图像复原第二次课.ppt

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1、图像的无约束恢复图像的无约束恢复第1页 在在这这一一节节我我们们要要利利用用线线性性代代数数的的方方法法，根根据据退退化化模模型型 ，在在假假定定具具备备关关于于g g、H H和和n n的的某某些些知知识识的的情情况况下下，寻寻求求估估计计原原图图像像f f的的某某些些方方法法。这这种种方方法法应应在在预预先选定的最佳准则下，具有最优的性质。先选定的最佳准则下，具有最优的性质。n我们将集中讨论在我们将集中讨论在均方误差最小均方误差最小意义下，原图意义下，原图像像f f的最佳估计，因为它是各种可能准则中最的最佳估计，因为它是各种可能准则中最简单易行的（其他准则例如：图像简单易行的（其他准则例如：

2、图像g g和原图像和原图像f f的最大绝对误差的最大绝对误差max|f-g|max|f-g|最小；平均绝对误差最小；平均绝对误差 最小；最小；f f和和g g互相关为最大等等）。互相关为最大等等）。n由由退退化化模模型型g=Hf+ng=Hf+n，其其中中f,gf,g为为堆堆叠叠向向量量。如如果果关关于于n n我我们们一一无无所所知知，那那么么我我们们寻寻找找f f的的一一个个估估计计值值 ，使使 在在最最小小二二乘乘意意义义上上近近似似于于g g。在在无无约约束束条条件件下下，就就是是n n无无条条件件的的小小。这这一一问问题题等效地看为求准则函数：等效地看为求准则函数：为最小为最小（注注：若

3、若a(x),b(x)a(x),b(x)为m m维列列向向量量，X X为n n维列列向量，那么：向量，那么：注注：）那么：那么：若若H H已知，则可根据上式求出已知，则可根据上式求出 。n可可以以证证明明，对对 两两边边分分别别取取傅傅立立叶叶变变换换，可可以得出：以得出：这这就就是是逆逆滤滤波波法法。所所以以逆逆滤滤波波法法是是无无约约束束最最小小二二乘法的频域解。乘法的频域解。对对 取傅立叶反变换取傅立叶反变换，就可求出恢复后的图像。，就可求出恢复后的图像。n（根据图像退化模型：（根据图像退化模型：两边取傅立叶变换两边取傅立叶变换,有有由此可得：由此可得：在噪声未知和不可分离的情况下，可近似

4、取在噪声未知和不可分离的情况下，可近似取 )n对对 ，若若H(u,v)H(u,v)在在uvuv平平面面上上取取零零或或很很小小，就会带来计算上的困难。就会带来计算上的困难。n另一方面，噪声还会带来更严重的问题。另一方面，噪声还会带来更严重的问题。n若若 H(u,v)H(u,v)在在 uvuv平平 面面 上上 取取 零零 或或 很很 小小，N(u,v)/H(u,v)N(u,v)/H(u,v)就就会会使使恢恢复复结结果果与与原原图图像像有有较较大大的的差差距距。实实际际中中，H(u,v)H(u,v)随随u u，v v与与原原点点距距离离的的增增加加而而迅迅速速减减小小，而而噪噪声声N(u,v)N(

5、u,v)却却一一般般变变化化缓缓慢慢。在在这这种种情情况况下下，恢恢复复只只能能在在与与原原点点较较近近（接接近近频频域域中中心心）的的范范围围内内进进行行。即即H(u,v)H(u,v)具具有低通滤波的性质：有低通滤波的性质：n换换句句话话说说，一一般般情情况况下下，逆逆滤滤波波器器并并不不正正好好是是1/H(u,v)1/H(u,v)，而而是是u u和和v v的的某某个个函函数数，可可记记为为P(u,v)P(u,v)。P(u,v)P(u,v)常称为常称为恢复转移函数恢复转移函数。使用逆滤波法时的注意事项：使用逆滤波法时的注意事项：使用逆滤波法时的注意事项：使用逆滤波法时的注意事项：（1 1 1

