天津大学概率论与数理统计随机变量函数.pptx

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1、问题的提出问题的提出在实际中，人们常常对随机变量的函数更感兴趣.求截面面积 A A=的分布.例如，已知圆轴截面直径 d d 的分布，已知t=tt=t0 0 时刻噪声电压 V V的分布，求功率 W=VW=V2 2/R/R (R R为电阻）的分布等.这类问题无论在实践中还是在理论上都是重要的.问题的一般提法问题的一般提法第1页/共30页Ch2-2方法方法 将与Y 有关的事件转化成 X 的事件2.4求求 随机因变量Y=g(X)的密度函数 或分布律问题问题 已知已知 r.v.X 的d.f.或分布律.第2页/共30页Ch2-3设 r.v.X 的分布律为由已知函数 g(x)可求出 r.v.Y 的所有可能取

2、值，则 Y 的概率分布为离散型离散型 r.v.函数的分布函数的分布离散型离散型第3页/共30页1 1、一维离散型随机变量函数的概率分布律、一维离散型随机变量函数的概率分布律例例1:已知已知XPX-1 0 1求：求：Y=2X的概率分布律的概率分布律YPY-2 0 2 第4页/共30页设随机变量X的概率分布律为求Y=2X2+1的概率分布律。解例2由题设可得如下表格 X1 0 1 2pk 0.2 0.3 0.4 0.1x-1012Y=2x2+13139概率0.20.30.40.1所以，y=2x2+1的概率分布律为 Y 1 3 9 pY 0.3 0.6 0.1第5页/共30页一般地一般地第6页/共30

3、页例3：设随机变量X的概率分布律为解Y -1 0 1 PY 2/15 1/3 8/15第7页/共30页解题过程第8页/共30页答案第9页/共30页二、连续型随机变量函数的概率密度二、连续型随机变量函数的概率密度 设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为 ，求随，求随机变量机变量Y=g(X)(g连续连续)的概率密度的概率密度.第一步 求出Y的分布函数 的表达式；第二步1 1一般方法一般方法分布函数法分布函数法因为FY(y)=PYy=Pg(X)y，设ly=x|g(x)y则第10页/共30页第二步 由分布函数求概率密度.第一步第一步 解解例例2第11页/共30页所以，第12页/共30页综上得

4、第13页/共30页n推论n定理正态随机变量的线性函数服从正态分布。-正态随机变量的标准化 第14页/共30页定理定理2.2.公式法公式法第15页/共30页证：只证证：只证g g(x)0(x)0的情况。此时的情况。此时g(x)g(x)在在(-,+(-,+)严格单调增加，它的反函数严格单调增加，它的反函数h(y)h(y)存在，且在存在，且在(，)严格单调增加，可导，现在先来求严格单调增加，可导，现在先来求Y Y的的分布函数分布函数F FY Y(y)(y)。因为因为Y=g(X)Y=g(X)在在(，)取值，故当取值，故当yy时，时，F FY Y(y)=PYy=0(y)=PYy=0；此定理的证明与前面的

5、解题思路类似.当当yy时，时，F FY Y(y)=PYy=1(y)=PYy=1；当当yy0(x)0(或恒有或恒有g g(x)0)(x)0)，此时此时 若若g g(x)0,(x)0,同理可证同理可证若g(x)不是单调函数不能用此定理.第17页/共30页公式注释第18页/共30页注注：1 1）只有当只有当g(x)g(x)是是x x的单调可导函数时，才可用以的单调可导函数时，才可用以上公式推求上公式推求Y Y的的概率概率密度函数。密度函数。2 2）注意定义域的选择。注意定义域的选择。第19页/共30页第20页/共30页第21页/共30页第22页/共30页例例7.7.设设X X U(-1,1),U(-

6、1,1),求求Y=XY=X2 2的分布函数与概率密度。的分布函数与概率密度。当y0时当0y1时当y1时第23页/共30页第24页/共30页第25页/共30页例9：设一设备开机后无故障工作的时间X服从参数为2的指数分布，每当设备出现故障时就自动关机，而在无故障的情况下，设备工作8小时便自动关机，试求该设备每次开机至关机这段工作时间Y的分布函数。例：设随机变量X服从参数为2的指数分布，令Y=minX,8，求随机变量Y的分布函数第26页/共30页第27页/共30页小结小结.第28页/共30页练习:已知随机变量已知随机变量X X的概率密度为的概率密度为求：Y=1-XY=1-X2 2的概率密度第29页/共30页感谢您的观看！第30页/共30页