2020届浙江省杭州第四中学(吴山校区)高三上学期期中考试数学试题(解析版).docx

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1、 杭州第四中学吴山校区高三上学期数学期中试卷一、选择题（本大题共 小题）101. 设集合 =4，6，8，集合 =3，7，8，那么 等于（M N）MNA.B.C.D.D.4,6,7,2. 下列曲线中实轴长为的是（7,6,）A.B.C.3. 设 ，则“ =0”是“直线 ： +4 -5=0 与直线 ：2 + - =0 垂直”的（a Ral ax ylx ay a）12必要不充分条件A.C.B.D.充分不必要条件充要条件既不充分也不必要条件4. 已知复数 满足，则| |等于（）zzA.B.C.D.4125. 函数 =sin2 +2cos ， -，的图象大致是（x x）yxA.C.B.D.6. 已知向量

2、，则与的夹角 为钝角时， 的取值范围为（）A.C.B.D.且无法确定7. 已知函数，若对于任意的 ，都有 （ ） （ ） （ ）成立，则| - |的最小值为（）x Rf xf xf x2x x112A.B.C.D.4128. 设 0 1，随机变量 的分布列为p012P那么，当 在（0，1）内增大时， （）的变化是（）PDA.B.C.先减小后增大D.减小增大先增大后减小9. 若（ -1）（ - ）ln（ 2-3 + +1）0 在 上始终成立，则 的值为（）xx a x x aRaA.B.C.D.301210. 已知，+，若 ， -1，5，且当 ， a，b时，恒成立，则 b-a 的最大值为（）a

3、b x x12A.B.C.D.5234二、填空题（本大题共 小题）711. 已知 2 =3，9 =8，则 =_， =_ababa12. 已知 终边落在 ： =2019 （ 0）上，则 tan=_，=_l yx x13. 若双曲线 2- 2=1 的渐近线为 =2 ，则 =_；焦点 到渐近线的距离为_mx yyxmF页1 第 14. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，最长棱长为_15. 实数 ， 满足不等式组，则 Z=|4-x-2y|的最大值为_x y16. 在ABC 中，AB=4 BC=2 B=， ，动点 在以点 为圆心，半径为 的圆上，则的最大值为_BP117. 若 ，a b

4、 0 a+b=4，则的最小值为_三、解答题（本大题共 5 小题）18. 已知函数（ ）求 （ ）的最小正周期；f x1（ ）当时，求函数 （ ）的单调递减区间f x219. 已知函数（ ， 为常数）且方程 （ ）f x有两个实根为，x =3 x =4a b f x -x+12=012（ ）求函数 （ ）的解析式；1（ ）设 ，解关于 的不等式；x2k 120. 如图， 是边BC 上一点， 2AB=3AC BD=3 sin CAD=2sin BADDABC（）求的长；DC（）若 AD=2，求ABC 的面积页2 第 21. 已知数列满足，数列 满足b a n（ ）求证：数列n是等差数列，并求数列

5、的通项公式；b a n1n（ ）设，数列2的前 项和为 ，求满足的 的最大值n T nc nn22. 已知函数 （ ）（ ）f x =a2lnx+x2-3ax a R（ ）若1，求 （ ）的单调区间；a=1 f x（ ）若对于任意的 （ 为自然对数的底数）， （ ）0 恒成立，求 的取值范围f x2x e2 ea页3 第 答案和解析1.【答案】A【解析】解：M ， ， ，N ， ， ，=4 6 8 =3 7 8MN， ， ， ， =3 4 6 7 8故选：A进行并集的运算即可考查列举法的定义，以及并集的运算2.【答案】D【解析】解：对于 A：双曲线的实轴长为： 4对于 B：实轴长为： ，4对于

6、 C：双曲线实轴长： 4对于 D：双曲线的实轴长为： 2故选：D利用双曲线方程求解实轴长即可判断结果本题考查双曲线的简单性质的应用，考查转化思想以及计算能力3.【答案】C【解析】解：直线 l ：ax y+4 -5=0与直线 l ： x ay a 垂直 a a ，解得 a =02 + - =02 +4 =012“a ”是“直线 l ：ax y与直线 l ： x ay a 垂直”的充要条件=0+4 -5=02 + - =012故选：C由直线的一般式方程与直线垂直的关系列式求得a 值，再由充分必要条件的判定得答案本题考查直线的一般式方程与垂直的关系，考查充分必要条件的判定方法，是基础题4.【答案】B

