23y24xy)2

38、2e1(zxy)22dz21令z x y t，利用etdt 得2p(x,y)3 611exp(5x2 4xy 3y2)。4224343、证、证：以 f 记的密度函数，则(,)的联合密度为f(x0 f(y)。作变换，令s x y，t x y得x 111(s t),y(s t),|J|。若改记 s 为 x，t 为 y，则由此可得222(,)的联合密度为和的密度分别为11 1由卷积公式得f(x y)f(x y)。另一方面，22 2g(x)f(x s)f(s)ds,h(y)f(y t)f(t)dt.故由与独立得121 1f(x y)f(x y)g(x)h(y)。2 2令m(x)log f(x)（此处用

39、了f(x)0），则有11m(x y)m(x y)logg(x)log2h(y)。22由假定知m(x)有二阶导数，上式对 x 求导得 x y x y x y x ym m (log g(x)x22x22x再对 y 求一次导数得1111m(x y)m(x y)0.4242对任意 u,v，选择 x,y 使u 11(x y),v(x y)则由上式得m(u)m(v)0.22由 u,v 的任意性得m 常数，因而m(x)a bx cx2，即有f(x)exp(a bx cx2).所以,，从而,均匀正态分布。4444、解：解：（1）将弦的一端 A 固定，另一端 B 在圆周上等可能分布，记1表示沿逆时针方向AB弧

40、长，则1在(0,2)上服从均匀分布，4/31412P弦长 3 P1dx 2/33233（2）假定弦垂直于某直径，取该直径为x 轴，圆心为坐标原点，记2表示弦的中点坐标，则2在-1,1上服从均匀分布，1111P弦长 3 P221dx 22222（3）以圆心为原点建立直角坐标系XOY，记弦中点的坐标为(1,2)，则在圆内11(x,y):x2 y212 服从均匀分布，记D(x,y):x2 y2，则2P弦长 3 PD2x y2112dxdy 14三种解法的随机变量虽都服从均匀分布，但由于随机变量不同，所以就得出了不同的结论。4545、证、证：（1）若 f亦有 f11B，则f()B，必存在某个0使f()

41、B0，(B0)，从而f1(B)，11f(B)fB（1）反之，若f1(B)，必存在某个0使 f1(B0)亦有f()B0，即f()B，从而 f1B，1 f1Bf(B)。（2）由（1），（2）式即得（和集的逆像等于每个集逆像的和）1f1Bf(B)。（2）若 f1B，则f()B，即f()属 于 每 个B()，得1，从而fB，f1(B)（对任一）反之，若111f(B)fB。（3）1fB，则属于每个fB()，亦有f()属于每个B()，即f()B，从而 f1B，1 f1Bf(B)。（4）由（3），（4）式即得（交集的逆像等于每个集逆像的交）1f1Bf(B)。（3）若 f1(B)，则f()B，亦有 f1(B)

42、，从而 f1(B)，所以f1(B)f1(B)。反之，若 f1(B)，则 f1(B)，亦有f()B，即f()B，从而 f1(B)，所以f1(B)f1(B)。由以上证明可得f4646、证、证：必要性。设是随机变量，则对C B有:()C F，又(,x)B1，1(B)f1(B)，即互为对立事件的逆像也是互为对立的事件。:()x:()(,x)F.充分性。记M A:A R1,(:()A)F，现证 M 是R中域。（1）:()R1 F，故R M。（2）若C M,由上题f111(C)f1(C)得(:()C)(:()CF,故C M对余集运算封闭。（3）设CiM,，由上题（1）中结论得Ci1iM，M关于可列并集运算封闭。1由(1)(3)知，M 是域的集类。由条件知，M(,x):xR,M S(,x):xR1 B1,其中 SA表示由集类 A 产生的域。由此得证是一随机变量。