[高中数学]数学期望与方差.ppt

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1、数学期望与方差例设射击手甲与乙在同样条件下进行射击，其命中的环数是一随机变量，假设由历史纪录可得到它们分别有下面的分布列。（其中0环表示脱靶），试问，应如何来评定甲、乙的技术优劣？甲10987650P0.50.20.10.10.050.050乙10987650P0.10.10.10.10.20.20.2解由射手甲的分布列很清楚地知道，他命中10环的概率是0.5，换句话说，他发出100粒子弹，约有50粒子弹命中10环，同理，约有20粒命中9环，约有10粒命中8环和7环，约有5粒命中6环和5环，没有脱靶的，这样“平均”起来甲命中环数约为 我们把它记作E(甲)，对上式稍做变化得 =10X0.1+9X

2、0.1+8X0.1+7X0.1+6X0.2+5X0.2+0X0.2 =8.85(环)(1)式（1）式可以作为射手甲击中环数的理论平均值，因为它是由甲的理论取值与理论取值的概率相乘后求和得到（亦即加权平均得到）的。同样，对于射手乙理论平均命中环数为 E(乙)=10X0.1+9X0.1+8X0.1+7X0.1+6X0.2+5X0.2+0X0.2 =5.6(环)(2)式由（1）及（2）式看到，从理论平均中环数看，射手甲的射击水平高于射手乙的射击水平，同时，我们也看到，这种反应随机变量取值平均意义特性的数值，恰好是这个随机变量取的一切可能值与相应概率乘积的总和，即若随机变量取值为x1,x2,取这些值相

3、应的概率为p1,p2,则反映“平均”意义的数字特征为 E=x1p1+x2p2+=xipi,并把它叫做的平均值。加权平均值数学期望对于射手甲、乙的技术水平，除了上述从平均的角度来考虑外，还可以从射击命中环数的集中或离散程度来考虑，由上所述，射手甲命中环数的平均值是8.85，因此，他命中10环与平均值8.85的偏离值为10-8.85=1.15，偏离的平均值为（10-8.85）2.但射手甲命中10环的概率为0.5，因而，在射击100发子弹中约有50次出现偏离的平方为（10-8.85）2，同样理由，可得下表（）表（）偏离值 -E10-8.859-8.855-8.850-8.85偏离值的平方 (-E)2

4、(10-8.85)2(9-8.85)2(5-8.85)2(0-8.85)2概率 p0.50.20.050偏离值10-8.859-8.855-8.850-8.85偏离值的平方(10-8.85)2(9-8.85)2(5-8.85)2(0-8.85)2概率0.50.20.050按平均值 E(甲)的想法，射手甲射击的“平均”的平方偏差值可为并记它D甲，改写后为D甲=(10-8.85)2X0.5+(9-8.85)2X0.2+(5-8.85)2X0.05+(0-8.85)2X0=2.2275 (3)式同理，可得 D乙=(10-5.6)2X0.1+(9-5.6)2X0.1+(5-5.6)2X0.2+(0-5

5、.6)2X0.2=10.24 (4)式比较（1）及（2）两式得知，从偏离平方值的“平均”值看，射手甲的技术优于射手乙。把（3）与（4）抽象成一般形式，得到：若离散型随机变量取值为x1,x2,相应的概率为p1,p2,则反映“平均”平方偏离值特性的数值为x1-E()2p1+x2-E()2p2+=(x1-E()2p 记它为D()。这里，我们求偏离值平方的“平均”值，而不去求偏离值的“平均”值，原因在于：偏离值有正，有负，在相加的的过程中，不应让它们互相抵消，而应让每一次偏离值(不管是正是负)都被考虑进去，故可考虑偏离值的平方值，乘以相应的概率并相加求和。如果离散型随机变量所有可能取的值是X1，x2，,xn，,且取这些值的概率分别是 P1，p2，n,那么，把叫做随机变量的均方差均方差，简称为方差方差，式中是随机变量的期望，的算术平方根叫做随机变量的标准标准差差，记作,随机变量的方差与标准差都反映了随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度，其中标准差与随机变量本身有相同的单位