一元多项式环的概念及其通用性质.pptx

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1、一一、多项式多项式定义定义.设设x是一个变量是一个变量(文字文字),),n是非负整数是非负整数.表示式表示式 anxn+an-1xn-1+a1x+a0,其中其中an,an-1,a1,a0全属于数域全属于数域K,称为系数在称为系数在数域数域K中的中的一元多项式一元多项式,简称数域简称数域K上的一元多上的一元多项式项式.第1页/共13页注注:(1)一元多项式指只含一个变量一元多项式指只含一个变量.(2)n是非负整数是非负整数.(3)多项式常用多项式常用f(x),g(x)等表示等表示,或简记作或简记作f,g等等.第2页/共13页设数域设数域K K上的多项式上的多项式 f(x)=anxn+an-1xn

2、-1+a1x+a0,(1)an,an-1,a1,a0称为称为f(x)的的系数系数,系数全为系数全为0的多项式称为的多项式称为零多项式零多项式,记作记作0.(2)akxk(k=n,n-1,1,0)称为称为f(x)的的k次项次项,ak称为称为f(x)的的k次项系数次项系数.(3)零次项零次项a0也称为也称为f(x)的的常数项常数项.第3页/共13页(5)(5)非零常数是零次多项式非零常数是零次多项式.(6)(6)零多项式是唯一无法确定次数的多项式零多项式是唯一无法确定次数的多项式.(7)(7)只有只有f(x)0,degf(x)才有意义才有意义.(4)(4)若若an 0,称称anxn为为f(x)的的

3、首项首项,an称为称为f(x)的首项系数的首项系数,n 称为称为f(x)的的次数次数,常记作常记作degf(x),或或第4页/共13页二二 多项式的运算多项式的运算设设 f(x)=anxn+an-1xn-1+a1x+a0,g(x)=bmxm+bm-1xm-1+b1x+b0,1、相等、相等:f(x)=g(x)若若f(x)与与g(x)的所有同次项系数全相等的所有同次项系数全相等.2、加、加(减减)法法:f(x)g(x)将将f(x)与与g(x)的所有同次项系数相加的所有同次项系数相加(减减);若若mn,则则ai=0;若若jm,则则bj=0.(2)(2)乘法运算式可按竖式进行乘法运算式可按竖式进行.第

4、6页/共13页乘法运算式乘法运算式例1.设f(x)=2x2+3x-1,g(x)=x3+2x2-3x+2,则 f(x)=2x2+3x-1,)g(x)=x3+2x2-3x+2 .2x5+3x4-x3 4x4+6x3-2x2 -6x3-9x2+3x 4x2+6x-2 .f(x)g(x)=2x5+7x4-x3-7x2+9x-2第7页/共13页一些性质一些性质1 1、数域、数域K K上的两个多项式经过加上的两个多项式经过加、减减、乘运算后乘运算后,所得的结果仍然是数域所得的结果仍然是数域K K上的多项上的多项式式2 2、deg(f(x)g(x)max(deg f(x),deg g(x)deg(f(x)g

5、(x)=deg f(x)+deg g(x)3、若、若f(x)0,g(x)0,则则f(x)g(x)0,而且而且f(x)g(x)的首项就等于的首项就等于f(x)的首项与的首项与g(x)的的首项之积首项之积;f(x)g(x)的首项系数等于的首项系数等于f(x)的首项系数与的首项系数与g(x)的首项系数之积的首项系数之积.第8页/共13页运算规律运算规律1 1、加法交换律、加法交换律2 2、加法结合律、加法结合律3 3、乘法交换律、乘法交换律4 4、乘法结合律、乘法结合律5 5、乘法对加法的分配律、乘法对加法的分配律6 6、乘法消去律、乘法消去律定义定义 所有系数在数域所有系数在数域K K中的一元多项式全体中的一元多项式全体,称为数域称为数域K K上的上的一元多一元多项式环项式环,记作记作K K x,P称为称为K x 的的系数域系数域.第9页/共13页设(1)证明:若 则(2)在复数域上(1)是否成立？练习：练习：第10页/共13页(1)证：若 则 于是 为奇数.故 从而 从而 但 为偶数.这与已知矛盾.第11页/共13页(2)在 C上不成立如取 从而必有又 均为实系数多项式，第12页/共13页谢谢您的观看！第13页/共13页