理论力学习题5.ppt

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1、 5.1使用虚功原理解使用虚功原理解3.1题。半径为题。半径为r的光滑半球形碗，固定在水的光滑半球形碗，固定在水平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，平面上，一均质细棒斜靠在碗缘，一端在碗内，一端在碗外，在碗内的长度为在碗内的长度为c，试证棒的全长为：试证棒的全长为：解解：杆杆受受理理想想约约束束，杆杆的的位位置置可可由由杆杆与与水水平平方方向向夹夹角角唯唯一一确确定定，杆杆的的自自由由度度为为1 1，设设棒棒长长为为l，如如图图所所示示，建建立立坐坐标标系系 ，棒所受主动力只有重力，由虚功原理：棒所受主动力只有重力，由虚功原理：有：有：即：即：取取 为广义坐标为广义坐标：只有

2、：只有：5.2 使用虚功原理解使用虚功原理解3.43.4题。相同的两个均质光滑球悬在结题。相同的两个均质光滑球悬在结于顶点于顶点O O的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，的两根绳子上，此两球同时又支持一个等重的均质球，求求 角及角及 角的关系。角的关系。解解：平平衡衡时时悬悬绳绳张张力力通通过过球球心心，三三球球所所受受主主动动力力只只有有重重力力，自自由由度度为为1 1，如如图图建建立立坐坐标标系，设小球半系，设小球半 径为径为r，由虚功原理得：由虚功原理得：代入（代入（1 1）式得：）式得：取变分：取变分：即：即：由约束关系：由约束关系：取变分：取变分：代入（代入（2 2）式：

3、）式：只有：只有：故：故：5.3 5.3 长度同为长度同为l的轻棒四根，光滑地连成一菱形的轻棒四根，光滑地连成一菱形ABCD，AB、AD两边支于同一水平线上相距为两边支于同一水平线上相距为2 2a的两根钉上，的两根钉上，BD间则用一间则用一轻绳联结，轻绳联结，C点上系一重物点上系一重物W，设，设A点上的顶角为点上的顶角为 ，试用虚，试用虚功原理求绳中张力功原理求绳中张力T。解解：如如图图所所示示，取取两两钉钉连连线线中中点点O为为坐坐标标原原点点，建建立立坐坐标标系系 ，将将BD间间的的约约束束解解除除，代代之之以以约约束束反反力力T，将将T当当作作主主动动力力。一一定定，便便可可确确定定AB

4、CD位位置置，体体系系自自由由度度为为1 1，选选 为为广义坐标。由虚功原理得：广义坐标。由虚功原理得：（2）（1）取变分：取变分：将将代入代入得：得：（3）补充题补充题1、图所示曲柄连杆机构中，曲柄、图所示曲柄连杆机构中，曲柄A端上所受的竖直端上所受的竖直力为力为Q，由活塞由活塞D上所受的水平力上所受的水平力P维持平衡，求水平力维持平衡，求水平力P与与竖直力为竖直力为Q的的大小的比值大小的比值 为（为（）。）。A、B、C、D、解解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象。依虚功原理有：构为研究对象。依虚功原理有：即：即：因

5、为刚性杆两端无限小位移投影相等，所以因为刚性杆两端无限小位移投影相等，所以:(选 D)应用虚功原理解题时的步骤以及应注意的问题：应用虚功原理解题时的步骤以及应注意的问题：1判断所研究的质点系受到的约束是否都是理想约判断所研究的质点系受到的约束是否都是理想约束，然后作受力分析，画出受力图。由于虚功原理中不包束，然后作受力分析，画出受力图。由于虚功原理中不包含约束反力，因而可以不考虑约束反力，而只画全部主动含约束反力，因而可以不考虑约束反力，而只画全部主动力。若质点系受有非理想约束，或需计算约束反力时，便力。若质点系受有非理想约束，或需计算约束反力时，便将这样的约束解除，代之以相应的约束反力，并视

6、之为主将这样的约束解除，代之以相应的约束反力，并视之为主动力。动力。2根根据据问问题题所所给给的的条条件件，确确定定系系统统的的自自由由度度数数,同同时时选选适适当当的的参参数数作作为为确确定定系系统统位位置置的的广广义义坐坐标标。如如果果题题设设条条件件便便于于用用广广义义坐坐标标表表出出各各个个主主动动力力作作用用点点的的坐坐标标，则则用用分分析析法法求求解解较较为为方方便便。如如果果题题设设条条件件不不便便于于应应用用分分析法，则可应用几何法求解。析法，则可应用几何法求解。3用几何法求解时，所给虚位移必须满足约束条件用几何法求解时，所给虚位移必须满足约束条件(即即不破坏约束不破坏约束)，

