随机变量与分布函数.pptx

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1、一、随机变量的定义一、随机变量的定义 (1)掷一颗骰子，出现的点数 1，2，6.(2)n个产品中的不合格品个数0，1，2，n (3)某商场一天内来的顾客数0，1，2，(4)某种型号电视机的寿命:0,+)(1)掷一颗骰子，出现的点数 1，2，6.(2)n个产品中的不合格品个数0，1，2，n (3)某商场一天内来的顾客数0，1，2，(4)某种型号电视机的寿命:0,+)第1页/共153页随机变量的定义随机变量的定义定义3.1.1 设 =为某随机现象的样本空间，是定义于概率空间(,F,P)上的单值实函数，如果对直线上任何一个博雷尔点集B,有 F则称 为随机变量，而 称为随机变量 的概率分布。.第2页/

2、共153页注 意 点(1)随机变量 是样本点的函数，其定义域为，其值域为R=(，)(2)若 为随机变量，则 均为随机事件.即第3页/共153页若随机变量 可能取值的个数为有限个或 可列个，则称 为离散型随机变量.若随机变量 的可能取值充满某个区间 a,b，则称 为连续型随机变量.前例中的 ,为离散型随机变量；而 为连续型随机变量.两类随机变量第4页/共153页定义3.1.2 设 为一个随机变量，对任意实数 x，称 F(x)=P x 为 的分布函数.(distribution function)记为 随机变量的分布函数第5页/共153页二、分布函数的性质二、分布函数的性质定理3.1.1 分布函数

3、F(x)具有下列基本性质：(1)F(x)单调不降；(2)有界：0F(x)1，F()=0，F(+)=1；(3)左连续：F(x-0)=F(x).第6页/共153页注 意 点注意以下一些表达式：第7页/共153页三、离散型随机变量三、离散型随机变量设离散随机变量 的可能取值为：x1，x2，xn，称 pi=P(=xi)，i=1,2,为 的分布列.分布列也可用表格形式表示：x1 x2 xn P p1 p2 pn 第8页/共153页分布列的基本性质 (1)pi 0，(2)(正则性)(非负性)第9页/共153页注 意 点 对离散随机变量的分布函数应注意：(1)F(x)是递增的阶梯函数;(2)其间断点均为左连

4、续的;(3)其间断点即为的可能取值点;(4)其间断点的跳跃高度是对应的概率值.第10页/共153页x1x2xkPp1p2pk一般，设离散型r.v.的分布律为：则X的分布函数 F(x)=P m+n|m)=P(n)几何分布几何分布第18页/共153页巴斯卡分布(负二项分布)巴斯卡分布与几何分布的关系：为独立重复的伯努里试验中，“第 r 次成功”时的试验次数.为从第 i-1 次成功后算起，“首次成功”时的试验次数.第19页/共153页四、连续型随机变量四、连续型随机变量连续随机变量的可能取值充满某个区间(a,b).因为对连续随机变量，有P(=x)=0，所以无法仿离散随机变量用 P(=x)来描述连续随

5、机变量的分布.注意离散随机变量与连续随机变量的差别.第20页/共153页定义设随机变量的分布函数为F(x),则称 为连续随机变量，若存在非负可积函数 p(x)，满足：称 p(x)为分布密度函数，（density function）.第21页/共153页密度函数的基本性质满足(1)(2)的函数都可以看成某个连续随机变量的分布密度函数.(非负性)(正则性)第22页/共153页注意点(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(=x)=F(x+0)F(x)=0;第23页/共153页注意点(1)(2)F(x)是(,+)上的连续函数;(3)P(=x)=F(x+0)F(x)=0;(4)Pab=Pa

6、 b =Pa b =Pa b =F(b)F(a).(5)当F(x)在x点可导时,f(x)=所以，概率为零的事件不一定是不可能事件！第24页/共153页连续型1.密度函数 f(x)(不唯一)2.4.P(=a)=0离散型1.分布列:pn=P(=xn)(唯一)2.F(x)=3.F(a+0)=F(a);P(a b)=F(b)F(a).4.点点计较5.F(x)为阶梯函数。5.F(x)为连续函数。F(a+0)=F(a).F(a+0)F(a).第25页/共153页例设 求(1)常数 k.(2)F(x).第26页/共153页常见连续性随机变量常见连续性随机变量1、均匀分布2、正态分布3、指数分布4、埃尔兰分布