6、 1）在）在）在）在 H(u,vH(u,vH(u,vH(u,v)=0)=0)=0)=0 的点不做计算，即的点不做计算，即的点不做计算，即的点不做计算，即（2 2 2 2）当）当）当）当H(u,vH(u,vH(u,vH(u,v)非常小时，非常小时，非常小时，非常小时，N(u,v)/H(u,vN(u,v)/H(u,vN(u,v)/H(u,vN(u,v)/H(u,v)对复原结果起主导作用，而多数对复原结果起主导作用，而多数对复原结果起主导作用，而多数对复原结果起主导作用，而多数实际应用系统中，实际应用系统中，实际应用系统中，实际应用系统中，|H(u,vH(u,vH(u,vH(u,v)|)|)|)|离

7、开原点衰减很快，故复原应局限于离原点离开原点衰减很快，故复原应局限于离原点离开原点衰减很快，故复原应局限于离原点离开原点衰减很快，故复原应局限于离原点不太远的有限区域进行。不太远的有限区域进行。不太远的有限区域进行。不太远的有限区域进行。（3 3 3 3）为避免振铃影响，为避免振铃影响，为避免振铃影响，为避免振铃影响，一种改进的方法是取恢复的一种改进的方法是取恢复的一种改进的方法是取恢复的一种改进的方法是取恢复的反向滤波器反向滤波器反向滤波器反向滤波器P(u,vP(u,vP(u,vP(u,v)为为为为:其中其中其中其中k k k k和和和和d d d d均为小于均为小于均为小于均为小于1 1

8、1 1的常数，且的常数，且的常数，且的常数，且d d d d选得较小为好。选得较小为好。选得较小为好。选得较小为好。5.3 5.3 图像的无约束恢复图像的无约束恢复-反向滤波法反向滤波法H H1 1(u,v)(u,v)表示理想低通滤波器表示理想低通滤波器,缺点是会出现振铃效应。缺点是会出现振铃效应。5.3 5.3 图像的无约束恢复图像的无约束恢复-反向滤波法反向滤波法（a）（d）（c）（b）图图图图5.3.1 5.3.1 5.3.1 5.3.1 不同滤波半径下反向滤波的结果比较不同滤波半径下反向滤波的结果比较不同滤波半径下反向滤波的结果比较不同滤波半径下反向滤波的结果比较（a a）直接由反向滤

9、波恢复的图像；）直接由反向滤波恢复的图像；（b b）、（）、（c c）、（）、（d d）分别为半径）分别为半径3030、5050、7070的的二阶二阶ButterworthButterworth滤波器（代替理想低通滤波器）作用后的结果。滤波器（代替理想低通滤波器）作用后的结果。可以看到，逆滤波的结果还是不能令人满可以看到，逆滤波的结果还是不能令人满意。意。3.3.有约束恢复方法有约束恢复方法 恢复问题的病态性与奇异性恢复问题的病态性与奇异性 由由退退化化模模型型 可可知知，影影响响图图像像恢恢复复的的因因素素包包括括噪噪声声干干扰扰n n，成成像像系系统统的的传传递递函函数数H,H,后后者者包

10、包含含了了图图像像传传感感器器中中光光学学和和电电子子学学的的影影响响。先先抛抛开开噪噪声声，要要恢恢复复原原图图像像f f，需要对矩阵需要对矩阵H H求逆，即：求逆，即：数数学学上上要要求求这这个个逆逆阵阵存存在在并并且且唯唯一一。如如果果H H1 1不不存存在在，但还存在和但还存在和f f十分近似的解，这称为恢复问题的十分近似的解，这称为恢复问题的奇异性奇异性。事事实实上上，由由于于在在模模糊糊图图像像上上存存在在非非常常小小的的扰扰动动时时，在在恢恢复复结结果果的的图图像像中中，都都会会产产生生不不可可忽忽视视的的强强扰扰动动。用用公式表示为：公式表示为：为为任任意意小小的的扰扰动动，。

