2021_2021学年新教材高中数学第六章平面向量及其应用6.4.1_6.4.2平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例课时素养检测含解析新人教A版必修第二册.doc

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1、课时素养检测 十平面几何中的向量方法向量在物理中的应用举例(30分钟60分)一、选择题(每小题4分,共24分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.两个大小相等的共点力F1,F2,当它们的夹角为90时,合力大小为20 N,当它们的夹角为120时,合力大小为 ()A.40 NB.10 NC.20 ND.40 N【解析】选B.如图,以F1,F2为邻边作平行四边形,F为这两个力的合力.由题意,易知|F|=|F1|,|F|=20 N,所以|F1|=|F2|=10 N.当它们的夹角为120时,以F1,F2为邻边作平行四边形,此平行四边形为菱形,此时|F合|=|F1|=10 N.

2、2.若点O是ABC所在平面内一点,且满足|-|=|+-2|,则ABC的形状是()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等边三角形【解析】选B.因为|-|=|=|-|,|+-2|=|+|,所以|-|=|+|,所以四边形ABDC是矩形,且BAC=90.所以ABC是直角三角形.【补偿训练】若四边形ABCD满足+=0,(-)=0,则该四边形一定是 ()A.正方形B.矩形C.菱形D.直角梯形【解析】选C.因为+=0,所以=,四边形ABCD是平行四边形,由(-)=0,得=0,所以,即此四边形对角线互相垂直,故为菱形.3.已知点O为ABC外接圆的圆心,且+=0,则ABC的内角A等于()A.30B

3、.60C.90D.120【解析】选A.由+=0,得=-,两边平方得=+-2,由于|=|=|,则|2=2|cosBOC,所以cosBOC=,则BOC=60,所以A=BOC=30.【补偿训练】已知ABC的外接圆半径为1,圆心为O,且3+4+5=0,则的值为()A.-B.C.-D.【解析】选A.因为3+4+5=0,所以3+4=-5,所以9+24+16=25.因为A,B,C在圆上,所以|=|=|=1.代入原式得=0,所以=-(3+4)(-)=-(3+4-3-4)=-.4.点P在平面上做匀速直线运动,速度向量v=(4,-3)(即点P的运动方向与v相同,且每秒移动的距离为|v|个单位).设开始时点P0的坐

4、标为(-10,10),则5秒后点P的坐标为()A.(-2,4)B.(-30,25)C.(10,-5)D.(5,-10)【解析】选C.由题意知,=5v=(20,-15),设点P的坐标为(x,y),则解得点P的坐标为(10,-5).5.在四边形ABCD中,B=120,C=150,且AB=3,BC=1,CD=2,则AD的长所在区间为()A.(2,3)B.(3,4)C.(4,5)D.(5,6)【解析】选C.=+,其中与的夹角为60,与的夹角为30,与的夹角为90,则|2=(+)2=|2+|2+|2+2+2+2=9+1+4+231+212+0=17+2(16,25),所以|(4,5).6.(多选题)小船

5、被绳索拉向岸边,船在水中运动时,设水的阻力大小不变,那么小船匀速靠岸过程中,下列说法中正确的是()A.绳子的拉力不断增大B.绳子的拉力不断变小C.船的浮力不断变小D.船的浮力保持不变【解析】选AC.设水的阻力为f,绳的拉力为F,F与水平方向的夹角为,0.则|F|cos=|f|,所以|F|=.因为增大,cos减小,所以|F|增大.因为|F|sin增大,且船的重力为|F|sin 与浮力之和,所以船的浮力减小.二、填空题(每小题4分,共8分)7.如图,在平面直角坐标系xOy中,一单位圆的圆心的初始位置在(0,1),此时圆上一点P的位置在(0,0),圆在x轴上沿正向滚动.当圆滚动到圆心位于(2,1)时

6、,的坐标为_.【解析】设A(2,0),B(2,1),由题意知劣弧长为2,ABP=2.设P(x,y),则x=2-1cos=2-sin 2,y=1+1sin=1-cos 2,所以的坐标为(2-sin 2,1-cos 2).答案:(2-sin 2,1-cos 2)8.在倾斜角为37(sin37=0.6),高为2 m的斜面上,质量为5 kg的物体m沿斜面下滑至底部,则斜面对物体m的支持力所做的功为_J,重力所做的功为_J(g=9.8m/s2).【解析】物体m的位移大小为|s|=(m),则支持力对物体m所做的功为W1=Fs=|F|s|cos90=0(J);重力对物体m所做的功为W2=Gs=|G|s|co