7、5、分布第27页/共153页（一）均匀分布（一）均匀分布 U(a,b)实际背景实际背景：随机变量随机变量 X 仅在一个有限区间（仅在一个有限区间（a,ba,b）上取值；）上取值；随机变量随机变量 X在其内取值具有在其内取值具有“等可能等可能”性，则性，则 U(a,b)U(a,b)。“等可能等可能”表现在：表现在：若若acc+l b，则，则 Pc 3,则 P(A)=P(3)=2/3设 Y 表示三次独立观测中 A 出现的次数,则 Y B(3,2/3)，所求概率为 P(Y2)=P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2第31页/共153页记为 N(,2),其中 0，是任意实数.是位置参数.是尺度参数

8、.（二）正态分布二）正态分布(normal distribution)第32页/共153页yxO第33页/共153页正态分布的性质(1)p(x)关于 是对称的.p(x)x0在 点 p(x)取得最大值.(2)若 固定,改变,(3)若 固定,改变,小大p(x)左右移动,形状保持不变.越大曲线越平坦;越小曲线越陡峭.第34页/共153页p(x)x0 xx标准正态分布N(0,1)密度函数记为(x),分布函数记为(x).第35页/共153页(x)的计算(1)x 0 时,查标准正态分布函数表.(2)x 0时,用若 N(0,1),则 (1)P(a)=(a);(2)P(a)=1(a);(3)P(ab)=(b)

9、(a);(4)若a 0,则 P(|a)=P(a1.96),P(|1.96)P(|1/2,所以 b 0,反查表得:(1.66)=0.9515,故 b=1.66而(a)=0.0495 1/2,所以 a 0,(a)=0.9505,反查表得:(1.65)=0.9505,故 a=1.65例2.5.2第38页/共153页一般正态分布的标准化结论1 设 N(,2),则 N(0,1).结论2:若 N(,2),则第39页/共153页若 N(,2),则 P(a)=第40页/共153页 设 N(10,4),求 P(1013),P(|10|2).解:P(1013)=(1.5)(0)=0.9332 0.5P(|10|2

10、)=P(8k=Pk,则 k=().3课堂练习(1)第43页/共153页 设 N(,42),N(,52),记 p1=P 4，p2=P+5,则()对任意的 ，都有 p1=p2 对任意的 ，都有 p1 p2课堂练习(2)第44页/共153页 设 N(,2),则随 的增大，概率 P|()单调增大 单调减少 保持不变 增减不定课堂练习(3)第45页/共153页例例 假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在假设在设计公共汽车车门的高度时，要求男子的碰头机会在1%1%以下，设以下，设男子的身高男子的身高(cm)服从正态分布，服从正态分布，N(170,36)，问车门高度至少应为多，问车门高度至少应

11、为多高高?第46页/共153页实际背景：实际背景：如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的如果一个随机现象是由大量微小的相互独立的因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被因素共同构成，那么描述这种随机现象的随机变量通常被认为服从或近似服从正态分布认为服从或近似服从正态分布 在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都在自然现象和社会现象中，大量随机变量都服从服从服从服从或或或或近近近近似服从正态分布似服从正态分布似服从正态分布似服从正态分布。如如:测量误差；测量误差；在稳定条件下产品的各种指标在稳定条件下产品的各种

12、指标;某地区人的身高、体重；某地区人的身高、体重；大面积考试的分数等大面积考试的分数等思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（思考：上述随机变量实际取值范围并不是（-，+），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是），但正态分布取值范围是（-，+），矛矛矛矛盾吗？盾吗？盾吗？盾吗？第47页/共153页正态分布的 3 原则设 N(,2),则 P(|)=0.6828.P(|2)=0.9545.P(|0.第50页/共153页指数分布具有无记忆性：如果如果X X是某一元件的寿命，已知元件已使用了是某一