11、无无论论是是成成像像系系统统还还是是数数字字化化器器，对对采采集集到到的的图图像像产产生生一一些些扰扰动动，几几乎乎是是不不可可避避免免的的。这这就就是是恢恢复复问问题题的的病病态态性性。至至于于噪噪声声，由由于于其其随随机机性性，造造成成模模糊糊图图像像g g有有无无限限的的可可能能情情况况，也也导导致致了恢复问题的病态性。了恢复问题的病态性。为为克克服服恢恢复复问问题题的的病病态态性性质质，常常常常需需要要在在恢恢复复过过程程中中对对运运算算施施加加某某种种约约束束，从从而而在在一一族族可可能能结果中选择一种，这就是结果中选择一种，这就是有约束的恢复有约束的恢复。有约束的最小二乘方复原有约

12、束的最小二乘方复原能量约束恢复能量约束恢复平滑约束恢复平滑约束恢复均方误差最小滤波（维纳滤波）均方误差最小滤波（维纳滤波）约束复原方法约束复原方法nn处理理过程程拉各朗拉各朗日系数日系数=1/维纳滤波复原法维纳滤波复原法n图像恢复准像恢复准则：f(x,y)和和的之的之间的均方的均方误差差e2达到达到最小，即最小，即nn寻找点找点扩散函数散函数hw(x,y)，使得，使得最小二乘方滤波最小二乘方滤波n由由Andrews和和Hunt推推导满足足这一要求的一要求的传递函数函数为：S Sf f(u,v):(u,v):为为为为 fx,yfx,y的功率普，的功率普，的功率普，的功率普，S Sh h h h(

13、u,v)(u,v)为为为为 nx,y nx,y的功率普的功率普的功率普的功率普讨论一下上式的几种情况讨论一下上式的几种情况（1）如果）如果s=1，方括号中的项就是维纳滤波器方括号中的项就是维纳滤波器（2）如果）如果s是变量，就称为参数维纳滤波器是变量，就称为参数维纳滤波器（3）当没有噪声时，）当没有噪声时，Sn(u,v)=0，维纳滤波器就退维纳滤波器就退化为理想的逆滤波器化为理想的逆滤波器（4）当）当Sn(u,v)和和Sf(u,v)未知时，用常数未知时，用常数K可代替可代替因此必须调节因此必须调节s以满足以满足f=(Hf=(HT TH+H+s sQQT TQ)Q)11HHT Tg guu结果分

14、析结果分析结果分析结果分析（1 1 1 1）=1=1=1=1时，时，时，时，该滤波器称为标准维纳滤波器，该滤波器称为标准维纳滤波器，该滤波器称为标准维纳滤波器，该滤波器称为标准维纳滤波器，但不能说可以利用上式在约束但不能说可以利用上式在约束但不能说可以利用上式在约束但不能说可以利用上式在约束条件下得到最佳估计；条件下得到最佳估计；条件下得到最佳估计；条件下得到最佳估计；=变量时，称为变参数维纳滤波器。变量时，称为变参数维纳滤波器。变量时，称为变参数维纳滤波器。变量时，称为变参数维纳滤波器。（2 2 2 2）无噪声时，即）无噪声时，即）无噪声时，即）无噪声时，即 ，即变为逆滤波器，即，即变为逆滤

15、波器，即，即变为逆滤波器，即，即变为逆滤波器，即 因此，反向滤波器可看作是维纳滤波器的一种特殊情况。因此，反向滤波器可看作是维纳滤波器的一种特殊情况。因此，反向滤波器可看作是维纳滤波器的一种特殊情况。因此，反向滤波器可看作是维纳滤波器的一种特殊情况。（3 3 3 3）在有噪声存在的情况下，相比于反向滤波器来说，维纳滤波器中由于存）在有噪声存在的情况下，相比于反向滤波器来说，维纳滤波器中由于存）在有噪声存在的情况下，相比于反向滤波器来说，维纳滤波器中由于存）在有噪声存在的情况下，相比于反向滤波器来说，维纳滤波器中由于存在在在在 项，会对噪声的放大具有自动抑制作用，同时也不会项，会对噪声的放大具有