7、s53=59.80.6=98(J).答案:098【补偿训练】已知力F与水平方向的夹角为30(斜向上),大小为50N,一个质量为8 kg的木块受力F的作用在动摩擦因数=0.02的水平平面上运动了20 m.则力F所做的功是_,摩擦力f所做的功是_.(g=10 m/s2)【解析】设木块的位移为s,则Fs=|F|s|cos30=5020=500(J).将力F分解,它在铅垂方向上的分力F1的大小为|F1|=|F|sin30=50=25(N),所以摩擦力f的大小为|f|=|(G-F1)|=(80-25)0.02=1.1(N).因此fs=|f|s|cos 180=1.120(-1)=-22(J).即F和f所

8、做的功分别是500J和-22J.答案:500J-22J三、解答题(每小题14分,共28分)9.如图,=(6,1),=(x,y),=(-2,-3),(1)若,求x与y间的关系式;(2)若又有,求x,y的值及四边形ABCD的面积.【解析】(1)因为=+=(6,1)+(x,y)+(-2,-3)=(4+x,y-2),所以=(-4-x,2-y).由,得x(2-y)-y(-4-x)=0.整理得2x-xy+4y+xy=0,即x+2y=0.(2)因为=+=(6,1)+(x,y)=(6+x,y+1),=+=(x,y)+(-2,-3)=(x-2,y-3),由,所以(6+x)(x-2)+(y+1)(y-3)=0.整

9、理得x2+4x-12+y2-2y-3=0.由(1)可知y=-x,代入上式得x2+4x-12=0.解得x1=-6,x2=2.相应求得y1=3,y2=-1,即或如图,S四边形ABCD=SBCD+SABD=|+|=|,又=(x1-2,y1-3)=(-8,0)或=(x2-2,y2-3)=(0,-4),=(6+x1,y1+1)=(0,4)或=(6+x2,y2+1)=(8,0),所以|=8或4,|=4或8,所以=16.10.某人在一条河中游泳,河水的流速为3 km/h,此人在静水中游泳的速度为4 km/h.(1)如果他径直游向河对岸,他实际是沿什么方向前进?速度大小为多少?(2)他必须朝哪个方向游才能沿与

10、水流垂直的方向前进?实际前进的速度大小为多少?【解析】(1)设水流速度为,此人游泳的速度为,以,为邻边作矩形OACB,则此人实际的速度为=+.由|=3,|=4,及勾股定理,得|=5,且在RtOAC中,AOC538.故此人实际是沿与水流方向的夹角为538的方向前进的,速度大小为5 km/h.(2)设水流速度为,实际游泳的速度为,实际前进的速度为,则+=,所以四边形OABC为平行四边形.据题意,|=3,|=4,则在RtAOB中,|=.cosBAO=,所以BAO4125.故此人应沿与河岸的夹角为4125且逆着水流的方向前进,实际前进的速度大小为 km/h.【补偿训练】一架飞机从A地向北偏西60的方向

11、飞行1 000 km到达B地,然后向C地飞行.设C地恰好在A地的南偏西60,并且A、C两地相距2 000 km,求飞机从B地到C地的位移.【解析】如图所示,设A在东西基线和南北基线的交点处.依题意,的方向是北偏西60,|=1 000 km;的方向是南偏西60,|=2 000 km,所以BAC=60.过点B作东西基线的垂线,交AC于点D,则ABD为正三角形.所以BD=CD=1 000 km,CBD=BCD=BDA=30.所以ABC=90.BC=ACsin60=2 000=1 000(km),|=1 000(km).所以,飞机从B地到C地的位移大小是1 000km,方向是南偏西30.(35分钟70

12、分)一、选择题(每小题4分,共16分,多选题全部选对得4分,选对但不全对的得2分,有选错的得0分)1.在ABC中,设=a,=b,=c,若ab=bc=ca,则ABC的形状为()A.等腰三角形B.等边三角形C.直角三角形D.等腰直角三角形【解析】选B.因为ab=bc,所以(a-c)b=0,而由向量加法的三角形法则可知,a+b+c=0,所以b=-a-c,所以(a-c)(-a-c)=0,即(a-c)(a+c)=0,得到a2-c2=0,a2=c2,即|a|2=|c|2,也就是|a|=|c|.同理可得|a|=|b|,所以|a|=|b|=|c|.故ABC是等边三角形.2.在直角三角形ABC中,点D是斜边AB