13、元件的寿命，已知元件已使用了 s s小时，它还能继续使用至少小时，它还能继续使用至少 t t小时的条件概率，与小时的条件概率，与从开始时算起至少能使用从开始时算起至少能使用 t t 小时的概率相等。小时的概率相等。即元件对它已使用过即元件对它已使用过s s小时无记忆。小时无记忆。第51页/共153页例例1 1 机器里安装的某种元件，已知这种元件的使用寿命（年）服从参数为1/5的指数分布，1)计算一个元件使用8年后仍能正常工作的概率；2)一个元件已经使用了3年，求它还能再使用8年的概率。第52页/共153页（四）埃尔兰分布（略）（四）埃尔兰分布（略）第53页/共153页3.2随机向量，随机变量的

14、独立性第54页/共153页定义3.2.1 若1,2是两个定义在同一个样本空间上的 随机变量，则称(1,2)是两维随机变量.同理可定义 n 维随机变量(随机向量).一、随机向量及其分布一、随机向量及其分布第55页/共153页 定义3.2.2 联合分布联合分布函数函数F(x,y)=P(1 x,2 y)为(1,2)的联合分布函数.(以下仅讨论两维随机变量)任对实数 x 和 y,称注意：F(x,y)为(1,2)落在点(x,y)的左下区域的概率.第56页/共153页 1 1 2 2x1x2(x1,x2)第57页/共153页联合分布函数的基本性质联合分布函数的基本性质(1)F(x,y)关于 x 和 y 分

15、别单调增.(2)0 F(x,y)1，且F(,y)=F(x,)=0，F(+,+)=1.(3)F(x,y)关于 x 和 y 分别左连续.(4)当ab,cd 时，有F(b,d)F(b,c)F(a,d)+F(a,c)0.注意：上式左边=P(a 1 1b,c 2 2 d).(单调性)(有界性)(左连续性)(非负性)第58页/共153页 二维离散随机向量 联合分布联合分布列列若(1,2)的可能取值为有限对、或可列对，则称(1,2)为二维离散随机变量.第59页/共153页二二维离散维离散分布的联合分布列分布的联合分布列称pij=P(1=xi,2=yj)，i,j=1,2,.,为(1,2)的联合分布列，其表格形

16、式如下:21y1 y2 yj x1x2xi p11 p12 p1j p21 p22 p2j pi1 pi2 pi j 第60页/共153页联合分布列的基本性质联合分布列的基本性质(1)pij 0,i,j=1,2,(2)pij =1.(非负性)(正则性)第61页/共153页第62页/共153页确定联合分布列的方法确定联合分布列的方法(1)确定随机变量(1,2)的所有取值数对.(2)计算取每个数值对的概率.(3)列出表格.第63页/共153页例 将一枚均匀的硬币抛掷4次，1表示正面向上的次数，2表示反面朝上次数。求(1,2)的联合分布列.1 20 41 3 2 2 3 14 0P(1=0,2=4)

17、=P(1=2,2=2)=1/4=6/16 P(1=3,2=1)=1/4 P(1=4,2=0)=0.54=1/16P(1=1,2=3)=0.54=1/16解：概率非零的(1,2)可能取值对为:其对应的概率分别为：第64页/共153页1 012342 0 1 2 3 4列表为：0 0 0 0 1/16 0 0 0 1/4 0 0 0 6/16 0 0 0 1/4 0 0 01/16 0 0 0 0第65页/共153页例 设随机变量 N(0,1),解:(1,2)的可能取值数对及相应的概率如下：P(1=0,2=0)=P(|1,|2)=P(|2)=2 2(2)=0.0455P(1=0,2=1)=P(|1

18、,|2)=P(1|2)=2(2)(1)=0.2719P(1=1,2=0)=P(|1,|2)=0P(1=1,2=1)=P(|1,|2)=P(|1)=0.6826求 的联合分布列.第66页/共153页列表为：1 0 12 0 10.0455 0.2719 0 0.6826第67页/共153页课堂练习课堂练习设随机变量 在 1，2，3，4 四个整数中等可能地取值，另一个随机变量 在 1到X 中等可能地取一整数值。试求（,）的联合分布列.第68页/共153页设二维随机变量(,)的分布函数为 F(x,y)，若存在非负可积函数 p(x,y)，使得（联合）（联合）密度函数密度函数则称(,)为二维连续型随机变