7、【解析】解：由，得 z ，= z | |=故选：B把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数模的计算公式求解本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数模的求法，是基础题5.【答案】C【解析】解：当 x 时，y=sin0+2cos0=0+2=2，排除，A，B，D，=0故选：C利用特殊值法，令 x 得 y ，进行排除即可=0 =2本题主要考查函数图象的识别和判断，利用特殊值法是解决本题的关键6.【答案】C【解析】解：与的夹角为钝角，且不平行，解得且 2故选：C根据与的夹角为钝角即可得出，且与不平行，从而得出，解出 的范围即可页4 第 考查向量夹角的定义，向量数量积的计算公式和向量数量积

8、的坐标运算，以及平行向量的坐标关系7.【答案】D【解析】解：函数，所以函数的周期 T =对于任意的 xR，都有 f（x ）f（x）f（x ）成立， 3f（x）3-12则 x x 的最小值为| - |12故选：D直接利用正弦型函数的性质求出函数的周期和函数的最值，进一步求出结果本题考查的知识要点：正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型8.【答案】B【解析】解：依题意，E（）=1-+ =1+p，pE（ ）=1-+4=1+，2所以 D（） E（ ） E （）=1+-=-+，=2 - 2是关于 p 的开口向下的抛物线，对称轴为 p ，=6所以当 p（ ， ）时

9、，D（）单调递增，0 1即当 P 在（ ， ）内增大时，D（）增大，0 1故选：B计算出 E（）、E（ ），根据 D（） E（ ） E （）将 D（）表示成关于 p 的函数，研究函数的单调2=2 - 2性即可本题考查了离散型随机变量的期望与方差，考查了二次函数的单调性，属中档题9.【答案】C【解析】解：由 x x a 在 R 上成立，2-3 + +1 0可得：=9-4（a ） ，解得：a+10经过验证只有 a 时成立=2下面给出证明：（x ）（x ） （x x ）0 在 R 上始终成立，y=x -3x+3=+，-1 -2 ln 2-3 +32x2 或 x1 时，（x-1）（x-2）0，ln（x

10、 -3x+3）0，此时成立2x 时，（x ）（x ） ， （x x ） ，此时成立12-1 -20 ln 2-3 +30因此只有 a 时成立=2故选：C由 x x a 在 R 上成立，可得： ，解得：a经过验证只有a 时成立下面给出证明：（x ）-1-2 ln 2-3 +3 -12-3 + +1 0 =20（x ） （x x ）0 在 R 上始终成立，只要证明：（x ）（x ）0 与 （x x ）0 同号即可-2ln 2-3 +3本题考查了对数函数的单调性、二次函数的单调性、一元二次不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题10.【答案】D【解析】解：根据题意， ，+则当 f （x）f

11、 （x）时，g（x） f （x），当 f （x）f （x）时，g（x） f （x），=121122故 g（x） ，则 g（x）在（ ， ）上为减函数，在（ ，+）上为增函数；=-00且当 x ，x a，b时，恒成立，则 g（x）在区间a，b是增函数，且 a，b-1，5，12则 b a 的最大值在 a ，b 时取到，其最大值为 ；-=0 =55故选：D根据题意，求出 g（x）的解析式，分析可得 g（x）的单调性以及单调区间，结合单调性的定义分析可得g页5 第 （ ）在区间 ， 是增函数，据此分析可得答案a bx本题考查函数的最值以及函数单调性的性质以及应用，关键是求出 （ ）的解析式，属于基础题

12、g x11.【答案】log 32【解析】解：2 =3， =log 3aa29 =8， =log 8，bb9 =log 3log 8=ab29故答案为：log 3，2利用指数式、对数式互化公式和对数换底公式直接求解本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、运算法则、换底公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题12.【答案】2019 -【解析】解：已知 终边落在 ： =2019 （ 0）上，则 tan=2019，l y x xtan（）=-故答案为：2019，-直接利用直线的斜率公式和三角函数的和角公式的运用求出结果本题考查的知识要点：直线的斜率和三角函数的正切值的关系，三角函数的和