13、的中点,点P为线段CD的中点,则=()A.2B.4C.5D.10【解析】选D.将ABC各边及PA,PB,PC均用向量表示,则=-6=42-6=10.3.点O是ABC所在平面内的一点,满足=,则点O是ABC的()A.三个内角的角平分线的交点B.三条边的垂直平分线的交点C.三条中线的交点D.三条高线的交点【解析】选D.由=,得-=0所以(-)=0,即=0.所以.同理可证,.所以OBCA,OACB,OCAB,即点O是ABC的三条高线的交点.4.(多选题)在直角ABC中,CD是斜边AB上的高,则下列等式成立的是()A.|2=B.|2=C.|2=D.|2=【解析】选ABD.=(+)=+=|2,A正确;同

14、理|2=成立,B正确;又=|2,D正确.二、填空题(每小题4分,共16分)5.以原点和点A(4,2)为顶点作等腰直角三角形OAB,B=90,则向量的坐标为_.【解析】设=(x,y),则=(x-4,y-2).由已知或故B(1,3)或B(3,-1).所以=(-3,1)或(-1,-3).答案:(-3,1)或(-1,-3)6.在四边形ABCD中,已知=(4,-2),=(7,4),=(3,6),则四边形ABCD的面积是_.【解析】因为=-=(3,6)=,所以四边形ABCD为平行四边形.又因为=(4,-2)(3,6)=0,所以四边形ABCD为矩形.因为|=2,|=3,所以S=|=23=30.答案:307.

15、已知O为ABC所在平面内的一点,满足|2+=|2+|2=|2+|2,则O是ABC的_.【解析】设=a,=b,=c,则=c-b,=a-c,=b-a.由题意可知|a|2+|c-b|2=|b|2+|a-c|2,化简可得cb=ac,即(b-a)c=0,即=0,故,即OCAB.同理可得OBAC,OABC,故O是ABC的垂心.答案:垂心8.如图所示,在ABC中,D、E、F分别是边AB、BC、CA的中点,G是它的重心,已知D点的坐标是(1,2),E点坐标是(3,5),F点坐标是(2,7),则A点坐标为_,G点坐标为_.【解析】设A(x1,y1),由已知得EF平行且等于AD.所以=.所以(x1-1,y1-2)

16、=(2-3,7-5)=(-1,2).所以即所以A(0,4).因为AE过点G.设G(x2,y2),由=2得(x2,y2-4)=2(3-x2,5-y2),所以即所以G(2,).答案:(0,4)(2,)三、解答题(共38分)9.(12分)经过OAB重心G的直线与OA、OB分别交于P、Q两点,若=m,=n,求证:+=3.【证明】如图所示,因为点G是OAB的重心,所以=(+),所以=-=(+)-m=(-m)+,由于P、G、Q三点共线,则存在实数,使=又因为=-=n-m即n-m=(-m)+=+,所以消去,得+=3.10.(12分)已知三个点A(2,1),B(3,2),D(-1,4).(1)求证:ABAD;

17、(2)要使四边形ABCD为矩形,求点C的坐标,并求矩形ABCD两条对角线所夹的锐角的余弦值.【解析】(1)因为A(2,1),B(3,2),D(-1,4),所以=(1,1),=(-3,3).所以=1(-3)+13=0,所以,所以ABAD.(2)因为,四边形ABCD为矩形,所以=.设点C的坐标为(x,y),则=(x+1,y-4).又因为=(1,1),所以解得所以点C的坐标为(0,5).所以=(-2,4).又=(-4,2),所以|=2,|=2,=8+8=16.设与的夹角为,则cos=.故矩形ABCD的两条对角线所夹的锐角的余弦值为.11.(14分)设a,b,c是两两不共线的三个向量.(1)如果a+b+c=0,求证:以a,b,c的模为边,必构成一个三角形;(2)如果向量a,b,c能构成一个三角形,问它们应该有怎样的关系?【解析】(1)如图,作=a,=b,=c.按向量加法的多边形法则有=+=a+b+c=0,所以B与D重合,故向量a,b,c能构成一个三角形.(2)设向量a,b,c能构成一个三角形ABC,根据向量加法的三角形法则,有+=,即+=0.因为a=-,b=-,c=-,所以a,b,c有下列四种关系之一即可:a+b-c=0;a+b+c=0;a-b-c=0;a-b+c=0.