19、量。称p(x,y)为（联合）密度函数。第69页/共153页联合密度函数的基本性质联合密度函数的基本性质(1)p(x,y)0.(非负性)(2)注意：(正则性)第70页/共153页第71页/共153页一、多项分布常用常用多维多维分布分布 若每次试验有r 种结果：A1,A2,Ar记 P(Ai)=pi,i=1,2,r记 i 为 n 次独立重复试验中 Ai 出现的次数.则(1,2,r)的联合分布列为：第72页/共153页二、二、多元超几何分多元超几何分布布从中任取 n 只，记 i 为取出的n 只球中，第i 种球的只数.口袋中有 N 只球，分成 r 类。第 i 种球有 Ni 只，N1+N2+Nr=N.则(

20、1,2,r)的联合分布列为：第73页/共153页三、二维均匀分布三、二维均匀分布若二维连续随机变量(,)的联合密度为：则称(,)服从 D 上的均匀分布，记为(,)U(D).其中SD为D的面积.第74页/共153页四、二维正态分四、二维正态分布布若二维连续随机变量(,)的联合密度为：则称(,)服从二维正态分布，记为 (,)N().第75页/共153页第76页/共153页例例若(,)试求常数 A.第77页/共153页解:所以,A=6=A/6第78页/共153页例例若(,)试求 P 2,1.第79页/共153页x xy y解:P 2,121x2,y1第80页/共153页例例若(,)试求 P(,)D,

21、其中D为 2x+3y6.第81页/共153页322x+3y=6x xy y0解:第82页/共153页二、边际分布二、边际分布问题：已知二维随机变量(,)的分布，如何求出 和 各自的分布？第83页/共153页边际边际分布函数分布函数巳知(,)的联合分布函数为 F(x,y)，则 F2(y)=F(+,y).F1(x)=F(x,+),第84页/共153页边际边际分布分布列列巳知(,)的联合分布列为 pij，则 的分布列为：的分布列为：第85页/共153页第86页/共153页例:袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取两次球，每次取一个，令 01P=j0 09/256/253/

22、51 16/254/252/5P=i3/52/51解:(1)有放回地取球(2)无放回地取球 01P=j06/206/203/516/202/202/5P=i3/52/51第87页/共153页边际分布密度函边际分布密度函数数巳知(,)的联合密度函数为 p(x,y)，则 的密度函数为：的密度函数为：第88页/共153页例例 设(,)服从区域 D=(x,y),x2+y2 1时，p(x,y)=0，所以 p1(x)=0当|x|1时,不是均匀分布第89页/共153页例、设 (,)N().求的边际分布密度函数第90页/共153页二维正态分布的边际分布是一维正态：若(,)N()，注注 意意 点点 则 N()，

23、N().二维均匀分布的边际分布不一定是一维均匀分布.第91页/共153页三、条件分布对二维随机变量(,),在给定取某个值的条件下,的分布;在给定取某个值的条件下,的分布.第92页/共153页已知一个已知一个r.v.r.v.取定的条件下，另一个取定的条件下，另一个r.v.r.v.的的分布分布一、条件分布函数-在=y 条件下 的条件分布函数-在=x 条件下 的条件分布函数第93页/共153页二、离散型：条件分布律 定义：若 若 第94页/共153页1.P=xi|=yj 0;2.证：证：性质：非负性、规范性第95页/共153页例:袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取二次

24、球，每次取一个，令 01P=j0 09/256/253/51 16/254/252/5P=i3/52/51解:(1)有放回地取球(2)无放回地取球 01P=j06/206/203/516/202/202/5P=i3/52/51第96页/共153页 0 1 2 3 0 1 2 0.840 0.030 0.020 0.010 0.060 0.010 0.008 0.002 0.010 0.005 0.004 0.0010.9000.0800.0200.910 0.045 0.032 0.0011.0001、求给定条件下，的条件分布列 2、求给定 条件下，的条件分布列 例题第97页/共153页定义

25、当-在=x 条件下 的条件概率密度当-在=y 条件下 的条件概率密度三、连续型：条件概率密度第98页/共153页第99页/共153页例例设设服从单位圆域服从单位圆域上的均匀上的均匀分布分布,求求第100页/共153页例、设二维连续型随机变量的联合密度函数为例、设二维连续型随机变量的联合密度函数为求条件概率(1)(2)第101页/共153页 若满足以下之一:i)F(x,y)=F1(x)F2(y)ii)p(xi,yj)=p1(xi)p2(yj)iii)p(x,y)=p1(x)p2(y)则称 与 是独立的，四、四、随机变量的独立性随机变量的独立性第102页/共153页例例(,)的联合分布列为:01