13、角公式的运用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型13.【答案】4 1【解析】解：由双曲线的方程知 0，m由2- 2=0 得 =x，mx y y双曲线的渐进线方程为 =2x，y=2，得 =4，m双曲线的焦点 的坐标为（，0），F焦点 到渐近线的距离为：=1F故答案为：4；1根据双曲线的方程求出双曲线的渐近线方程，建立方程关系进行求解即可求出焦点坐标，利用点到直线的距离公式求解即可本题主要考查双曲线渐近线的求解，根据条件建立方程关系是解决本题的关键比较基础14.【答案】8【解析】解：几何体的直观图如图：PA=4 ACAB， =5， =3， =4，BC几何体的体积为：=8 =，

14、 =5PC PB最长棱长为：；故答案为：8；画出几何体的直观图，利用三视图的数据求解最长棱长与体积即可本题考查几何体的三视图求解最长棱长以及三视图求解几何体的体积，考查计算能力15.【答案】21【解析】解：实数 ， 满足不等式组，对应的平面区域如图：x y三角形的三边及其内部部分：ABC页6 第 联立 得： （3，1）C联立，得： （7，9）AZ=|4-x-2y|=|x+2y-4|，令 = +2 -4 得： =- +2+，a x y y x显然直线过 （7，9）时， 最大，此时 =21，Aaa直线过 （3，1）时， 最小，此时 =1，Caa故 =| |，故 的最大值是 21，z az故答案为：

15、21先画出满足条件的平面区域，求出 ， 的坐标，令 = +2 -4 得： =- +2+，通过图象求出| |的最大值即A C a x y y xaz的最大值即可本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道中档题16.【答案】【解析】解：如图，建立直角坐标系， =4， =2， =，ABBCB根据余弦定理：AC2=16+8-24=8，故 AC=2，所以 三角形 ABC，Rt设的中点 （，由极化恒等式：=，DACBD=，所以，所以最大值为，故答案为：页7 第 根据余弦定理：AC2=16+8-24=8，故 =2，所以 三角形 ABC，设AC Rt的中点 （，由极化恒等式：=，DACBD=，所以

16、，代入即可考查了向量的综合运算，用了余弦定理，极化恒等式等，难度适中17.【答案】【解析】解： 0， + =4，a b a ba b a b所以（ +4 ）+（2 - ）=3（ + ）=12，a b所以=（5+4）=当且仅当 =2 =时，取得最小值a b故答案为：直接利用关系式的恒等变换和基本不等式的应用求出结果本题考查的知识要点：函数关系式的恒等变换的应用，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型18.【答案】解：（1）函数=，所以函数的最小正周期为（2）令（ ），k Z整理得（ ），k Z由于，所以函数的单调递减区间为【解析】（1）首先利用三角函数关系式的

17、变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步求出函数的最小正周期（2）利用整体思想的应用求出函数的单调递减区间本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型19.【答案】解：（1）将 =3， =4 分别代入方程，得，解得，所以 （ ）=f xxx12（2）不等式即为，可化为即（ -2）（ -1）（ - ）0当 1 2，解集为 （1， ）（2，+）xxx kkxk当 =2 时，不等式为（ -2）2（ -1）0 解集为 （1，2）（2，+）；kxxx当 2 时，解集为 （1，2）（ ，+）kxk【解析】（1）将 =3，

18、 =4 分别代入方程得出关于 ， 的方程组，解之即得 ， ，从而得出函数 （ ）xxa b a bf x12的解析式（2）不等式即为：即（ -2）（ -1）（ - ）0下面对 进行分类讨论：当 1 2，当 =2 时，当 2 时，分别求出此不等式的解集即可xxx kkkkk本题主要是应用分类讨论思想解决不等式问题，关键是正确地进行分类，而分类一般有以下几个原则：1要有明确的分类标准；2对讨论对象分类时要不重复、不遗漏，即分成若干类，其并集为全集，两两的交集为空集；3当讨论的对象不止一种时，应分层次进行，以避免混乱根据绝对值的意义判断出f（x）的奇偶性，再利用偶函数的图象关于 轴对称，求出函数在（

