32等差数列(二).ppt

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1、12/10/20221等差数列等差数列：一般地，如果一个数列从第二项：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，即即anan-1=d，（，（n2，nN+），），这个数列就这个数列就叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公叫做等差数列，这个常数就叫做等差数列的公差（常用字母差（常用字母“d”表示）表示）复复习习回回顾顾2等差数列的通项公式：等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d(an=am+(n-m)d )3有几种方法可以计算公差有几种方法可以计算公差d问题问题：如果在：如果在a与与b中间插入一个数中间插入一个数A，使，使a

2、，A，b成成等差数列，那么等差数列，那么A应满足什么条件？应满足什么条件？由定义得由定义得A-a=b-A，反之，若反之，若，则，则A-a=b-A也就是说，也就是说，是是a,A,b成等差数列的成等差数列的充要条件充要条件即：即：新新课课教教学学定义定义：若：若a，A，b成等差数列，那么成等差数列，那么A叫做叫做a与与b的的等差中项等差中项。不难发现：在一个等差数列中，从第不难发现：在一个等差数列中，从第2项起，每一项项起，每一项（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的（有穷数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项。等差中项。如数列：如数列：1，3，5，7，9，11，13中中5是是3

3、和和7的等差中项，也是的等差中项，也是1和和9的等差中项，的等差中项，9是是7和和11的等差中项，也是的等差中项，也是5和和13的等差中项。的等差中项。看来：看来：等差数列的等差数列的性质性质：思考思考：例例1.在等差数列在等差数列an中中,若若a1+a6=9,a4=7,求求a3,a9分析：分析：要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通要求一个数列的某项，通常情况下是先求其通项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至项公式，而要求通项公式，必须知道这个数列中的至少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道少一项和公差，或者知道这个数列的任意两项（知道任意两项就知道公差），本题中，只已知一

4、项，和另任意两项就知道公差），本题中，只已知一项，和另一个双项关系式，想到从这双项关系式入手一个双项关系式，想到从这双项关系式入手例例题题解解析析解解：an是等差数列是等差数列a1+a6=a4+a3=9d=a4a3=72=5a3=9a4=97=2a3=2,a9=32a9=a4+(94)d=7+55=32 此题亦可对已知条件运用等差数列的通项公式，此题亦可对已知条件运用等差数列的通项公式，得到关于得到关于a1和和d 的方程组，解出的方程组，解出a1和和d，再求再求a3,a9.例例2.（2009安徽安徽文）文）已知已知an为等差数列，为等差数列，a1+a3+a5=105,a2+a4+a6=99,则

5、则a20等于等于A.-1B.1C.3 D.7解析解析:a1+a3+a5=105,即即 3a1=105a3=35,同理可得同理可得 a4=33,公差公差d=a4-a3=-2 a20=a4+(20-4)d=1.选选B.例例3.等差数列等差数列an中，中，a1+a3+a5=12,且且a1a3a5=80.求通项求通项an分析分析：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的：要求通项，仍然是先求公差和其中至少一项的问题问题,而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项而已知两个条件均是三项复合关系式，欲求某项必须消元（项）必须消元（项）,因此，首先做转化因此，首先做转化-an=10+3(n1)=3n13或或

6、an=23(n1)=3n+5分析：分析：由等差数列的定义，要判定由等差数列的定义，要判定an是不是等差数列是不是等差数列,只要看只要看an-an-1(n2)是不是一个与是不是一个与n无关的常数就行了无关的常数就行了例例4：(一起阅读教材例一起阅读教材例4)解解：取数列中的任意相邻两项：取数列中的任意相邻两项an-1与与an则有则有an-an-1=(pn+q)-p(n-1)+q=pn+q-(pn-p+q)=p,它是一它是一个与个与n无关的常数，所以无关的常数，所以an是等差数列，且公差是是等差数列，且公差是p，在通项公式中令在通项公式中令n=1，得，得a1=p+q.所以数列所以数列an是一是一个