7、并用此条件来建立各点虚位移间的关系。，并用此条件来建立各点虚位移间的关系。4、写虚功原理表示式时，应当注意虚元功的正、负号。、写虚功原理表示式时，应当注意虚元功的正、负号。5对于一个自由度的质点系的平衡问题，每个问题对于一个自由度的质点系的平衡问题，每个问题写出一个方程求得一个未知量。而两个自由度的质点系的写出一个方程求得一个未知量。而两个自由度的质点系的平衡问题，写出两个方程求得两个未知量，以此类推。不平衡问题，写出两个方程求得两个未知量，以此类推。不难理解，具有难理解，具有s个自由度的质点系的平衡问题，可写出个自由度的质点系的平衡问题，可写出s个个方程求解方程求解s个未知量个未知量 补充题

8、补充题2（33）两根均质棒两根均质棒AB、BC，在，在B处刚性连结处刚性连结在一起，且在一起，且 形成一直角，如将此棒的形成一直角，如将此棒的A端用绳系于固端用绳系于固定点定点O上（如图所示），则当棒平衡时，上（如图所示），则当棒平衡时，AB棒和竖直直线所棒和竖直直线所成的角成的角 满足下列关系：满足下列关系：其中其中a、b为棒为棒AB和和BC的长度，试用虚功原理证明。的长度，试用虚功原理证明。解：如图所示，系统自由度为解：如图所示，系统自由度为1，选选 为广义坐标，为广义坐标，A、B棒重力分别棒重力分别作用于作用于 a(x1,y1)和和b(x 2,y2)点，设点，设棒线密度为棒线密度为 ，以

9、，以A为坐标原点，则：为坐标原点，则：故故：系统平衡时，由虚功原理得：系统平衡时，由虚功原理得：补充题补充题3、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力为、如图所示，压榨机的空气压力筒的推力为F，已知已知 ，由虚功原理知在图示平衡位置时压榨力，由虚功原理知在图示平衡位置时压榨力的大小的大小Q与角与角 的关系为（的关系为（）A、B、C、D、解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个解：这是一个具有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研究对象机构为研究对象,系统自由度为系统自由度为1，选，选 角为广义坐标。依角为广义坐标。依虚功原理有：虚功原理有：如图建坐标系：如图建坐标系：Axy，依约束关

10、系知：依约束关系知：代入（代入（1）式得）式得:（1）选选 C所以在图示平衡位置时压榨力的大小与角所以在图示平衡位置时压榨力的大小与角 的关系为的关系为 补充题补充题4、如图所示，表示一伸缩机构，由光滑铰链联结、如图所示，表示一伸缩机构，由光滑铰链联结的的n个棱形构成，个棱形构成，OA之间用弹簧联系。试求之间用弹簧联系。试求C点受点受P力作用后，力作用后，机构处于平衡时，弹簧中受到多大的力。机构处于平衡时，弹簧中受到多大的力。对对此此问问题题，因因为为O、A、C三三点点(主主动动力力的的作作用用点点)的的直直角角坐坐标标可可用用 角角很很方方便便地地表表示示出出来来，所所以以用用分分析析法法求

11、求解解最最为为方便。建坐标方便。建坐标Ox，则，则 虽虽然然弹弹簧簧力力是是内内力力，但但内内力力作作功功之之和和一一般般不不为为零零，故故应应以以弹弹簧簧力力F来来代代替替弹弹簧簧的的作作用用，则则整整个个系系统统是是在在P与与F力力的的作作用用下下处处于于平平衡衡,如如图图所所示示系系统统自自由由度度为为1，选选 角角为为广广义坐标。义坐标。解解：显然，这是一个具显然，这是一个具有理想约束的质点系的平有理想约束的质点系的平衡问题。以整个机构为研衡问题。以整个机构为研究对象。究对象。代入即可求得代入即可求得 由虚位移原理得：由虚位移原理得：补充题补充题5、五根长度相同的均质柱形链杆，各重、五