19、0，+）上的单调区间，并且只要求出当 0 时，函数fyx（ ）= 2-2 （ 0）最小值进而利用 （ ） -1 解答此题中，由正弦定理，可得：=，在ADC 中，由正弦定理可得：=，AB ACxx ax a f xmin20.【答案】解：（）在ABD因为 2 =3 ，sinADB=sin， =3，sinCAD=2sinBADADC BD，所以DC BD= =4页8 第 （）在ABD 中，由余弦定理，可得： 2= 2+ 2-2 cosADB，AB AD BD AD BD在ADC 中，由余弦定理，可得： 2= 2+ 2-2 cosADC，AC AD DC AD DC因为 2 =3 ， =2， =3，

20、 =4，cosADB=-cosADC，AB AC AD BD DC所以 4（4+9+223cosADC）=9（4+16-224cosADC），解得 cosADC=，所以 sinADC=，所以SABCBD DC=（ + ）ADsin ADC=72=【解析】（）由已知利用正弦定理，可得=，=，结合已知可求=3 =3DC BD（）由已知利用余弦定理，解得 cosADC，可求 sinADC，利用三角形的面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题21.【答案】解：（1）证明：数列 满足，所以，an整理得（常数），由于

21、数列 满足bn所以数列 是等差数列bn则数列2 是以为首项，1 为公差的等差数列nan所以 2 =1+ -1= ，整理得n nnan（2）由于，所以=2（），所以=，所以，整理得 2 +1-163，n当 =5 时，等号成立n故 的最大值为 4n【解析】（1）直接利用关系式的恒等变换的应用和定义的应用求出结果，进一步求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题22.【答案】解：（1） =1 时， （ ）=ln + 2-3

22、 ，（ 0），af x x x xx（ ）=+2 -3=，fxx令 （ ）0，解得： 1 或 0 ，fxxx令 （ ）0，解得： 1，fxx故 （ ）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增；f x（2） （ ）的定义域为（0，+）f x（ ）=2 -3 +=，x afx当 0 时， （ ）0 恒成立， （ ）的单调递增区间为（0，+），无单调递减区间；f xafx （ ） （ ）= -3 +2 0 恒成立，符合题意f xf e2e4 ae2 a2当 0 时，由 （ ）0，解得 （0，）（ ，+），由 （ ）0 解得 （， ）afxxafxxa （ ）的单调递增区间为（0，）和（ ，+

23、），单调递减区间是（， ）；f xaa（）若 0 2，即 2 2 时， （ ）在 2，）上单调递增，在， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递ea e f xeaa增对任意的实数 ， （ ）0 恒成立，只需 （ ）0，且 （ ）0x e2 f xf e2f af a而当 2 2 时， （ 2）=2 2-3 2+ 4=（2 - 2）（ - 2）0 且 （ ）= 2-3 2+ 2ln = 2（ln -2）0 成立a ef ea ae ea ea ea a a a aa 2 符合题意a e2（）若 2 时， （ ）在 2， ）上单调递减，在 ，+）上单调递增e af xe aa对任意的实数 ， （ ）

24、0 恒成立，只需 （ ）0 即可，f ax e2 f x页9 第 此时 （ ）= 2-3 2+ 2ln = 2（ln -2）0 成立，f a a a a a aa 2 符合题意e2 ae2（）若 2， （ ）在 2，+）上单调递增a e f xe对任意的实数 ， （ ）0 恒成立，x e2 f x只需 （ 2）= 4-3 2+2 20，f ee ae a即 （ 2）= 4-3 2+2 2=（2 - 2）（ - 2）0，f ee ae aa ea e0 符合题意a综上所述，实数 的取值范围是（-， 2，+）ae【解析】（1）代入 的值，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；a（2）当 0

25、时， （ ）0 恒成立， （ ）在（0，+）上单调递增， （ ） （ 2）0 恒成立，符合题afxf x f xf e意当 0 时， （ ）在 （0，）和（ ，+）上单调递增，在（， ）上单调递减然后分0 2， 2 和a eaf x a a e e a 2 三类求解实数 的取值范围a本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，属难题页10 第（）在ABD 中，由余弦定理，可得： 2= 2+ 2-2 cosADB，AB AD BD AD BD在ADC 中，由余弦定理，可得： 2= 2+ 2-2 cosADC，AC AD DC AD

