向量空间的定义例子和子空间.pptx

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1、重点：向量空间的定义与性质难点：向量空间的定义关键：向量空间定义中的两种运算讲授方式：讲授第1页/共23页一定义和例子1.定义 令 是一个数域.中的元素用小写拉丁字母 来表示.令 是一个非空集合.中元素用小写黑体希腊字母 来表示.我们把 中的元素叫做向量而把 中的元素叫做标量.如果下列条件被满足,就称 是 上一个向量空间：有一个标量与向量的乘法.对于 中每一个数和 中每一个向量 ,有 中唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的积,并且记作 .在 中定义了一个加法。对于 中任意两个向量 有 中一个唯一确定的向量与它们对应,这个向量叫做 与 的和,并且记作 .第2页/共23页 向量的加法和标

2、量与向量的乘法满足下列算律：3)在 中存在一个零向量,记做0,它具有以下性质：对于 中每一个向量 ,都有 4)对于 中每一个向量 ,在 中存在一个向量 ,使得 .这样的 叫做的 的负向量.第3页/共23页这里 是 中任意向量,而 是 F 中任意数.注：向量空间的定义中的两种运算必须满足规定的条件 2.举例：特别,F上一切 矩阵所成的集合和一切 矩阵所成的集合分别作成F上向量空间.前者成为F上n元行空间，后者称为F上n元列空间.我们用同一个符号 来表示这两个向量空间.例2 数域 上一切 矩阵所成的集合对于矩阵的加法和矩阵的乘法来说作成F上一个向量空间.第4页/共23页例3 复数域C可以看成实数域

3、R上的向量空间.事实上，两个复数的和还是一个复数；一个实数与一个复数的乘积还是一个复数.条件 显然都被满足.例4 任意数域C总可以看成它自身上的向量空间.例5 数域F上一元多项式环 对于多项式的加法和数与多项式的乘法来说作成上一个向量空间.例6（补充）（此例的目的是进一步帮助学生理解向量空间的加法与数乘运算）.令 是实数域，V是全体正实数作成的集合，在V中定义加法为：（实际为数的普通乘法），再规定数乘为 ，则V作成K上的一个线性空间.第5页/共23页证明：首先要说明这两种运算的封闭性.因为V中任意两个元素的乘积仍在V中下验证上述定义的两种运算满足8条 3)V中的零向量为1（而不是通常理解的0）

4、，因为第6页/共23页同理可验证也成立，故V作成K上的一个向量空间.注：由例6知向量空间的加法与数乘是一种抽象的运算，并不是我们通常意义下的加法与数乘，比如例6中的加法实质为数的普通乘法，而数乘实质为普通数的乘方运算.要验证一个非空集合是否作成一个数域上的向量空间，只须对所给的两种运算首先判断其是否封闭.其次，再判断它们是否满足8条运算即可.不利用向量空间中加法的可交换性，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元.第7页/共23页向量空间定义中的加法交换律可由定义中的其它公理推出（证明见高代选讲）.（习题8）向量空间定义中条件中的8）不能由其余条件推出，即条件不是显然的，也不是多余的 例如，令在V

5、中定义加法如下，在与中定义数乘如下：可以验证如上定义的加法与数乘运算满足 的其余7条但8）并不满足，事实上，取第8页/共23页二向量空间的性质性质1：零向量是唯一的证明：设0和 都是向量空间V的零向量，那么根据零向量的定义，对于 中任意向量 都有（注:通过这种方法要向学生灌输这种证明唯一性的方法）性质2:每个向量的负向量是唯一的，且把向量 的唯一的负向量记作 证明：设 都是的负向量，那么 于是第9页/共23页定义向量的差：性质3：普通移项规则成立，即证明：“”设“”设 性质4（命题6.1.2）：证明（略）第10页/共23页三、一些记法1设是上向量空间V的n个向量，我们把它们排成一行，写成了一个

6、以向量为元素 的矩阵 2设 是数域F上一个 矩阵，我们定义（实质可看成矩阵的乘法）第11页/共23页课堂讨论与练习：证明：不利用向量空间的定义中加法的交换律，证明左逆元和左零元也是右逆元和右零元.作业：P221 2，3，4，5思考：P221 6，7第12页/共23页6.2子空间授课方式：课堂讲授教学目的：理解子空间的定义 会判断一个非空集合是否是子空间 理解子空间的和与交教学重点与难点：子空间的定义 子空间的一些等价刻划 子空间的和与交第13页/共23页1.子空间的定义：设V是数域F上的一个向量空间，W是V的一个非空子集，若W对于V的加法与数乘作成一个向量空间，则W称是V的一个子空间（注：给出

7、了W是V的一个子空间的判别方法）2.定理6.2.1 设W是数域F上向量空间V的一个非空子集.如果W对于F的加法以及标量与向量的乘法是封闭的，那么W本身也作成F上一个向量空间.注：由1，2知V的子空间W也是F上的一个向量空间，并且一定含有V中的零向量.由定理6.2.1知，要判断 是否是V的子空间只须验证加法与数乘封闭即可.3.例子第14页/共23页例1：零空间，平凡子空间，真子空间例3：中一切形如 的向量作成的一个子空间 例4：中次数不超过一个给定的整数n的多项式全体连同零多项式一起作成 的一个子空间.例5：（补充）数域F上齐次线性方程组 第15页/共23页的全体解向量作成F上的一个线性空间，称

8、为这个齐次线性方程组的解空间，它是 的一个子空间.下面，我们给出了一个非空集合是否是子空间的判别法则.定理6.2.2 数域F上向量空间V的一个非空子集W是的一个子空间，必要且只要对于 证 如果W是子空间，那么由于W对于标量与向量的乘法是封闭的，所以对于 都有.又因为W对于F的加法是封闭的，所以 第16页/共23页反过来，如果对于任意 这就证明了W对于V的加法以及标量的乘法的封闭性.4子空间的交与和交：子空间的交仍是子空间（利用定理6.2.2）推广到有限、无限子空间的交，结论仍然成立.即：设 是向量空间V的一组子空间（个数可以有限，也可以无限）.令 表示这些子空间的交，则 仍是V的子空间.第17

9、页/共23页和：若是 是向量空间的子空间仍是V的子空间叫做 与 的和 推广到任意有限个的情形：设 的子空间，则 仍是V的子空间，称为子空间 注：子空间的并，不一定是子空间.例如在 第18页/共23页却不是 的子空间。显然与都是的子空间，但 是向量空间V的子空间，则 是V的子空间 课堂练习5.例题讲解P225 习题4证明：（分两种情况讨论）（）若 是V的真子空间，且 结论显然成立.（）若 互不包含，用反证法，由于 互不包含，故必有 第19页/共23页.下考虑，显然有.若不然，若，则有 不妨假设，这与 矛盾，所以 不能属于 即证 不能表成 P225 习题5证明：（显然）第20页/共23页习题6：（）用反证法，若 都有 与 矛盾（）用反证法，若至少有两个 st 第21页/共23页作业：P225 1，2，3第22页/共23页谢谢您的观看！第23页/共23页