讲课2线段垂直平分线性质.ppt

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1、1.1.理解理解线段垂直平分线的性质和判定线段垂直平分线的性质和判定.2.2.会应用线段垂直平分线的性质和判定解题会应用线段垂直平分线的性质和判定解题.3.3.作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的作出轴对称图形的对称轴，即线段垂直平分线的尺规作图尺规作图.如果一个平面图形沿一条直线如果一个平面图形沿一条直线 .直直线两旁的部分能够线两旁的部分能够 ，这个图形，这个图形就叫做轴对称图形就叫做轴对称图形.折痕所在的这条直线折痕所在的这条直线叫做叫做_._.对称轴对称轴折叠折叠互相重合互相重合忆一忆忆一忆把一个图形沿着某一条直线把一个图形沿着某一条直线_,如如果它能够果它能够_,那么那么就说这

2、两个图形关于这条直线（成轴）就说这两个图形关于这条直线（成轴）对称对称,这条直线叫做对称轴这条直线叫做对称轴,折叠后重折叠后重合的点是对应点合的点是对应点,叫做叫做_.折叠折叠与另一个图形重合与另一个图形重合对称点对称点AB如图，甲在如图，甲在A处，乙在处，乙在B处，甲、乙两人做抢处，甲、乙两人做抢礼物的游戏，礼物放在何处游戏才公平？礼物的游戏，礼物放在何处游戏才公平？线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线的性质：定理：定理：线线段垂直平分段垂直平分线线上的点到上的点到线线段两个端段两个端点的距离相等点的距离相等 已知：如已知：如图图，AC=BC，直直线线PC AB，P是是MN上的点上的点求求证

3、证：PA=PBNAPBCM看课本61页探究画线段画线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线l，在，在l上任意取点上任意取点P P，量一量点量一量点P P到到A A与与B B的距离的距离.你有什么发现？再取几个点试试你有什么发现？再取几个点试试.你能说明理由吗？你能说明理由吗？P PA AB B发现：发现：P P到到A A的距离与的距离与P P到到B B的距离相等的距离相等.C已知已知:如图如图.AC=BC.PCAB,P是是MN上任意一点上任意一点.求证求证:PA=PB.PCAPCB(SAS)PA=PB(全等三角形的对应边相等全等三角形的对应边相等)证明：证明：MNAB，PCA=PCB=90在在AP

4、C与与BPC中中:PC=PC（公共边公共边）PCA=PCB（已证已证）AC=BC（已知已知）反过来反过来,若若AP=BPAP=BP，则，则P P在线段在线段ABAB的垂直平分线上的垂直平分线上.结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条结论：与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上线段的垂直平分线上.线段垂直平分线上的点到这条线段线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等两个端点距离相等.定理定理ACBPMN几何语言：几何语言：PA=PBPA=PB(线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点距离相等)已知：已知：线线段段AB，点，

5、点P是平面内一点且是平面内一点且PA=PB求求证证：P点在点在AB的垂直平分的垂直平分线线上上CBPA 定理：定理：与一条线段两个端点的距离相等的点与一条线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线的判定线段垂直平分线的判定几何语言：几何语言：PA=PB 点点P P在线段的在线段的垂直平分线上垂直平分线上 AB已知：已知：两点两点A A、B B，和点，和点A A、B B的距离相等的点应在什么位置？的距离相等的点应在什么位置？性质定理：在线段垂直平分线上性质定理：在线段垂直平分线上的点到线段两个端点距离都相等的点到线段两个端点距离都相等.逆定理：与线段

6、两个端点距离相逆定理：与线段两个端点距离相等的点都在线段的垂直平分线上等的点都在线段的垂直平分线上.线段垂直平分线可以看作是线段垂直平分线可以看作是与线段两与线段两个端点距离相等个端点距离相等的所有点的集合的所有点的集合.作用：作用：常用于证明线段相等常用于证明线段相等 角角的平分线的平分线ODEABPC定理定理1 在角的平分线上的点到这个在角的平分线上的点到这个角的两边的角的两边的距离相等距离相等。定理定理2 到一个角的两边的到一个角的两边的距离相等距离相等的点，在这个角的平分线上。的点，在这个角的平分线上。角的平分线是到角的角的平分线是到角的两边两边距离距离相等相等的所有点的集合的所有点的