12、根长度相同的均质柱形链杆，各重W，与固与固定边定边AB形成正六边形（如图所示）。设在水平杆的中点施形成正六边形（如图所示）。设在水平杆的中点施力力T以维持平衡，试用虚功原理证明以维持平衡，试用虚功原理证明T=3W。证证：如如图图所所示示，建建立立坐坐标标系系o-xy，以以整整个个机机构构为为研研究究对对象象，这这是是一一个个具具有有理理想想约约束束的的质质点点系系的的平平衡衡问问题题。系系统自由度为统自由度为1，选，选y为广义坐标。并以为广义坐标。并以 分分别别表表示示各各杆杆中中点的纵坐标，由图可知：点的纵坐标，由图可知：假想假想C5 点获得一向下的虚位移点获得一向下的虚位移 ,则则C1,C

13、2,C3,C4各点各点的虚位移为：的虚位移为：证毕证毕。由虚功原理得：由虚功原理得：5.5 在离心节速器中，质量为在离心节速器中，质量为m2的质点沿着一竖直轴运动，的质点沿着一竖直轴运动，而整个系统则以匀角速度绕该轴转动，试写出此力学体系的拉而整个系统则以匀角速度绕该轴转动，试写出此力学体系的拉氏函数。设连杆氏函数。设连杆AB、BC、CD、DA等的质量均可不计。等的质量均可不计。质点的相对速度质点的相对速度：质点的牵连速度质点的牵连速度：方向垂直方向垂直xy平面所以质点所以质点B的动能为：的动能为：解解：系统自由度为系统自由度为1 1，选，选 为广义为广义坐标，坐标，如图所示，以如图所示，以A

14、 A为定点，建立为定点，建立动坐标系动坐标系 质点质点B的势能为：的势能为：（以（以A点为零势点）点为零势点）同理可知质点同理可知质点D、C的动能、势能为：的动能、势能为：取微商：取微商：此力学体系的拉氏函数为：此力学体系的拉氏函数为：又解：系统自由度为又解：系统自由度为1 1，选，选 为广义坐标为广义坐标质点质点B B的动能、势能为：的动能、势能为：质点质点C C的动能、势能为：的动能、势能为：此力学体系的拉氏函数为：此力学体系的拉氏函数为：5.6 5.6 使用拉格朗日方程解使用拉格朗日方程解4.104.10题题。质量为质量为m的小环的小环M，套套在半径为在半径为a的光滑圆圈上，并可沿着圆圈

15、滑动，圆圈在水平的光滑圆圈上，并可沿着圆圈滑动，圆圈在水平面内以匀角速面内以匀角速 绕圈上某点绕圈上某点o转动，试求小环沿圆周切线方转动，试求小环沿圆周切线方向的运动微分方程。向的运动微分方程。解法解法1 1：小小环环作平面运作平面运动动，自由度，自由度为为1 1，选选 为为广广义义坐坐标标。取圆圈为势能参考面，取圆圈为势能参考面，则小环势能为零。小环动能为：则小环势能为零。小环动能为：拉氏函数为拉氏函数为：代入拉氏方程：代入拉氏方程：得：得：故小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：故小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：解法解法2 2：小小环环作平面运作平面运动动，自由度，自由度为为1 1，选选

16、 为为广广义义坐坐标标,取取圆圈为零势面，则小环势能为零。圆圈为零势面，则小环势能为零。小环相对速度大小为：小环相对速度大小为：牵连速度大小牵连速度大小：小环绝对速度：小环绝对速度：将小环绝对速度在圆圈的切向和法向投影：将小环绝对速度在圆圈的切向和法向投影：则小环的动能为：则小环的动能为：拉氏函数：拉氏函数：代入拉氏方程：代入拉氏方程：得：得：化简得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：化简得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：解法解法3 3：小小环环作平面运作平面运动动，建立平面极坐，建立平面极坐标标系，自由度系，自由度为为1 1，选选 为为广广义义坐坐标标,取圆圈为零势面，则小环势能为零。取

17、圆圈为零势面，则小环势能为零。设某一时刻，小环设某一时刻，小环M（r,）在如图所示位置：在如图所示位置：小环动能为：小环动能为：拉氏函数为：拉氏函数为：代入拉氏方程：代入拉氏方程：得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：得小环沿圆圈切线方向的运动微分方程为：5.7 试用拉格朗日方程解本章补充例题试用拉格朗日方程解本章补充例题5.35.3（4.84.8）.轴为竖轴为竖直直而而顶顶点向下的抛物点向下的抛物线线形金属形金属丝丝，以匀角速，以匀角速 绕竖绕竖直直轴转动轴转动。另。另有一有一质质量量为为m的小的小环环套在此金属套在此金属丝丝上，并沿金属上，并沿金属丝丝滑滑动动，试试求求小小环环运运动动的微

