随机变量函数概率分布.pptx

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1、一一.离散随机变量函数的概率分布离散随机变量函数的概率分布 如果离散随机变量如果离散随机变量 X 具有分布律：具有分布律：P X=xk =pk,k 1；则则 Y=g(X)也是一个离散随机变量，相应分布律是也是一个离散随机变量，相应分布律是 P Y=g(xk)=pk,k 1。需要把可能重合的一些需要把可能重合的一些 g(xk)的概率相加的概率相加思考思考1 X B(1,p)，则，则 Y =X2 服从什么分布？服从什么分布？第1页/共15页例例2.5.1 已知随机变量已知随机变量 X 具有如下的分布律，具有如下的分布律，X 1 0 1 2 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 计算计算 Y =(X

2、 1)2 的概率分布。的概率分布。解解.(X 1)2 4 1 0 1 pk 0.2 0.3 0.1 0.4 整理后立刻得到整理后立刻得到 Y 的分布律，的分布律，Y 0 1 4 pk 0.1 0.7 0.2第2页/共15页例例2.5.2 (报童问题报童问题)假定报童有假定报童有 5 份报纸，卖出的数量份报纸，卖出的数量 X 分布律如下分布律如下 k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 他每卖掉一份报纸将获得报酬他每卖掉一份报纸将获得报酬 1 元，没有卖出元，没有卖出而剩下的每份赔偿而剩下的每份赔偿 0.5 元。计算最终所得的分布。元。计算最终所得的分布

3、。解解.以以 Y 记报童最终的所得，因此有记报童最终的所得，因此有 Y=1X 0.5(5 X)=1.5 X 2.5第3页/共15页 k 0 1 2 3 4 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 X 的分布律的分布律 k 2.5 1 0.5 2 3.5 5 pk 0.1 0.1 0.2 0.3 0.2 0.1 Y=1.5 X 2.5 的分布律的分布律第4页/共15页三、连续型随机变量函数的分布解：设Y的分布函数为 FY(y)，例2设 X 求 Y=2X+8 的概率密度.FY(y)=P Y y =P(2X+8 y)=P X =FX()于是Y 的密度函数第5页/共15页故注意到 0

4、 x 4 时，即 8 y 0 时,注意到 Y=X2 0，故当 y 0时，解：设Y和X的分布函数分别为 和 ，第7页/共15页若则 Y=X2 的概率密度为：第8页/共15页其中，此定理的证明与前面的解题思路类似.x=h(y)是y=g(x)的反函数定理 设 X是一个取值于区间a,b，具有概率密度 f(x)的连续型r.v,又设y=g(x)处处可导，且对于任意x,恒有 或恒有 ，则Y=g(X)是一个连续型r.v，它的概率密度为第9页/共15页 下面我们用这个定理来解一个例题.第10页/共15页例6 设随机变量X在(0,1)上服从均匀分布，求Y=-2lnX的概率密度.解：在区间(0,1)上,函数lnx0

5、,于是 y在区间(0,1)上单调下降，有反函数由前述定理得注意取绝对值第11页/共15页已知X在(0,1)上服从均匀分布，代入 的表达式中得即Y服从参数为1/2的指数分布.第12页/共15页如果如果 X N(,2)，常数，常数 b 0，则有，则有 Y =a+bX N(a+b ,b2 2)一般正态分布与标准正态分布的相互转化一般正态分布与标准正态分布的相互转化(1)如果如果 X N(,2)，Y =N(0,1)；X 正态分布的线性变换仍然服从正态分布正态分布的线性变换仍然服从正态分布(2)如果 X N(0,1)，Y =+X N(,2)第13页/共15页练习练习2.5.3 X U(0,1)，那么，那么 Y =1 X 服从什么分布？服从什么分布？一般地，均匀分布的线性变换是否仍是均匀分布？一般地，均匀分布的线性变换是否仍是均匀分布？如果随机变量如果随机变量 X 具有密度函数具有密度函数 pX(x)，则则Y=X2 的密度函数具有如下形式：的密度函数具有如下形式：随机变量平方的密度函数公式随机变量平方的密度函数公式N2(0,1)的密度的密度第14页/共15页感谢您的观看！第15页/共15页