7、集合线线段的垂直平分线段的垂直平分线定定 理理 线段垂直平分线上的点和这线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的条线段两个端点的距离相等距离相等。逆定理逆定理 和一条线段两个端点和一条线段两个端点距离相距离相等等的点，在这条线段的垂直平分线上。的点，在这条线段的垂直平分线上。线段的垂直平分线可以看作是和线段线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点两个端点距离相等距离相等的所有点的集合的所有点的集合ABMNP点的集合是一条射线点的集合是一条射线点的集合是一条直线点的集合是一条直线 解答题：解答题：1.MN是是AB的垂直平分线，的垂直平分线，EF是是BC垂直平分线。垂直平分线。PA与与PC是否相等

8、，为什么？是否相等，为什么？MME EP PA AB BC CF FNPABC结论：三角形三边的垂直平分线交结论：三角形三边的垂直平分线交于一于一 点点，并且这点到三个顶点的距离，并且这点到三个顶点的距离相等相等.证证明：明：MNABMNAB，AN=BN,AN=BN,P P在在MNMN上上 PA=PBPA=PB（）同同理：理：PB=PCPB=PC PA=PB=PC PA=PB=PCMFEN已知：已知：ABCABC中，边中，边ABAB、BCBC的垂直平分线交于点的垂直平分线交于点P.P.求证：求证：PA=PB=PC.PA=PB=PC.试一试 东城新区政府为了方便居民东城新区政府为了方便居民的生活

9、，计划在三个住宅小区的生活，计划在三个住宅小区A A、B B、C C之间修建一个购物中心，之间修建一个购物中心，试问，该购物中心应建于何处，试问，该购物中心应建于何处，才能使得它到三个小区的距离才能使得它到三个小区的距离相等。相等。ABC生活中的数学生活中的数学D DC CB BE EA A3.3.如图，若如图，若AC=12AC=12，BC=7BC=7，ABAB的垂直平分线交的垂直平分线交ABAB于于E E，交，交ACAC于于D.D.求求BCDBCD的周长的周长.EDED是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线.解解:BD=ADBD=AD BCDBCD的周长的周长=BD+DC+BC=BD+

10、DC+BC BCD BCD的周长的周长=AD+DC+BC=AD+DC+BC=AC+BC=12+7=19=AC+BC=12+7=19试一试1.1.在直线在直线ABAB的另一侧任取一点的另一侧任取一点K.K.2.2.以以C C点为圆心，以点为圆心，以CKCK长为半径画弧，长为半径画弧，交直线交直线ABAB于点于点D D和和E.E.3.3.分别以点分别以点D D和和E E为圆心，以大于为圆心，以大于 DE DE长为半径画弧，两弧相交于长为半径画弧，两弧相交于F.F.4.4.作直线作直线CF.CF.直线直线C FC F就是所求的垂线就是所求的垂线.尺规作图尺规作图.经过已知直线外一点作这条直线的垂线经

11、过已知直线外一点作这条直线的垂线.已知：直线已知：直线ABAB和和ABAB外一点外一点C.C.作法：作法：A AB BC CK KD DE EF F2 2、如图，、如图，ADBCADBC，BD=DCBD=DC，点，点C C在在AEAE的垂直平分线上，的垂直平分线上，ABAB、AC AC、CE CE 的长度有什么关系？的长度有什么关系？AB+BD AB+BD 与与DEDE有什么关系？有什么关系？AC=CEAC=CEAB+BD=DEAB+BD=DE1 1、如图，、如图，AB=ACAB=AC，MB=MCMB=MC，直线，直线AMAM是线是线段段BCBC的垂直平分线吗？的垂直平分线吗？练习练习2.2.