16、自动抑制作用，同时也不会项，会对噪声的放大具有自动抑制作用，同时也不会项，会对噪声的放大具有自动抑制作用，同时也不会在在在在H(u,v)H(u,v)H(u,v)H(u,v)为为为为0 0 0 0时出现被时出现被时出现被时出现被0 0 0 0除的情形。除的情形。除的情形。除的情形。5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二乘恢复（4)4)4)4)在实际应用中，在实际应用中，在实际应用中，在实际应用中，和和和和 经常是未知的，但可用一常数经常是未知的，但可用一常数经常是未知的，但可用一常数经常是未知的，但可用一常数k k k k来表来表来表来表示噪声和信号的功率谱密度比，则：示噪声

17、和信号的功率谱密度比，则：示噪声和信号的功率谱密度比，则：示噪声和信号的功率谱密度比，则：5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二乘恢复 该式可以使退化图像得到一定程度的恢复，但不一定是该式可以使退化图像得到一定程度的恢复，但不一定是最佳恢复。实际应用中，最佳恢复。实际应用中，k k可通过已知的信噪比来获得。可通过已知的信噪比来获得。维纳滤波复原法维纳滤波复原法采用维纳滤波器的复原过程步骤如下：采用维纳滤波器的复原过程步骤如下：(1)计计算算图图像像g（x,y）的的二二维维离离散散傅傅立立叶叶变变换换得到得到G(u,v)。(2)计计算算点点扩扩散散函函数数hw(x,y)的的二

18、二维维离离散散傅傅立立叶叶变变换换。同同逆逆滤滤波波一一样样，为为了了避避免免混混叠叠效效应应引引起起的误差，应将尺寸延拓。的误差，应将尺寸延拓。(3)估估算算图图像像的的功功率率谱谱密密度度Pf和和噪噪声声的的谱谱密密度度Pn。(4)计算图像的估计值计算图像的估计值。(5)计算计算 的逆付氏变换，得到恢复后的逆付氏变换，得到恢复后的图像的图像 。5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二乘恢复 (a)(b)(c)(d)(e)(f)(g)(h)(i)（a a）被高斯噪声污染的图）被高斯噪声污染的图像；像；（b b）逆滤波恢复图像；）逆滤波恢复图像；（c c）维纳滤波恢复的图像；

19、）维纳滤波恢复的图像；（d d）（f f）为相应的由噪）为相应的由噪声方差比（声方差比（a a）小）小1 1个数量个数量级的降质图像得到的结果；级的降质图像得到的结果；（g g）（i i）为相应的噪声）为相应的噪声方差小方差小5 5个数量级的图像得个数量级的图像得到的结果。到的结果。图图5.4.1 5.4.1 维纳滤波法和反向滤维纳滤波法和反向滤波法恢复图像的效果比较波法恢复图像的效果比较 由于反向滤波器的病态性质，会导致在由于反向滤波器的病态性质，会导致在由于反向滤波器的病态性质，会导致在由于反向滤波器的病态性质，会导致在H(u,v)H(u,v)H(u,v)H(u,v)的零值附近恢复滤波器的

20、零值附近恢复滤波器的零值附近恢复滤波器的零值附近恢复滤波器 的数值变化剧烈，使恢复后的图像产生多余的噪声和虚假边的数值变化剧烈，使恢复后的图像产生多余的噪声和虚假边的数值变化剧烈，使恢复后的图像产生多余的噪声和虚假边的数值变化剧烈，使恢复后的图像产生多余的噪声和虚假边缘。而这些噪声的强弱和虚假边缘的多少可用图像的二阶导数来表示。通缘。而这些噪声的强弱和虚假边缘的多少可用图像的二阶导数来表示。通缘。而这些噪声的强弱和虚假边缘的多少可用图像的二阶导数来表示。通缘。而这些噪声的强弱和虚假边缘的多少可用图像的二阶导数来表示。通过选择合理的过选择合理的过选择合理的过选择合理的Q Q Q Q，并对，并对，