18、分方程。已知抛物的微分方程。已知抛物线线的方程的方程为为 ，式中，式中a 为为常数，常数，计计算算时时可忽略摩擦阻力。可忽略摩擦阻力。解解：在在 抛抛 物物 线线 金金 属属 丝丝 上上 建建 立立 坐坐 标标 系系 ,系系统统自自由由度度为为1 1，选选x为为广广义义坐坐标标，小小环环相对速度：相对速度：小环牵连速度：小环牵连速度：方向与方向与xy面垂直面垂直小环的动能：小环的动能：由由 得：得：势能：势能：（选（选x轴为零势线）轴为零势线）拉氏函数为：拉氏函数为：代入拉氏方程：代入拉氏方程：故小环运动的微分方程为故小环运动的微分方程为：5.9 设质量为设质量为m的质点，受重力作用，被约束在

19、半顶角为的质点，受重力作用，被约束在半顶角为 的圆锥面内运动，试以的圆锥面内运动，试以 为广义坐标，由拉格朗日方程为广义坐标，由拉格朗日方程求此质点的运动微分方程。求此质点的运动微分方程。解解：取取柱柱坐坐标标系系，如如图图所所示示，则：质点的动能：则：质点的动能：质点的势能：质点的势能：(以以o点为零势点点为零势点)拉氏函数：拉氏函数：选选 为广义坐标，约束关系：为广义坐标，约束关系：则：则：代入拉氏方程得：代入拉氏方程得：质点运动微分方程为质点运动微分方程为：5.105.10试用拉格朗日方程解试用拉格朗日方程解2.42.4题中的题中的(a)及及(b)。质量为质量为m1的质点，沿倾角为的质点

20、，沿倾角为 的光滑直角劈滑下，劈的本身的光滑直角劈滑下，劈的本身质量为质量为m2 2，又可在光滑水平面上自由滑动，试求又可在光滑水平面上自由滑动，试求(a)劈的加速劈的加速度度 ；(b)质点水平方向的加速度质点水平方向的加速度 。解法解法1 1：此力学体系自由度此力学体系自由度为为2 2，选选广广义义坐坐标标：如如图图所示所示。m1的的绝对绝对速度：速度：系系统统的的动动能：能：系系统统的的势势能能：(以以m1初始状态为势能零点初始状态为势能零点)拉氏函数：拉氏函数：代入拉氏方程代入拉氏方程：即：即：两式联立得：两式联立得：劈的加速度劈的加速度为：为：质质点水平方向的加速度：点水平方向的加速度

21、：解法解法2 2：选固定坐标系选固定坐标系 ,如图所示。如图所示。系系统统自由度自由度为为2 2，选选广广义义坐坐标标：（质质点点m1相相对对静系的水平位置）静系的水平位置）(直直角角劈劈m2 2相相对对静静系系的的位位置置，因因为为直直角角劈劈只只做做平平动动，故故C点点的的运运动可代表直角劈的运动动可代表直角劈的运动)直角劈直角劈m2 2的的动动能能为为：质质点点m1的的动动能和能和势势能能为为：约约束方程束方程为为：系统拉氏函数为：系统拉氏函数为：代入拉氏方程：代入拉氏方程：整理得：整理得：+得：得：（3 3）两式两式联联立得：立得：由由以以上上两两解解法法可可知知，应应用用拉拉氏氏方方

22、程程求求解解力力学学体体系系的的动动力力学学问问题题时时，广广义义坐坐标标可可同同时时选选惯惯性性系系量量，也也可可同同时时选选惯惯性性系量和非惯性系量。系量和非惯性系量。5.11 试用拉格朗日方程求试用拉格朗日方程求3.203.20题中的题中的a1和和a2。质量为质量为M，半半径为径为r的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，的均质圆柱体放在粗糙的水平面上，柱的外面绕有轻绳，绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为绳子跨过一个很轻的滑轮，并悬挂一质量为m的物体，设圆柱的物体，设圆柱体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆柱体体只滚不滑，并且圆柱体与滑轮间的绳子是水平的，求圆