12、如图，如图，NMNM是线段是线段ABAB的垂直平分线的垂直平分线,下列说下列说法正确的有：法正确的有：.ABMN,AD=DBABMN,AD=DB，MNABMNAB，MD=DNMD=DN，ABAB是是MNMN的垂直平分线的垂直平分线.A AB BM MN ND D1.1.下列说法：下列说法：若直线若直线PEPE是线段是线段ABAB的垂直平分线，则的垂直平分线，则EA=EBEA=EB，PA=PBPA=PB；若若PA=PBPA=PB，EA=EBEA=EB，则直线，则直线PEPE垂直平分线段垂直平分线段ABAB；若若PA=PBPA=PB，则点，则点P P必是线段必是线段ABAB的垂直平分线上的点；的垂

13、直平分线上的点；若若EA=EBEA=EB，则过点，则过点E E的直线垂直平分线段的直线垂直平分线段ABAB其中正确的个数有其中正确的个数有 （）（）A A1 1个个 B B2 2个个 C C3 3个个 D D4 4个个C练一练3.在在ABC中，中，ACB=90，AB=8cm，BC的垂直平分线的垂直平分线DE交交AB于于D点点,则则CD=_.4cm4、在、在ABC,PM,QN分别垂直平分分别垂直平分AB,AC，则，则:(1)若若BC=10cm则则APQ的周长的周长=_cm;(2)若若BAC=100则则PAQ=_.101020206 6、如如图图，在，在ABCABC中，中，EDED垂直平分垂直平分

14、ABAB，1)1)若若BDBD1010，则则AD=AD=.2)2)若若A A5050，则则ABDABD .3)3)若若ACAC1414，BCDBCD的周的周长为长为2424，则则BC=BC=.5 5、如图所示，在、如图所示，在ABCABC中，中，AB=ACAB=AC3232，MNMN是是ABAB的垂直平分线，且有的垂直平分线，且有BC=21BC=21，求，求BCNBCN的周长的周长.PA=PBPA=PB点点P P在在线段线段ABAB的垂直平的垂直平分线上分线上和一条线段两个端点距离相等的和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上点，在这条线段的垂直平分线上线段垂直平分线上的点和这

15、条线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点的距离相等线段两个端点的距离相等小结1 1、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点、性质定理：线段垂直平分线上的点和这条线段两个端点 的距离相等的距离相等.2 2、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线、逆定理：和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线 段的垂直平分线上段的垂直平分线上.3 3、线段的垂直平分线的集合定义：、线段的垂直平分线的集合定义：线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等线段的垂直平分线可以看作是和线段两个端点距离相等 的所有点的集合的所有点的集合.第二课时第二课时13.1.2 13.1.2 线段垂直平分线

16、的性质线段垂直平分线的性质1.1.能用尺规作线段的垂直平分线能用尺规作线段的垂直平分线2.2.进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作进一步了解作图的一般步骤和作图语言，了解作图的依据图的依据3.3.运用尺规作图的方法解决简单的作图问题运用尺规作图的方法解决简单的作图问题学习重点：学习重点：作线段的垂直平分线作线段的垂直平分线 轴对称的性质是什么？轴对称的性质是什么？如何判断一条直如何判断一条直线线是否是是否是线线段的垂直平分段的垂直平分线线？说说一一说说线线段垂直平分段垂直平分线线的性的性质质忆一忆（1）作一条线段等于已知线段；）作一条线段等于已知线段；（2）作一个角等于已知角；）作一个角

17、等于已知角；（3）作一个角的平分线；）作一个角的平分线；（4）经过已知直线外一点作这条直线的垂线）经过已知直线外一点作这条直线的垂线那么利用尺规还能解决什么作图问题呢那么利用尺规还能解决什么作图问题呢？我们已能用尺规完成：我们已能用尺规完成：不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？不折叠图形，你能准确地作出轴对称图形的对称轴吗？有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢有时我们感觉两个平面图形是轴对称的，如何验证呢?如果两个图形成轴对称，怎样作出如果两个图形成轴对称，怎样作出图形的对称轴？图形的对称轴？如果两个如果两个图图形成形成轴对轴对称，其称，其对对称称轴轴是任何是任何一一对对

18、应对对应点所点所连线连线段的垂直平分段的垂直平分线线.因此因此.只要找到任意一只要找到任意一组对应组对应点，作出点，作出对应对应点所点所连线连线段的垂直平分段的垂直平分线线，就得到此，就得到此图图形的形的对对称称轴轴作线段作线段AB 的垂直平分线的垂直平分线 例例2 2如图，点如图，点A A 和点和点B B 关于某条直线成轴对称，你能作出这关于某条直线成轴对称，你能作出这条直线吗？条直线吗？作法：作法：连接连接A，B 1.1.分别以点分别以点A.BA.B为圆心为圆心.以大于以大于 ABAB的长为半径作弧，两弧相交于的长为半径作弧，两弧相交于C C，D D 两点；两点；2.2.作直线作直线CDC