21、并对，并对 进行优化，可将这些噪声和虚假边缘降至最进行优化，可将这些噪声和虚假边缘降至最进行优化，可将这些噪声和虚假边缘降至最进行优化，可将这些噪声和虚假边缘降至最小，也就是让该二阶导数降为最小，即使小，也就是让该二阶导数降为最小，即使小，也就是让该二阶导数降为最小，即使小，也就是让该二阶导数降为最小，即使称为称为LaplacianLaplacian算子。算子。在离散情况下，在离散情况下，可用下面的差可用下面的差分运算来实现分运算来实现 约束最小平方滤波法约束最小平方滤波法5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二乘恢复上述运算可用上述运算可用f(m,n)f(m,n)与下面的模

22、板（掩模矩阵）进行卷积来求解。与下面的模板（掩模矩阵）进行卷积来求解。在离散卷积的过程中，为避免交叠误差，可将在离散卷积的过程中，为避免交叠误差，可将p(m,n)延拓为延拓为pe(m,n)再卷积。再卷积。若若f(m,n)f(m,n)的大小为的大小为 ,则延拓后的则延拓后的M M、N N应为应为:5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二乘恢复可以写成分块循环矩阵：可以写成分块循环矩阵：C C中的任一元素中的任一元素C Cj j是由是由p pe e(m,n)(m,n)的第的第j j行组成的行组成的 循环矩阵，即循环矩阵，即5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二

23、乘恢复令令Q=C,Q=C,则有约束恢复的结果就变为则有约束恢复的结果就变为则有约束恢复的结果就变为则有约束恢复的结果就变为:同样可用同样可用W W矩阵使矩阵使C C对角化，即对角化，即:式中式中P(u,v)P(u,v)是是p pe e(m,n)(m,n)的傅立叶变换。则恢复结果变为：的傅立叶变换。则恢复结果变为：（5.4.235.4.235.4.235.4.23）（5.4.265.4.265.4.265.4.26）5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二乘恢复上式中的各元素可写成如下形式（设上式中的各元素可写成如下形式（设M=N）：）：该滤波器就称为约束最小平方滤波器该滤波器

24、就称为约束最小平方滤波器 。（5.4.265.4.265.4.265.4.26）约束最小平方滤波法与约束最小平方滤波法与约束最小平方滤波法与约束最小平方滤波法与维纳滤波法比较维纳滤波法比较它与维纳滤波法相同的是，两者都属于约束恢复，它与维纳滤波法相同的是，两者都属于约束恢复，频域的恢复公式类似，但也有本质区别。用约束最小平频域的恢复公式类似，但也有本质区别。用约束最小平方滤波器恢复图像时，不需要知道图像和噪声的自相关方滤波器恢复图像时，不需要知道图像和噪声的自相关矩阵矩阵Rf和和Rn。约束最小平方滤波法的恢复效果如下图约束最小平方滤波法的恢复效果如下图5.4.25.4.2所示，所示，将其与维纳

25、滤波恢复法的结果相比较，可以看出，带有平将其与维纳滤波恢复法的结果相比较，可以看出，带有平滑约束的恢复法能得到更加符合人眼视觉效果的平滑图像，滑约束的恢复法能得到更加符合人眼视觉效果的平滑图像，并且在噪声较大的情况下比维纳滤波法的效果明显要好。并且在噪声较大的情况下比维纳滤波法的效果明显要好。5.4 5.4 图像的有约束最小二乘恢复图像的有约束最小二乘恢复（a）、（）、（b）和（）和（c）是分别由图）是分别由图5.4.1中（中（a）、（）、（d）和（）和（g）得到的约束最小平方滤波结果，）得到的约束最小平方滤波结果，与维纳滤波法恢复结果（与维纳滤波法恢复结果（d,e,f）比较。）比较。（a a

