同济大学 高等数学上D重积分的应用.pptx

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1、1.能用重积分解决的实际问题的能用重积分解决的实际问题的特点特点所求量是 对区域具有可加性 从定积分定义出发 建立积分式 用微元分析法(元素法)分布在有界闭域上的整体量 3.解题要点 画出积分域、选择坐标系、确定积分序、定出积分限、计算要简便 2.用重积分解决问题的方法 机动 目录 上页 下页 返回 结束 第1页/共31页一、立体体积一、立体体积 曲顶柱体的顶为连续曲面则其体积为 占有空间有界域 的立体的体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第2页/共31页任一点的切平面与曲面所围立体的体积 V.解:曲面的切平面方程为它与曲面的交线在 xoy 面上的投影为(记所围域为D)在点例1.求曲面求

2、曲面机动 目录 上页 下页 返回 结束 第3页/共31页例例2.求半径为求半径为a 的球面与半顶角为的球面与半顶角为 的的内接锥面所围成的立体的体积.解:在球坐标系下空间立体所占区域为则立体体积为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第4页/共31页二、曲面的面积二、曲面的面积设光滑曲面则面积 A 可看成曲面上各点处小切平面的面积 d A 无限积累而成.设它在 D 上的投影为 d,(称为面积元素)则机动 目录 上页 下页 返回 结束 第5页/共31页故有曲面面积公式若光滑曲面方程为则有即机动 目录 上页 下页 返回 结束 第6页/共31页若光滑曲面方程为 若光滑曲面方程为隐式则则有且机动 目录

3、上页 下页 返回 结束 第7页/共31页例例3.计算双曲抛物面计算双曲抛物面被柱面所截解:曲面在 xoy 面上投影为则出的面积 A.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第8页/共31页例例4.计算半径为计算半径为 a 的球的表面积的球的表面积.解:设球面方程为 球面面积元素为方法2 利用直角坐标方程.(见书 P109)方法1 利用球坐标方程.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第9页/共31页三、物体的质心三、物体的质心设空间有n个质点,其质量分别由力学知,该质点系的质心坐标设物体占有空间域 ,有连续密度函数则 公式,分别位于为为即:采用“大化小,常代变,近似和,取极限”可导出其质心 机动 目

4、录 上页 下页 返回 结束 第10页/共31页将 分成 n 小块,将第 k 块看作质量集中于点例如,令各小区域的最大直径系的质心坐标就近似该物体的质心坐标.的质点,即得此质点在第 k 块上任取一点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第11页/共31页同理可得同理可得则得形心坐标：机动 目录 上页 下页 返回 结束 第12页/共31页若物体为占有xoy 面上区域 D 的平面薄片,(A 为 D 的面积)得D 的形心坐标:则它的质心坐标为其面密度 对 x 轴的 静矩 对 y 轴的 静矩机动 目录 上页 下页 返回 结束 第13页/共31页例例5.求位于两圆求位于两圆和的质心.解:利用对称性可知而之间

5、均匀薄片机动 目录 上页 下页 返回 结束 第14页/共31页例例6.一个炼钢炉为旋转体形一个炼钢炉为旋转体形,剖面剖面壁线壁线的方程为内储有高为 h 的均质钢液,解:利用对称性可知质心在 z 轴上，采用柱坐标,则炉壁方程为因此故自重,求它的质心.若炉不计炉体的其坐标为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第15页/共31页机动 目录 上页 下页 返回 结束 第16页/共31页四、物体的转动惯量四、物体的转动惯量设物体占有空间区域 ,有连续分布的密度函数该物体位于(x,y,z)处的微元 因此物体 对 z 轴 的转动惯量:对 z 轴的转动惯量为 因质点系的转动惯量等于各质点的转动惯量之和,故 连续

6、体的转动惯量可用积分计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第17页/共31页类似可得类似可得:对 x 轴的转动惯量对 y 轴的转动惯量对原点的转动惯量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第18页/共31页如果物体是平面薄片如果物体是平面薄片,面密度为则转动惯量的表达式是二重积分.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第19页/共31页例例7.求半径为求半径为 a 的均匀半圆薄片对其的均匀半圆薄片对其直径直径解:建立坐标系如图,半圆薄片的质量的转动惯量.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第20页/共31页解:取球心为原点,z 轴为 l 轴,则球体的质量例例8.8.求均匀球体对于过球心的一条轴

7、求均匀球体对于过球心的一条轴 l 的转动的转动惯量惯量.设球 所占域为(用球坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第21页/共31页 G 为引力常数五、物体的引力五、物体的引力设物体占有空间区域,物体对位于原点的单位质量质点的引力利用元素法,在上积分即得各引力分量:其密度函数引力元素在三坐标轴上的投影分别为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第22页/共31页对 xoy 面上的平面薄片D,它对原点处的单位质量质点的引力分量为机动 目录 上页 下页 返回 结束 第23页/共31页例例9.设面密度为,半径为R的圆形薄片求它对位于点解:由对称性知引力处的单位质量质点的引力.。机动 目录 上页 下

8、页 返回 结束 第24页/共31页例例10.求半径求半径 R 的均的均匀球匀球对位于的单位质量质点的引力.解:利用对称性知引力分量点机动 目录 上页 下页 返回 结束 第25页/共31页为球的质量机动 目录 上页 下页 返回 结束 第26页/共31页作业作业P96 7，10,17 P116 1，3，6,11,13,14习题课 目录 上页 下页 返回 结束 第27页/共31页(t 为时间)的雪堆在融化过程中,其侧面满足方程设长度单位为厘米,时间单位为小时,设有一高度为已知体积减少的速率与侧面积成正比(比例系数 0.9),问高度为130 cm 的雪堆全部融化需要 多少小时?(2001考研)机动 目录 上页 下页 返回 结束 备用题备用题第28页/共31页提示提示:记雪堆体积为 V,侧面积为 S,则(用极坐标)机动 目录 上页 下页 返回 结束 第29页/共31页由题意知令得(小时)因此高度为130cm的雪堆全部融化所需的时间为100小时.机动 目录 上页 下页 返回 结束 第30页/共31页感谢您的观看。第31页/共31页