26、0 1 0.3 0.4 0.2 0.1问 与 是否独立？解:边际分布列分别为:0 1P 0.7 0.3 0 1P 0.5 0.5因为所以不独立第103页/共153页例:袋中有2个白球，3个黑球，从袋中（1）有放回地；（2）无放回地；取二次球，每次取一个，令 01P=j0 09/256/253/51 16/254/252/5P=i3/52/51解:(1)有放回地取球(2)无放回地取球 01P=j06/206/203/516/202/202/5P=i3/52/51第104页/共153页例例已知(,)的联合密度为 问 与 是否独立？所以 与 独立。注意：p(x,y)可分离变量.解:边际分布密度分别为

27、:所以 与 独立。注意：p(x,y)可分离变量.第105页/共153页所以 与 不独立。注意：p(x,y)不可分离变量.第106页/共153页注注 意意 点点(2)若联合密度 p(x,y)可分离变量，即 p(x,y)=g(x)h(y)则 与 独立。(3)若(,)服从二元正态 N()则 与 独立的充要条件是 r=0.(1)联合密度 p(x,y)的表达式中，若 x 的取值与 y 的 取值有关系，则 与 不独立.第107页/共153页3.3 随机变量的函数及其分布随机变量的函数及其分布问题2：已知二维随机变量(,)的分布，如何求出 =g(,)的分布？问题1：已知一维随机变量 的分布，如何求出 =g(

28、)的分布？第108页/共153页一、Borel函数与随机变量的函数定义3.3.1 设y=g(x)是R到R上的一个映射，若对于一切R中的Borel 点集B1均有x:g(x)B1 B1则称g(x)是一元Borel可测函数。注：我们感兴趣的函数一般是Borel可测函数第109页/共153页多维离散随机变量函数的分布是容易求的：i)对(1,2,n)的各种可能取值对，写出 相应的取值.ii)对的 相同的取值，合并其对应的概率.=g(1,2,n),第110页/共153页如果g(xk)中有一些是相同的，把它们作适当并项即可.则 =g()一般，若是离散型 r.v，的分布律为 第111页/共153页例设 则=2

29、+3的分布列为：再如：则 =2 的分布律为：第112页/共153页例、设(,)的联合分布律为-1 2-1125/20 3/202/20 3/206/20 1/20求，Z1=,Z2=min(,)的分布律(一)、离散的情形第113页/共153页=a0br+a1br-1+arb0 由独立性此即离散型卷积公式r=0,1,2,例 若、独立，P(=k)=ak,k=0,1,2,P(=k)=bk,k=0,1,2,求=+的分布律.解:第114页/共153页 课堂练习 若和相互独立,它们分别服从参数为 的泊松分布,证明Z=X+Y服从参数为的泊松分布.第115页/共153页二、单个随机变量函数的分布解：设的分布函数

30、为 F(y)，例1设 求=2+8 的概率密度.F(y)=P y =P(2+8 y)=P =F()于是 的密度函数第116页/共153页例2先求的分布函数第117页/共153页结论：设第118页/共153页例 设随机变量服从 ，求=a+b(a0)也服从正态分布.这个结论很重要！这个结论很重要！说明正态分布对线性变换具有不变性说明正态分布对线性变换具有不变性所以，YN(a+b,a22)第119页/共153页例，设XN(20,32)则Y=-2X-10N(-50,62)例、XN(0,32)则-XN(0,32)注意：X与-X是不同随机变量，但他们分布相同，即同分布。第120页/共153页课堂练习 设随机

31、变量在(0,1)上服从均匀分布，求=-2ln的概率密度.第121页/共153页求=sin的概率密度.课堂练习 设随机变量的概率密度为第122页/共153页例设 具有概率密度 ,求=2的概率密度.求导可得当 y0 时,注意到=2 0，故当 y 0时，解：设和的分布函数分别为 和 ，第123页/共153页例 已知随机变量的分布函数F(x)是严格单调的连续函数,证明=F()服从0,1上的均匀分布.本例的结论在计算机模拟中有重要的应用.第124页/共153页 三、随机向量的函数的分布律 我们先讨论两个随机变量的函数的分布问题，然后将其推广到多个随机变量的情形.当随机变量1,2,n的联合分布已知时，如何