26、DC因为 2 =3 ， =2， =3， =4，cosADB=-cosADC，AB AC AD BD DC所以 4（4+9+223cosADC）=9（4+16-224cosADC），解得 cosADC=，所以 sinADC=，所以SABCBD DC=（ + ）ADsin ADC=72=【解析】（）由已知利用正弦定理，可得=，=，结合已知可求=3 =3DC BD（）由已知利用余弦定理，解得 cosADC，可求 sinADC，利用三角形的面积公式即可计算得解本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形的面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题21.【答案】解：（1）证明：数列

27、 满足，所以，an整理得（常数），由于数列 满足bn所以数列 是等差数列bn则数列2 是以为首项，1 为公差的等差数列nan所以 2 =1+ -1= ，整理得n nnan（2）由于，所以=2（），所以=，所以，整理得 2 +1-163，n当 =5 时，等号成立n故 的最大值为 4n【解析】（1）直接利用关系式的恒等变换的应用和定义的应用求出结果，进一步求出数列的通项公式（2）利用（1）的结论，进一步利用裂项相消法在数列求和中的应用求出结果本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列的求和中的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于中档题22.【答案】解：（1）

28、 =1 时， （ ）=ln + 2-3 ，（ 0），af x x x xx（ ）=+2 -3=，fxx令 （ ）0，解得： 1 或 0 ，fxxx令 （ ）0，解得： 1，fxx故 （ ）在（0，）递增，在（，1）递减，在（1，+）递增；f x（2） （ ）的定义域为（0，+）f x（ ）=2 -3 +=，x afx当 0 时， （ ）0 恒成立， （ ）的单调递增区间为（0，+），无单调递减区间；f xafx （ ） （ ）= -3 +2 0 恒成立，符合题意f xf e2e4 ae2 a2当 0 时，由 （ ）0，解得 （0，）（ ，+），由 （ ）0 解得 （， ）afxxafxxa （

29、 ）的单调递增区间为（0，）和（ ，+），单调递减区间是（， ）；f xaa（）若 0 2，即 2 2 时， （ ）在 2，）上单调递增，在， ）上单调递减，在（ ，+）上单调递ea e f xeaa增对任意的实数 ， （ ）0 恒成立，只需 （ ）0，且 （ ）0x e2 f xf e2f af a而当 2 2 时， （ 2）=2 2-3 2+ 4=（2 - 2）（ - 2）0 且 （ ）= 2-3 2+ 2ln = 2（ln -2）0 成立a ef ea ae ea ea ea a a a aa 2 符合题意a e2（）若 2 时， （ ）在 2， ）上单调递减，在 ，+）上单调递增e a

30、f xe aa对任意的实数 ， （ ）0 恒成立，只需 （ ）0 即可，f ax e2 f x页9 第 此时 （ ）= 2-3 2+ 2ln = 2（ln -2）0 成立，f a a a a a aa 2 符合题意e2 ae2（）若 2， （ ）在 2，+）上单调递增a e f xe对任意的实数 ， （ ）0 恒成立，x e2 f x只需 （ 2）= 4-3 2+2 20，f ee ae a即 （ 2）= 4-3 2+2 2=（2 - 2）（ - 2）0，f ee ae aa ea e0 符合题意a综上所述，实数 的取值范围是（-， 2，+）ae【解析】（1）代入 的值，求出函数的导数，从而求出函数的单调区间即可；a（2）当 0 时， （ ）0 恒成立， （ ）在（0，+）上单调递增， （ ） （ 2）0 恒成立，符合题afxf x f xf e意当 0 时， （ ）在 （0，）和（ ，+）上单调递增，在（， ）上单调递减然后分0 2， 2 和a eaf x a a e e a 2 三类求解实数 的取值范围a本题考查利用导数研究函数的单调性，考查利用导数求函数的最值，体现了数学转化思想方法与分类讨论的数学思想方法，属难题页10 第