向量法求异面直线的夹角线面角和二面角.pptx

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1、 有关角的几个概念或范围有关角的几个概念或范围范范围围平面角空间中的角baO 从一点引出的两条射线组成的图形 两条直线的夹角 异面直线的夹角abb Baa,b b,a、b交于O.AOB是异面直线a、b 所成的角。a AOall 直线和平面所成的角l是l 在平面a内的射影,l与l 的夹角是l 与a所成的角。二面角OABlaOAl,OBlOAa,OB AOB是二面角a l 的平面角。第1页/共16页abABCD设异面直线a、b的夹角为cos=AB,CDcos|=AB CDAB|CD|=AB,CD或=AB,CD 利用两条直线的方向向量的夹角的余弦的绝对值为两直线的夹角的余弦而得。1、求两异面直线所成

2、的角第2页/共16页2、求直线和平面所成的角CBn设直线BA与平面的夹角为，n 为平面的法向量,Ag1n 与向量BA 的夹角为锐角g1当=CBAng2n 与向量BA 的夹角为钝角g2当=第3页/共16页balqn1n2g3.法向量的夹角与二面角的平面角的关系 设 ,=gn1n2设a l b的平面角为qq=gbalqn1n2gg 两个平面的法向量在二面角内同时指向或背离。第4页/共16页balqn1n2gbalqn1n2g 设 ,=gn1n2设a l b的平面角为qq=g 两个平面的法向量在二面角内一个指向另一个背离。第5页/共16页1GKFEAB1C1D1CDBAzyx例1：棱长为1的正方形A

3、BCDA1B1C1D1中,E,F,G,K分别是棱AD,AA1,A1B1,D1D的中点，求A1D与CK的夹角；DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）二面角GEFD1的大小（用三角函数表示）解：以D为坐标原点DA,DC,DD1 为单位正交基底建立直角坐标系。第6页/共16页GKFEA1B1C1D1CDBAzyxA1(1,0,1)D(0,0,0)C(0,1,0)DA1=(1,0,1),CKcosDA1=|CK|DA1CKDA1 DA1 与CK的夹角为第7页/共16页 DD1与平面EFG所成的角；（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA设面EGF的法向量=(x,y,z)nn E

4、G=0n EF=0令x=1,得=(1,1,1)n第8页/共16页zyxGKFEA1B1C1D1CDBADD1=(0,0,1),cosDD1n DD1与平面EFG所成的角为第9页/共16页二面角GEFD1的大小（用三角函数表示）zyxGKFEA1B1C1D1CDBA由知面GEF的法向量=(1,1,1)n而面DAD1A1法向量DC=(0,1,0),cosDCn二面角GEFD1为第10页/共16页DBCAszxy解:建立如图所示的直角坐标系C(1,1,0),S(0,0,1)AD且AD 是面SBA的法向量设平面SCD的法向量n=(x,y,z)例2.如图,在底面是直角梯形的四棱锥SABCD中,ABC=9

5、0,SA面ABCD,SA=AB=BC=1,求面SCD与面SBA所成的二面角的正切值。DCSDn DC=0n SD=0第11页/共16页DBCAszxy即令x=1,则ncosa=n AD|n|AD|从而 tana第12页/共16页例3在三棱锥DABC中,底面ABC是等腰直角三角形,侧面DBC是等边三角形,平面DBC平面ABC,AB=AC=4,E,F分别为 BD,AD中点。求二面角FCED的大小；直线CE与平面ABC所成的角；O解：找BC的中点O,连AO,DOABC是等腰三角形 DBC是等边三角形AOBC于ODOBC于ODO面ABC故可以以O为坐标原点OA、OC、OD分别为x,y,z轴建立如图所示的直角坐标系zyxBFEDACABCOxy第13页/共16页xOzyBFEDACABCOxy设面EFC的法向量=(x,y,z)nn CE=0n EF=0由令 x=1因OA面BCD,故=(1,0,0)为面BCD的一个法向量m即二面角FCED的大小为第14页/共16页直线CE与平面ABC所成的角；xOzyBFEDACm=(0,0,1)平面ABC的法向量为直线CE与平面ABC所成的角30第15页/共16页谢谢您的观看！第16页/共16页