Bezier&BSpline_曲线.ppt

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1、 1962196219621962年法国雷诺年法国雷诺年法国雷诺年法国雷诺(Renault)(Renault)(Renault)(Renault)汽车公司的贝塞尔汽车公司的贝塞尔汽车公司的贝塞尔汽车公司的贝塞尔(P.E.BezierP.E.BezierP.E.BezierP.E.Bezier)构造的一种以逼近为基础的用控制多构造的一种以逼近为基础的用控制多构造的一种以逼近为基础的用控制多构造的一种以逼近为基础的用控制多边形定义曲线和曲面的方法；边形定义曲线和曲面的方法；边形定义曲线和曲面的方法；边形定义曲线和曲面的方法；Bezier Bezier Bezier Bezier曲线是曲线是曲线是曲

2、线是由一组多边折线（特征多边形）的由一组多边折线（特征多边形）的各顶点唯一定义出来。各顶点唯一定义出来。Bezier曲线曲线BezierBezier曲线的数学表达式曲线的数学表达式BernsteinBernstein基函数的性质基函数的性质BezierBezier曲线的性质端点性质曲线的性质端点性质BezierBezier曲线的性质对称性、凸包性、几何不变性、曲线的性质对称性、凸包性、几何不变性、变差缩减性变差缩减性BezierBezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示一次一次BezierBezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示二次二次BezierBezier曲线

3、曲线P PBezierBezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示三次三次BezierBezier曲线曲线BezierBezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示三次三次BezierBezier曲线曲线三次三次BezierBezier曲线的基函数曲线的基函数t=0.4B B1,31,3B B2,32,3B B0,30,3B B3,33,3BezierBezier曲线的矩阵表示曲线的矩阵表示三次三次BezierBezier曲线的曲线的HornerHorner格式表示的生成算法格式表示的生成算法三三次次B Be ez zi ie er r曲曲线线的的H Ho or rn ne er r算算法法程程序序st

4、ruct point float x;float y;void main()point p10;float t=0;int i,degree;char fn20;point coordinate21;printf(“Input the number of degreen”);scanf(“%d”,°ree);printf(“Input data filenamen”);scanf(“%s”,fn);for(i=0;i=degree;i+)fscanf(“%d,%d”,&pi.x,&pi.y);for(i=0;i=20;i+)t=i*0.05;coordinatei=hornbez(deg

5、ree,p,t);三次三次BezierBezier曲线的曲线的HornerHorner算法程序算法程序point hornbez(int degree,point*coeff,float t)int i,n_choose_i;float fact,tl;point aux;t1=1-t;fact=1.0;n_choose_i=1;aux.x=coeff0.x*t1;aux.y=coeff0.y*t1;aux.z=coeff0.z*t1;for(i=1;idegree;i+)fact=fact*t;n_choose_i=n_choose_i*(degree-i+1)/i;aux.x=aux.x+

6、fact*n_choose_i*coeffi.x)*t1;aux.y=aux.y+fact*n_choose_i*coeffi.y)*t1;aux.z=aux.z+fact*n_choose_i*coeffi.z)*t1;aux.x=aux.x+fact*t*coeffdegree.x;aux.y=aux.y+fact*t*coeffdegree.y;aux.z=aux.z+fact*t*coeffdegree.z;return aux;BezierBezier曲线的拼接曲线的拼接两条两条BezierBezier曲线连接有一定的条件，如右图所示，曲线连接有一定的条件，如右图所示，p p3 3与

7、与Q Q0 0重重合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。合，且两条曲线在连接处二阶导数连续。BezierBezier曲线的生成曲线的生成Bezier曲线的缺点曲线的缺点1、特征多边形的顶点个数、特征多边形的顶点个数n+1决定了决定了Bezier曲线的阶曲线的阶次，次，即只能生成即只能生成n次曲线，不灵活。次曲线，不灵活。2、当、当n很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的控很大时，曲线的阶次很高，多边形对曲线的控制明显减弱。制明显减弱。3、由于基函数在区间由于基函数在区间(0,1)上均不为上均不为0。因此。因此Bezier曲曲线线上任何一点都受到全部所有控制点的影响。改变任上任何一点都受到全部所有

8、控制点的影响。改变任一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线一控制点都会对整条曲线产生影响。因而对曲线做局做局部修改部修改成为不可能成为不可能。1972197219721972年年年年GordonGordonGordonGordon、RiesenfeldRiesenfeldRiesenfeldRiesenfeld和和和和ForrestForrestForrestForrest等人拓广等人拓广等人拓广等人拓广了了了了BezierBezierBezierBezier曲线，用样条基函数代替曲线，用样条基函数代替曲线，用样条基函数代替曲线，用样条基函数代替BernsteinBernsteinBern

9、steinBernstein基函基函基函基函数，构造了数，构造了数，构造了数，构造了B B B B样条曲线。样条曲线。样条曲线。样条曲线。B B B B样条曲线保留了样条曲线保留了样条曲线保留了样条曲线保留了BezierBezierBezierBezier曲线的优点，克服了曲线的优点，克服了曲线的优点，克服了曲线的优点，克服了BezierBezierBezierBezier曲线的缺点。曲线的缺点。曲线的缺点。曲线的缺点。是一种分段连续曲线是一种分段连续曲线是一种分段连续曲线是一种分段连续曲线。B样条曲线样条曲线B样条曲线定义：已知已知n+1个控制点，个控制点，k次次B样条曲线为：样条曲线为：节

10、点向量节点向量ti=i（0，1，2，,n+K)均匀：均匀：ti+1-ti=常数（常数（=1）周期：周期：C0(u)=p(0)N03+p(1)N13+p(2)N23 2=u=30 1 2 3 4 5 6 7 u 1N0.5C1(u)=p(1)N13+p(2)N23+p(3)N33 3=u=4N03N13N23N33N43均匀周期B样条曲线B样条曲线分类均匀周期B样条曲线的数学表达式第i个特征多边形（Pi,Pi+1,Pi+n)B样条曲线示例一次B样条曲线基函数：n=1，k=0,1一次B样条曲线曲线表达式（代数形式/矩阵形式）二次B样条曲线基函数：n=2，k=0,1,2二次B样条曲线曲线表达式（代数

11、形式/矩阵形式）二次B样条曲线曲线性质二次B样条曲线曲线性质二次B样条曲线示例i=0 0=t=1 01234i=1 0=t=1 12i=2 0=t=1 23二次均匀周期B样条曲线三次B样条曲线基函数：n=3，k=0,1,2,3三次B样条曲线曲线表达式（代数形式/矩阵形式）三次B样条曲线曲线性质三次B样条曲线曲线性质三次B样条曲线三次B样条曲线示例B样条曲线-特技处理构造直线段构造直线段(2次三点共线次三点共线,3次四点共线次四点共线)和多边形相切和多边形相切(三点共线三点共线/二重节点二重节点)通过指定点通过指定点(2次二重节点次二重节点/3次三重节点次三重节点)指定起点约束条件指定起点约束条件指定两端点指定两端点产生封闭曲线产生封闭曲线(控制多边形首尾相接控制多边形首尾相接)三次B样条曲线-特技处理三次B样条曲线-特技处理12345678910111234567891011B样条曲线-特技处理