23、柱体质心的加速度质心的加速度a1，物体的加速度物体的加速度a2。解解：如如图图建建立立坐坐标标oy，系系统统自自由由度度为为1 1，选选y为为广广义义坐坐标标。物体的动能和势能为：物体的动能和势能为：圆柱体只滚不滑圆柱体只滚不滑：圆柱体的动能圆柱体的动能：A点的速度等于点的速度等于m的速度：的速度：系统拉氏函数为：系统拉氏函数为：代入拉氏方程得：代入拉氏方程得：例例2（5.12）均质杆均质杆AB，质量为质量为m，长为长为2a，其，其A端可端可在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕在光滑水平槽上运动，而棒本身又可在竖直面内绕A端摆动，端摆动，如除重力作用如除重力作用外，外，B端还受有一水平

24、的力端还受有一水平的力F的作用，试用拉的作用，试用拉格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如格朗日方程求其运动微分方程。如摆的角度很小，则又如何何？解解：系系统统自自由由度度为为2 2，如如图图所所示示,选取选取 为广义坐标为广义坐标由科尼希定理知棒的动能为：由科尼希定理知棒的动能为：k为棒绕质心为棒绕质心c转动的回转半径。转动的回转半径。棒质心坐标棒质心坐标：虚功：虚功：所以广义力为：所以广义力为：代入基本形式的拉格朗日方程：代入基本形式的拉格朗日方程：得运动微分方程为：得运动微分方程为：若若 很小，很小，这里：这里：则运动微分方程为：则运动微分方程为：5.13 5.13 行星齿轮

25、机构如图所示，曲柄带动行星齿轮行星齿轮机构如图所示，曲柄带动行星齿轮，在固，在固定齿轮定齿轮上滚动。已知曲柄质量为上滚动。已知曲柄质量为m1 1且可认为是匀质杆。齿且可认为是匀质杆。齿轮轮的质量为的质量为m2 2，半径为半径为r，且可认为是匀质圆盘，至于齿轮且可认为是匀质圆盘，至于齿轮的半径则为的半径则为R，今在曲柄上作用一不变力矩今在曲柄上作用一不变力矩M，如重力作用如重力作用可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动。可以略去不计，试用拉格朗日方程研究此曲柄的运动。解解：系统的自由度为系统的自由度为1 1，选，选为广义坐标。为广义坐标。曲柄的动能：曲柄的动能：齿轮齿轮的动能：的动能：系

26、统的动能：系统的动能：由于重力不计，则：由于重力不计，则：广义力为：广义力为：代入基本形式的拉氏方程：代入基本形式的拉氏方程：得：得：曲柄转动的角加速度为曲柄转动的角加速度为：5.16 半径为半径为r的均质重球，可在一具有水平轴的半径为的均质重球，可在一具有水平轴的半径为R的的固定圆柱的内表面作纯滚动，如图所示，试求重球绕平衡位置固定圆柱的内表面作纯滚动，如图所示，试求重球绕平衡位置作微振动的运动方程及其周期。作微振动的运动方程及其周期。解解：系统自由度系统自由度S=1=1，选广义坐标：选广义坐标：球只滚不滑：球只滚不滑：球的动能：球的动能：球的势能：球的势能：（以通过（以通过0点的水平线为零

27、势线）点的水平线为零势线）拉氏函数拉氏函数：代入拉氏方程：代入拉氏方程：得运动微分方程为：得运动微分方程为：对于微振动对于微振动：振动周期为：振动周期为：补充题补充题:图示质量为图示质量为m的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道中的直杆，可在固定光滑的铅垂滑道中自由滑动，杆的下端搁在质量为自由滑动，杆的下端搁在质量为M的光滑楔块斜面上，楔块倾的光滑楔块斜面上，楔块倾角为角为 ，置于光滑的水平面上。由于杆子自重的压力，楔块沿，置于光滑的水平面上。由于杆子自重的压力，楔块沿水平方向移动，杆子随之垂直下降，试用拉格朗日方程求杆与水平方向移动，杆子随之垂直下降，试用拉格朗日方程求杆与楔块的加速度。楔块的加速度

28、。系统动能为：系统动能为：拉氏函数为：拉氏函数为：解解：系统自由度为系统自由度为1，选广义坐标，选广义坐标：q=y如图所示，有约束关系如图所示，有约束关系：系统势能为系统势能为：选选0点为零势能点点为零势能点代入拉氏方程：代入拉氏方程：得：得：楔块的加速度为：楔块的加速度为：杆下降的加速度为：杆下降的加速度为：拉氏函数为：拉氏函数为：例例4 已知质量为已知质量为m的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定，的摆锤挂在轻弹簧上，弹簧一端固定，如图所示，弹簧原长为如图所示，弹簧原长为l0，劲度系数为劲度系数为k,求此弹簧摆的振动求此弹簧摆的振动方程。方程。解解：取取弹弹簧簧和和摆摆锤锤为为系系统统，自自由由

