协方差及相关系数.pptx

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1、 前面我们学习了随机变量的数学期望和方差，对于多维随机变量，除了其数学期望和方差外，我们还要研究反映各分量之间关系的数字特征，其中最重要的，就是现在要讨论的协方差和相关系数协方差和相关系数1.问题的提出问题的提出 一、协方差与相关系数的概念及性质 第1页/共37页 在讨论这个问题之前，我们先看一个例子。在研究子女与父母的相象程度时，有一项是关于父亲的身高和其成年儿子身高的关系。第2页/共37页 这里有两个变量，一个是父亲的身高，一个是成年儿子身高.为了研究二者关系，英国统计学家皮尔逊收集了1078个父亲及其成年儿子身高的数据,画出了一张散点图。儿子的身高父亲的身高问：父亲及其成年儿子身高存在怎

2、样的关系呢？fatherson第3页/共37页类似的问题有：1、吸烟和患肺癌有什么关系？2、受教育程度和失业有什么关系？3、高考入学分数和大学学习成绩有什么关系？?第4页/共37页协方差协方差第5页/共37页定义 对两个随机向量(X,Y),若E(X-EX)(Y-EY)存在，则称 cov(X,Y)=E(X-EX)(Y-EY)为X和Y的协方差。特别,若X=Y,则 cov(X,X)=E(X-EX)2=D(X)因此,方差是协方差的特例,协方差刻画两个随机变量之间的“某种”关系.可以证明 若(X,Y)服从二维正态分布,即则 2.定义定义第6页/共37页可见，若X与Y独立，则4.4.计算协方差的一个简单公

3、式计算协方差的一个简单公式 Cov(X,Y)=0.Cov(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)D(X+Y)=D(X)+D(Y)+2Cov(X,Y)3 3 随机变量随机变量和的方差与协方差的关系和的方差与协方差的关系第7页/共37页(5)Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y)(3)Cov(X,Y)=Cov(Y,X)(对称性)5.5.简单性质简单性质(4)Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)其中 a、b是常数下面请大家利用上面所学的知识进行证明。(1)Cov(X,X)=D(X)(2)Cov(X,c)=0 (c为常数)第8页/共37页 协方差的数值在一定程度上反映了

4、X与Y相互间的联系,但它受X与Y本身数值大小的影响.如令X*=kX,Y*=kY,这时X*与Y*间的相互联系和X与Y的相互联系应该是一样的,但是Cov(X*,Y*)=k2Cov(X,Y)为了克服这一缺点,在计算X与Y的协方差之前,先对X与Y进行标准化:再来计算X*和Y*的协方差，这样就引进了相关系数的概念.第9页/共37页为随机变量X和Y的相关系数(correlation coefficient).1.定义:若D(X)0,D(Y)0,且Cov(X,Y)存在时，称 在不致引起混淆时，记 为 .二、相关系数第10页/共37页2.相关系数的性质相关系数的性质注意|XY|的大小反映了X,Y之间线性关系的

5、密切程度:XY=0时,X,Y之间无线性关系;|XY|=1时,X,Y之间具有线性关系.第11页/共37页XY0,X,Y正相关XY0 xy0ii.完全负相关完全负相关 Y=aX+b a0时,XY=1a0,当方差越小时，事件|X-E(X)|发生的概率也越小，即X的取值越集中在E(X)附近这进一步说明方差确实是一个描述随机变量与其期望值离散程度的一个变量 当D(X)已知时，切贝雪夫不等式给出了X与E(X)的偏差小于 的概率的估计值 切比雪夫不等式的切比雪夫不等式的用途：用途：（1 1）证明大数定律；（）证明大数定律；（2 2）估计事件的概率。）估计事件的概率。第33页/共37页例1 已知正常男性成人血

6、液中，每一毫升白细胞数平均是7300，均方差是700.利用切比雪夫不等式估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率.解：设每毫升白细胞数为X依题意，E(X)=7300,D(X)=7002所求为 P(5200 X 9400)P(5200 X 9400)=P(-2100 X-E(X)2100)=P|X-E(X)|2100第34页/共37页由切比雪夫不等式 P|X-E(X)|2100即估计每毫升白细胞数在52009400之间的概率不小于8/9.第35页/共37页 例2 设电站供电网有10000盏电灯，夜晚每盏灯开灯的概率均为0.7，假定灯的开、关是相互立的，使用切贝雪夫不等式估计夜晚同时开着的灯数在6800到7200盏之间的概率。解 令X表示在夜晚同时开着的灯数目，则X服从n=10000，p=0.7的二项分布，这时 由切贝雪夫不等式可得:第36页/共37页谢谢您的观看！第37页/共37页