三垂线定理和逆定理.ppt

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1、aAPo复习：复习：什么叫平面的什么叫平面的斜线、垂线、射影斜线、垂线、射影？如果如果a ,aAO，思考思考a与与PO的位置关的位置关系如何？系如何？aAPo PO是平面是平面的斜线的斜线,O为斜足为斜足;PA是平面是平面的垂线的垂线,A为垂足为垂足;AO是是PO在平面在平面内的射内的射影影.三垂线定理三垂线定理三垂线定理三垂线定理性质性质判定定理判定定理性质性质线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直线面垂直线面垂直线线垂直线线垂直PO 平面PAOaPO 三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的在平面内的一条直线，如果和这个

2、平面的一条斜线的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。PAa PAaAOaa平面PAOP Pa aA Ao o PAOa三垂线定理包含几种垂直关系？三垂线定理包含几种垂直关系？线射垂直线射垂直PAOa线面垂直线面垂直 线斜垂直线斜垂直PAOa直直 线线 和和平平面面垂直垂直平面内的直平面内的直线线和平面一条斜和平面一条斜线的线的射射影垂直影垂直平面内的直平面内的直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线垂直线垂直 三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，

3、如果和这个平面的一条斜线的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直 直线a 在一定要在平面内，如果 a 不在平面内，定理就不一定成立。PAOa例如：当 b 时，bOA 如果将定理“在平面内”的条件去掉，结论仍然成立吗？b但 b不垂直于OP 1 1、三垂线定理描述的是、三垂线定理描述的是PO(PO(斜线斜线)、AO(AO(射影射影)、

4、a a(直线直线)之之间的垂直关系。间的垂直关系。2 2、a a与与POPO可以相交，也可以异面。可以相交，也可以异面。3 3、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内、三垂线定理的实质是平面的一条斜线和平面内的一条直线垂直的判定定理。的一条直线垂直的判定定理。说明：说明：例例1 直接利用三垂线定理证明下列各题：直接利用三垂线定理证明下列各题：(1)已知：已知：PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点的中点 求证：求证：POBD，PCBD(3)已知：已知：在正方体在正方体AC1中，求证：中，求证：A1CB1D1，A1CBC1(2)已知：已知：PA平面平面PBC，

5、PB=PC，M是是BC的中点，的中点，求证：求证：BCAMA D C B A1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD(1)PA正方形正方形ABCD所在平面，所在平面，O为对角线为对角线BD的中点，的中点，求证：求证：POBD，PCBDPOABCD证明证明:ABCD为正方形为正方形 O为为BD的中点的中点 AOBD 同理，同理，ACACBD ACAC是是PCPC在在ABCDABCD上的射影上的射影 PCBDPOBDAOAO是是POPO在在平面平面ABCD上的射影上的射影PA平面平面ABCDBD 平面平面ABCD又PMCAB(2)已知：已知：PA平面平面PBC，PB=PC，M是是BC

6、的中点，的中点，求证：求证：BCAM证明证明:PM BCBCAMPM是是AM在平面在平面PBC上的射影上的射影PA平面平面PBCPB=PCM是是BC的中点的中点BC 平面平面PBC又(3)在正方体在正方体AC1中，中，求证：求证：A1CBC1，A1CB1D1 在正方体在正方体AC1中中 A1B1面面BCC1B1且且BC1 B1C B1C是是A1C在面在面BCC1B1上的射影上的射影 C B A1B1 C1A D D1证明：证明：C B A1B1 C1A D D1同理可证，同理可证，A1CB1D1由三垂线定理知由三垂线定理知 A1CBC1 PMCABPAOaA1 C1 C B B1OAaP 我们

7、要学会从纷繁的已知条件中找出，或者创造出符我们要学会从纷繁的已知条件中找出，或者创造出符合三垂线定理的条件合三垂线定理的条件解解题题回回顾顾三垂线定理解题的关键：三垂线定理解题的关键：找三垂！找三垂！怎么找？怎么找？一找直线和平面垂直一找直线和平面垂直二找平面的斜线在平面二找平面的斜线在平面 内的射影和平面内的内的射影和平面内的 一条直线垂直一条直线垂直注意：注意：由一垂、二垂直接得出第三垂，并不是三垂由一垂、二垂直接得出第三垂，并不是三垂 都作为已知条件都作为已知条件解解题题回回顾顾PAOa线射垂直线射垂直线斜垂直线斜垂直PAOaPAOa平面内的一条直平面内的一条直线线和和平面的一条斜线在平

8、平面的一条斜线在平面内的面内的射射影影垂直垂直平面内的一条直平面内的一条直线线和平面的一条和平面的一条斜斜线线垂直垂直三垂线定理的逆定理：三垂线定理的逆定理：？在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它也和这条斜线的射影垂直。直，那么它也和这条斜线的射影垂直。PAOa 已知：已知：PA，PO分分别是平面别是平面 的垂线和斜的垂线和斜线，线，AO是是PO在平面在平面 的射影的射影,a ,a PO求证：求证：a AO三垂线定理的逆定理三垂线定理的逆定理例例2 如果一个角所在平面外一点到角的两边距离相等，如果一个角所在平面外一点到角的两边距

9、离相等，那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。那么这一点在平面上的射影在这个角的平分线上。已知：已知：BAC在平面在平面 内，点内，点P，PEAB，PFAC，PO ，垂足分别是垂足分别是E、F、O，PE=PF求证：求证：BAO=CAO分析：分析：要证要证 BAO=CAO只须证只须证OE=OF,OEAB,OFACP C B A O F E?证明：证明：PO OE、OF是是PE、PF在在 内的射影内的射影 PE=PF OE=OF由由OEOE是是PEPE的射影且的射影且PEAB得得 OEAB同理可得同理可得OFAC结结论论成成立立 三垂线定理：三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线线的的射射影影垂直垂直，那么它也和这条，那么它也和这条斜线斜线垂直。垂直。小小 结结 三垂线逆定理：三垂线逆定理：在平面内的一条直在平面内的一条直线线，如果和这个平面的一条，如果和这个平面的一条斜斜线线垂直垂直，那么它也和这条斜线的，那么它也和这条斜线的射影射影垂直。垂直。33操作程序分三个步骤操作程序分三个步骤“一垂二射三证一垂二射三证”11定理中四条线均针对同一平面而言定理中四条线均针对同一平面而言22应用定理关键是找应用定理关键是找“基准面基准面”这个参照这个参照系系