29、度度为为2 2，选选r，为广义坐标为广义坐标,系统的动能为系统的动能为 系统的势能为系统的势能为弹簧摆弹簧摆 拉氏函数为拉氏函数为拉氏函数为拉氏函数为代入拉氏方程代入拉氏方程：得到系统的运动微分方程为得到系统的运动微分方程为 这这是是非非线线性性方方程程组组，需需在在计计算算机机上上作作数数值值计计算算，在在一一定定的的初初始始条条件件下下，摆摆锤锤的的轨轨迹迹如如右右图所示。图所示。如如果果系系统统做做小小振振动动，可可进进行行近近似似计计算算，将将非非线线性性方方程程化化为为线性方程。线性方程。弹簧摆的轨迹弹簧摆的轨迹 补充题补充题:如图所示，升降机上有一摆长为如图所示，升降机上有一摆长为

30、l的单摆，升的单摆，升降机以匀加速度降机以匀加速度a上升，且初速为零，使用分析力学方法确上升，且初速为零，使用分析力学方法确定单摆的运动微分方程。定单摆的运动微分方程。解解：系统自由度为系统自由度为1，选单摆摆角，选单摆摆角 为为广义坐标广义坐标摆锤的相对速度的大小：摆锤的相对速度的大小：牵连速度的大小：牵连速度的大小：绝对速度的平方：（由余弦定理得）绝对速度的平方：（由余弦定理得）单摆的动能为：单摆的动能为：单摆的势能为：以初始位置时（单摆的势能为：以初始位置时（t=0）的）的o点为零势点点为零势点系统的拉氏函数为：系统的拉氏函数为：代入拉氏方程：代入拉氏方程：得：得：则单摆运动微分方程为：

31、则单摆运动微分方程为：由以上例题可看出由以上例题可看出：1、拉氏方程不仅适用于稳定约束，也适用、拉氏方程不仅适用于稳定约束，也适用于不稳定约束。于不稳定约束。2、应用拉氏方程时，广义坐标可选线量，、应用拉氏方程时，广义坐标可选线量，也可同时选角量。也可同时选角量。3、应用拉氏方程时，广义坐标可选惯性系、应用拉氏方程时，广义坐标可选惯性系量，也可同时选非惯性系量。量，也可同时选非惯性系量。补充题补充题:写出单摆摆动时的哈密顿函数写出单摆摆动时的哈密顿函数H，并讨论其物理意并讨论其物理意义。义。解解：系统自由度为系统自由度为1，选广义坐标，选广义坐标：势能为：（以势能为：（以o为零势点）为零势点）

32、拉氏函数为：拉氏函数为：质点的动能为：质点的动能为：H=T+V=E 哈密顿函数即为单摆的总机械能。哈密顿函数即为单摆的总机械能。将将 的表达式代入（的表达式代入（1）式得哈密顿函数为：）式得哈密顿函数为：（1）例例1 质点在万有引力场中运动，对应平面极坐标，质点在万有引力场中运动，对应平面极坐标，写出它的哈密顿函数。写出它的哈密顿函数。解解：质点在万有引力场中运动，其拉氏函数为：质点在万有引力场中运动，其拉氏函数为：广义动量：广义动量：广义能量：广义能量：将将 代入上式得哈密顿函数为：代入上式得哈密顿函数为：我我们们看看到到：h就就是是总总机机械械能能，但但它它不不是是哈哈密密顿顿函函数数，因

33、因为其中含有广义速度，而不是广义动量。为其中含有广义速度，而不是广义动量。例例2 写出质点在万有引力场中运动的哈密顿正则方程及其写出质点在万有引力场中运动的哈密顿正则方程及其首次积分。首次积分。解解：由例由例1知体系的哈密顿函数为：知体系的哈密顿函数为：将将H代入哈密顿正则方程：代入哈密顿正则方程：得其正则方程为：得其正则方程为：因因H中不显含中不显含 ，所以有循环积分：，所以有循环积分：=常数，常数，即质点的角动量守恒。即质点的角动量守恒。又因又因H中不显含时间中不显含时间t，有广义能量积分：有广义能量积分：H=h（常数），常数），即：即：故质点在万有引力场中运动时，机械能守恒。故质点在万有引力场中运动时，机械能守恒。（总机械能）（总机械能）