一元函数的连续性与间断点.pptx

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1、3/14/2023 4:35 AM1.函数的连续性【定义 2.8】设变量从初值改变到终说明说明改变量可以是正的，也可是负的。例如例如从0变到1，从1变到0，第第2 2章章 极限与连续极限与连续值，变量，终值与初值之差称为变量的改记作。则则第1页/共37页3/14/2023 4:35 AM如图所示设函数，第第2 2章章 极限与连续极限与连续时，当自变量从改变到函数相应的改变量为。第2页/共37页3/14/2023 4:35 AM例例设正方形的边长有一个改变量如图所示，面积的改变量面积改变了多少？第第2 2章章 极限与连续极限与连续第3页/共37页3/14/2023 4:35 AM简单地说，。如图

2、所示处不连续处不连续处连续处连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续函数也有一个很小的变化。当自变量有一个很小的变化时，即时，第4页/共37页3/14/2023 4:35 AM或则称函数在点处连续在点处连续。函数连续定义的等价形式【定义 2.9】设函数在点的某即【定义 2.10】设函数在的某个在点处连续在点处连续。第第2 2章章 极限与连续极限与连续邻域内有定义，若则称函数个邻域内有定义，得的改变量时，如果当自变量在点处取函数的改变量，第5页/共37页3/14/2023 4:35 AM事实上，（1）函数在处有定义；）函数在处有定义；（2）极限存在；）极限存在；（3）极限值等于函数值。）极限值等

3、于函数值。若有一条不满足，函数在处不连续若有一条不满足，函数在处不连续第第2 2章章 极限与连续极限与连续具备下列三个条件：函数在处连续要同时第6页/共37页3/14/2023 4:35 AM例例1证明函数 在给定点处连续。证证当在处有一个改变量时，函数有改变量所以，函数在处连续。第第2 2章章 极限与连续极限与连续证毕。第7页/共37页3/14/2023 4:35 AM【定义 2.11】设函数在区间上说明说明在左端点处和右端点处连如上例中，在内连续。第第2 2章章 极限与连续极限与连续每一点都连续，是的连续区间。则称在上连续，并称续是指而点可以是内的任意一点，函数在给定点处连续，因此第8页/

4、共37页3/14/2023 4:35 AM例2证明函数 在 内连续。证证设为内任意一点，因为所以即第第2 2章章 极限与连续极限与连续处有改变量，函数的改变量在第9页/共37页3/14/2023 4:35 AM因而所以函数在点处连续。再由的任意性知，证毕。同理可证在内连续。第第2 2章章 极限与连续极限与连续内连续。函数在第10页/共37页3/14/2023 4:35 AM说明说明由函数在一点处连续的定义及连续函数的连续函数的极限符号极限符号与与函数符号函数符号可以交换可以交换例如例如求解解第第2 2章章 极限与连续极限与连续有第11页/共37页3/14/2023 4:35 AM2.函数的间断

5、点【定义 2.12】若函数在点处不满足定义等价于定义等价于第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续条件，称函数在点处间断，断点。则称函数在点处不连续，或点称为的间第12页/共37页3/14/2023 4:35 AM若函数在的去心邻域内有定义，（1）函数在处无定义；（2）不存在；（3）第第2 2章章 极限与连续极限与连续则下列情形之一，称函数在处间断第13页/共37页3/14/2023 4:35 AM例3讨论函数在点处的连续如图所示解解由于函数在点处无定义，函数在处间断。第第2 2章章 极限与连续极限与连续性。故第14页/共37页3/14/2023 4:35 AM例4设函数，函数在点处的连续性。

6、解解由于则不存在，在处间断。如图所示第第2 2章章 极限与连续极限与连续故讨论第15页/共37页3/14/2023 4:35 AM例5设函数，数在点处的连续性。解解由于故函数在处如图所示第第2 2章章 极限与连续极限与连续间断。讨论函第16页/共37页3/14/2023 4:35 AM间断点的类型间断点的类型【定义2.13】设是函数的间断点均存在若，称为可去间断点可去间断点。若，称为跳跃间断点跳跃间断点。例4中，是跳跃间断点。例5中，是可去间断点；第第2 2章章 极限与连续极限与连续第一类间断点第17页/共37页3/14/2023 4:35 AM第二类间断点至少有一个不存在若其中至少有一个振荡