7、以个以p+q为首项，为首项，p为公差的等差数列为公差的等差数列.由等差数列的通项公式由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d,可得可得an=dn+(a1-d).令令p=d,q=a1-d,则有则有an=pn+q.所以等差数列的通项公式可所以等差数列的通项公式可表示为表示为an=pn+q的形式的形式,其中其中p，q是常数是常数.而由例而由例4可以看可以看出，通项公式为出，通项公式为an=pn+q(p,q为常数为常数)的数列是等差数列的数列是等差数列.综上所述，等差数列的性质为：综上所述，等差数列的性质为：数列的通项公式为数列的通项公式为an=pn+q(p、q为常数为常数)数列数列an是等差数列

8、是等差数列即：通项公式为即：通项公式为an=pn+q(p、q为常数为常数)，是数列，是数列an为等为等差数列的充要条件当差数列的充要条件当p0(即公差即公差d0时时)，an是关于是关于n的一次式，此时的一次式，此时(n，an)在一次函数在一次函数y=px+q的图象上，的图象上，所以，公差不为所以，公差不为0的等差数列的图象是直线的等差数列的图象是直线y=px+q上的上的均匀排开的一群孤立点均匀排开的一群孤立点例如，首项是例如，首项是l，公差是，公差是2的无穷等差数列的通项公式为的无穷等差数列的通项公式为an=2n-1,相应的图象是直线相应的图象是直线y=2x-1上的均匀排开的无穷上的均匀排开的

9、无穷多个孤立点多个孤立点(见教材图见教材图3-3)由图可知，由图可知，当公差当公差d0时，数列是一个递增数列，时，数列是一个递增数列，当公差当公差d0时，数列是一个递减数列时，数列是一个递减数列思考思考：an是关于是关于n的一次式，是数列的一次式，是数列an为等差数列的什为等差数列的什么条件么条件?解析：由例解析：由例4可知，如果可知，如果an是关于是关于n的一次式，即的一次式，即an=pn+q(p、q为常数为常数,p0)，那么数列，那么数列an是等差数列，但并不是等差数列，但并不是所有的等差数列的通项公式都可以表示为关于是所有的等差数列的通项公式都可以表示为关于n的一次的一次式当式当d=0时

10、，数列时，数列an是一个常数数列：是一个常数数列：a1,a1,a1,.其通项公式为其通项公式为an=a1不是关于不是关于n的一次式，所以的一次式，所以an是关于是关于n的一次式是数列的一次式是数列an为等差数列的充分不必要条件为等差数列的充分不必要条件1.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3a4a5a6a7450,求求a2a8及前及前9项和项和S9.2.已知已知a、b、c的倒数成等差数列，的倒数成等差数列，求证：求证：的倒数也成等差数列的倒数也成等差数列.练练习习1.在等差数列在等差数列an中中,已知已知a3a4a5a6a7450,求求a2a8及前及前9项和项和S9.解：由等差中项公式：

11、解：由等差中项公式：由条件由条件:a3a4a5a6a7450,得得:5a5450,a590,a2a82a5180.S9a1a2a3a4a5a6a7a8a99a5810.(a1+a9)+(a2+a8)+(a3+a7)+(a4+a6)+a5a3a72a5，a4a62a52.已知已知a、b、c的倒数成等差数列，的倒数成等差数列，求证：求证：的倒数也成等差数列的倒数也成等差数列.分析分析：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利：给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数用三个数x、y、z成等差数列的充要条件：成等差数列的充要条件：x+z=2y证明：因为证明：因为a、b、c的倒数成等差数列的倒数成等差数列即即2ac=b(a+c)的倒数也成等差数列的倒数也成等差数列.3.数列的通数列的通项项公式公式为为(p、q为常数)数列数列是等差数列是等差数列4.灵活应用等差数列的定义和性质解题灵活应用等差数列的定义和性质解题小小结结补充题：在补充题：在1 0001 000，2 0002 000内，能被内，能被3 3整除且整除且被被4 4除余除余l l的整数共有多少个的整数共有多少个?83个个