32、求出它们的函数 i=gi(1,2,n),i=1,2,m的联合分布?四、随机向量的变换第125页/共153页1、M=max(,)及N=min(,)的分布 设，是两个相互独立的随机变量，它们的分布函数分别为F(x)和F(y),我们来求M=max(,)及N=min(,)的分布函数.连续的情形第126页/共153页又由于和 相互独立,于是得到M=max(,)的分布函数为:即有 FM(z)=F(z)F(z)FM(z)=P(Mz)=P(z)P(z)=P(z,z)由于M=max(,)不大于z等价于和都不大于z，故有 分析：P(Mz)=P(z,z)第127页/共153页 类似地，可得N=min(,)的分布函数

33、是下面进行推广 即有 FN(z)=1-1-F(z)1-F(z)=1-P(z,z)FN(z)=P(N0,0,0,0,且 .分别对以上两种联接方式写出L L的寿命Z Z的概率密度函数.先求,的分布函数:第133页/共153页(1)(1)串联.Z=min,.Z=min,F FZ Z(z)=1-1-F(z)=1-1-F(z)1-F(z)1-F(z)(z)第134页/共153页(2)并联.Z=Max,FZ(z)=F(z)F(z)第135页/共153页 设和的联合密度为 p(x,y),求Z=+的密度.解:Z=+的分布函数是:FZ(z)=P(Zz)=P(+z)这里积分区域D=(x,y):x+y z是直线x+

34、y=z 左下方的半平面.2、两个随机变量和的分布第136页/共153页 化成累次积分,得 固定z和y,对方括号内的积分作变量代换,令x=u-y,得变量代换交换积分次序第137页/共153页由概率密度与分布函数的关系,即得Z=+的概率密度为:由和的对称性,pZ(z)又可写成 以上两式即是两个随机变量和的概率密度的一般公式.第138页/共153页 特别，当和独立，设(,)关于,的边际密度分别为p(x),p(y),则上述两式化为:这两个公式称为卷积公式,或褶积公式第139页/共153页例，设,是两个相互独立的随机变量，它们都服从N(0,1)分布，其概率密度为：求Z=+的概率密度。第140页/共153

35、页解：由卷积公式：即Z服从N(0,2)分布。第141页/共153页用类似的方法可以证明:若和 独立,若和 独立,具有相同的分布N(0,1),则Z=+服从正态分布N(0,2).若 相互独立,两个独立的同类型随机变量和的分布还是同类型分布，称为再生性第142页/共153页为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 例 若和 独立,具有共同的概率密度求Z=+的概率密度.解:由卷积公式也即第143页/共153页为确定积分限,先找出使被积函数不为0的区域 如图示:也即于是第144页/共153页例例3.3.33.3.3 设 X 与 Y 独立，XU(0,1),YExp(1).试求 Z=X+Y 的密度函数.解

36、:被积函数的非零区域为：0 x0用卷积公式：(见下图)第145页/共153页xz1z=x因此有(1)z 0 时pZ(z)=0;(2)0 z 1 时pZ(z)=(3)1 z 时pZ(z)=1第146页/共153页3、二维随机变量两个函数的联合分布变量变换法变量变换法求(U,V)的分布.已知 的分布，的函数 变量变换法变量变换法已知 的分布，的函数 第147页/共153页变量变换法的具体步骤变量变换法的具体步骤有连续偏导、存在反函数则(U,V)的联合密度为若其中J为变换的雅可比行列式：第148页/共153页增补变量法增补变量法可增补一个变量V=g2(,)，若要求 U=g1(,)的密度 pU(u)，先用变量变换法求出(U,V)的联合密度pUV(u,v)，用此方法可以求出卷积公式、积的公式、商的公式然后再由联合密度pUV(u,v)，去求出边际密度pU(u)第149页/共153页例、设和独立同分布，都服从N(,2)求(U,V)的联合密度函数q(u,v)第150页/共153页例：若和相互独立，分别服从G(,r1),G(,r2),即密度函数分别为求 U和V的联合密度函数q(u,v)第151页/共153页五、随机变量的函数的独立性（略）第152页/共153页感谢您的观看！第153页/共153页