7、，例3中，是无穷间断点；若其中至少有一个为，如图是函数的振荡间断点。第第2 2章章 极限与连续极限与连续称为无穷间断点无穷间断点；称为振荡间断点振荡间断点。第18页/共37页3/14/2023 4:35 AM3.连续函数的运算法则【定理】若函数与在点处在处也连续。例例因为在区间内连续，证证只要证明极限值等于函数值即可（略）所以在其定义域内连续。第第2 2章章 极限与连续极限与连续连续，则第19页/共37页3/14/2023 4:35 AM【定理】若函数在区间上单调例例由于函数在闭区间上单调增加且连续，在闭区间上也是单调增加且连续。所以其反函数第第2 2章章 极限与连续极限与连续增加（减少）且连

8、续，也在对应的区间上，调增加（减少）且连续。（证略）则其反函数单第20页/共37页3/14/2023 4:35 AM【定理】设函数由函数例例求即解解第第2 2章章 极限与连续极限与连续与函数复合而成，而函数在连续，若则（证略）第21页/共37页3/14/2023 4:35 AM例例讨论函数的连续性。【定理】设函数由函数解解由于函数在内连续而在内连续，在内连续。第第2 2章章 极限与连续极限与连续与函数复合而成，连续，且，连续，也连续。（证略）若函数在而函数在则复合函数在则函数第22页/共37页3/14/2023 4:35 AM初等函数在其定义区间内都是连续的基本初等函数在其定义域内都是连续的初

9、等函数的连续性初等函数的连续性第第2 2章章 极限与连续极限与连续包含在定义域内的区间第23页/共37页3/14/2023 4:35 AM4.闭区间上连续函数的性质【定理】（有界性定理）若函数【定理】（最大值与最小值定理）第第2 2章章 极限与连续极限与连续严格的理论证明省略。下面定理只从几何直观上加以说明，在闭区间上连续，区间上有界。则在此若函数在闭区间上连续，在此区间上一定有最大值和最小值。则将第24页/共37页3/14/2023 4:35 AM如图所示在闭区间上连续，得最小值；在处取得最大值。函数在此区间上有界。第第2 2章章 极限与连续极限与连续在处取因此，第25页/共37页3/14/

10、2023 4:35 AM【定理】（介值定理）若函数在推论（零点存在定理）若函数在闭区第第2 2章章 极限与连续极限与连续闭区间上连续，上的最大值和最小值，任一个实数使得。和分别为在则对介于和之间的至少存在一点间上连续，点，且，则至少存在一使得。第26页/共37页3/14/2023 4:35 AM如图所示介值定理介值定理零点存在定理零点存在定理第第2 2章章 极限与连续极限与连续第27页/共37页3/14/2023 4:35 AM例例6利用介值定理证明方程在区间内各有一个实根。证证设由介值定理知，存在使得即为给定方程的实根。又由于三次方程最多有三个根，第第2 2章章 极限与连续极限与连续所以各区

11、间内只有一个。第28页/共37页3/14/2023 4:35 AM例7求解解例8求解解第第2 2章章 极限与连续极限与连续第29页/共37页3/14/2023 4:35 AM例9证明当时，证证所以证毕。第第2 2章章 极限与连续极限与连续第30页/共37页3/14/2023 4:35 AM内容小结内容小结1.函数连续的等价定义函数连续的等价定义2.间断点间断点函数在点连续第一类间断点第一类间断点（可去间断点，跳跃间断点可去间断点，跳跃间断点）第二类间断点第二类间断点（无穷间断点，振荡间断点）第第2 2章章 极限与连续极限与连续存在左右极限至少有一个不左右极限都存在充分必要条件第31页/共37页

12、3/14/2023 4:35 AM3.初等函数在其定义区间内连续初等函数在其定义区间内连续4.分段函数在分界点处的连续性，分段函数在分界点处的连续性，5.闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质（有界性定理，最大值、最小值定理，介值定有界性定理，最大值、最小值定理，介值定第第2 2章章 极限与连续极限与连续定义或充要条件讨论。需要用理，零点存在定理）第32页/共37页3/14/2023 4:35 AM备用题备用题1.若函数在点连续，解解因为所以即在处连续。反之不成立，是有理数是无理数处处间断，第第2 2章章 极限与连续极限与连续是否在处连续？问反之是否成立？而处处连续。如第33页/共37页3/14/2023 4:35 AM2.讨论函数间断点的类型解解是其间断点。因为所以，是可去间断点，是无穷间断点，第第2 2章章 极限与连续极限与连续即第一类间断点。即第二类间断点。第34页/共37页3/14/2023 4:35 AM时，函数为连续函数。解解由连续性知第第2 2章章 极限与连续极限与连续3.设函数第35页/共37页3/14/2023 4:35 AM4.确定函数间断点的类型。解解间断点为无穷间断点。故，为跳跃间断点。第第2 2章章 极限与连续极限与连续第36页/共37页3/14/2023 4:35 AM感谢您的观看！第37页/共37页