26、 a a）（d d d d）（f f f f）（c c c c）（e e e e）（b b b b）5.5 5.5 几何畸变图形的恢复几何畸变图形的恢复（c）（b）（a）u几何失真举例几何失真举例（d）图图图图5.5.1 5.5.1 5.5.1 5.5.1 几何失真举例几何失真举例几何失真举例几何失真举例（a a）原图像；（）原图像；（b b）比例变换（缩小）；（）比例变换（缩小）；（c c）旋转；（）旋转；（d d）扭曲。）扭曲。5.5图像的几何校正图像的几何校正n例：从太空中宇航器拍摄的地球上的等距平行线，图像会变为歪斜或不等距；用光学和电子扫描仪摄取的图像常会有桶形畸变和枕形畸变；用普通

27、的光学摄影与测试雷达拍摄的同一地区的景物二者在几何形状上有较大的差异。n以一副图像为基准，去校正另一种方式摄入的图像，以校正其几何畸变，就叫做图像的几何畸变复原或者几何畸变校正。n几何校正就是一种几何变换，是图像的几何畸变的反运算，与几何变换类似，几何校正是由输出图像像素坐标反算输入图像坐标，然后通过灰度再采样求出输出像素灰度值。n图像几何校正的两个步骤 (1)空间变换：对图像平面上的像素进行重新排列以 恢复原空间关系 (2)灰度插值：对空间变换后的像素赋予相应的灰度 值以恢复原位置的灰度值5.5图像的几何校正图像的几何校正几何畸变几何畸变的描述的描述几何基准图像的坐标系统用(x,y)来表示需

28、要校正的图像的坐标系统用(x,y)表示设两个图像坐标系统之间的关系用解析式表示通常h1(x,y)和h2(x,y)用多项式来表示：n通常用线性畸变来近似较小的几何畸变n更精确一些可以用二次型来近似n若基准图像为f(x,y)，畸变图像为g(x,y)，对于景物上的同一个点，假定其灰度不变，则5.5.2几何校正几何校正5.5.2几何校正几何校正n几何变换 通常用已知的多对对应点来确定系数a,b线性畸变 可由基准图找出三个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)与畸变图像上三 个点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)一一对应。5.5.2几何校正几何校正将对应点代入，有：解联立方程组，得

29、出6个系数。二次畸变有12个未知量，需要6对已知对应点5.5.2 几何校正5.5.2几何校正几何校正代入上式记作矩阵形式同样有解方程组，得到ai，bi 12个系数。f(x,y)g(x,y)5.5.2 几何校正n内插法确定像素的灰度值 几何变换是由输出图像像素坐标反算出输入图像坐标，但该坐标并非整数，需要进行灰度再采样。例：最近邻插值 双线性插值Nearest Neighbor Bilinearn再采样是通过灰度插值来完成的5.5.2 几何校正(i-1,j-1)(i-1,j+2)(i+2,j-1)(i+2,j+2)(x,y)uv3三次内插法 该方法利用三次多项式S(x)来逼近理论上的最佳插值函数sin(x)/x。其数学表达式为：其中其中A=s(1+v)s(v)s(1-v)s(2-v)c=s(1+u)s(u)s(1-u)s(2-u)T该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。该算法计算量最大，但内插效果最好，精度最高。待求像素待求像素(x,y)的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权的灰度值由其周围十六个点的灰度值加权内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下：内插得到。可推导出待求像素的灰度计算式如下：f(x,y)=)=A B C原始影像灰度表面原始影像灰度表面最近邻内插法最近邻内插法双线性内插法双线性内插法 三次内插法三次内插法像素灰度内插法效果比较像素灰度内插法效果比较