19、D CD CD 就是所求作的直线就是所求作的直线 这种作法的依据是什么？这种作法的依据是什么？这种作图方法还有哪些作用？这种作图方法还有哪些作用？确定线段的中确定线段的中点点 AB如图中的五角星，请作出它的一条对称轴如图中的五角星，请作出它的一条对称轴.作轴对称图形的对称轴作轴对称图形的对称轴对于轴对称图形对于轴对称图形.只要找到任意一组对应点只要找到任意一组对应点.作出对应作出对应点所连线段的垂直平分线点所连线段的垂直平分线.就得到此图形的对称轴就得到此图形的对称轴.作法：作法：1.1.找出五角星的一对找出五角星的一对对应点对应点A A和和B B，连接，连接ABAB2.2.作出线段作出线段A

20、BAB的垂直平分线的垂直平分线n n则则n n就是这个五角星的一条对称轴就是这个五角星的一条对称轴 A AB B五角星的对称轴有什么特点？五角星的对称轴有什么特点？你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴你能作出这个五角星的其他对称轴吗？它共有几条对称轴？相交于一相交于一点点作轴对称图形的对称轴作轴对称图形的对称轴练习练习1.作出下列图形的一条对称轴作出下列图形的一条对称轴.和同学比较一下和同学比较一下.你们你们作出的对称轴一样吗作出的对称轴一样吗？2.2.如图，角是轴对称图形吗如图，角是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什？如果是，它的对称轴是什么？么？练习练习3.3.如图，与图形

21、如图，与图形A 成轴对称的是哪个图形？画出它的对成轴对称的是哪个图形？画出它的对称轴称轴ABCD练习练习1.1.正方形正方形ABCDABCD边长为边长为a a，点，点E E，F F分别是对角线分别是对角线BDBD上的两点，上的两点，过点过点E E，F F分别作分别作ADAD，ABAB的平行线，如图所示，则图中阴影部的平行线，如图所示，则图中阴影部分的面积之和等于分的面积之和等于 做一做运用轴对称、转化的思想，阴影部运用轴对称、转化的思想，阴影部分面积等于正方形面积的一半分面积等于正方形面积的一半.2.2.有有A A，B B，C C三个村庄，现准备要建一所学校，要求学三个村庄，现准备要建一所学校

22、，要求学校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置校到三个村庄的距离相等，请你确定学校的位置.A AB BC C【提示提示】学校在连接任意两学校在连接任意两点的两条线段的垂直平分线点的两条线段的垂直平分线的交点处的交点处.3.3.如图，如果如图，如果ACDACD的周长为的周长为18cm18cm，ABCABC的的周长为周长为28cm28cm，DEDE是是BCBC的垂直平分线的垂直平分线,根据这根据这些条件，你可以求出哪条线段的长些条件，你可以求出哪条线段的长?（1 1）ACDACD的周长的周长AD AD CDCDACAC18cm.18cm.（2 2）ABCABC的周长的周长ABABACACBCB

23、C28cm.28cm.（3 3）由）由DEDE是是BCBC的垂直平分线得：的垂直平分线得：BDBDCDCD；所以所以ADADCDCDADADBDBDAB.AB.（4 4）由（）由（2 2）中式子（）中式子（1 1）中式子得）中式子得BCBC10cm.10cm.【解析解析】【提示提示】连接连接ABAB，作，作ABAB的垂直平分线，则与公路的交点的垂直平分线，则与公路的交点就是要建的公共汽车站就是要建的公共汽车站.4.4.如图，如图，A A，B B是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共是路边两个新建小区，要在公路边增设一个公共汽车站汽车站.使两个小区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建使两个小

24、区到车站的路程一样长，该公共汽车站应建在什么地方？在什么地方？BAC5.5.求作一点求作一点P P，使它和已使它和已ABCABC的三个顶点的三个顶点距离相等距离相等.P解:试一试v2.如图如图,A,B表示两个仓库表示两个仓库,要在要在A,B一侧的河一侧的河岸边建造一个码头岸边建造一个码头,使它到两个仓库的距离相使它到两个仓库的距离相等等,码头应建造在什么位置？码头应建造在什么位置？AB1.1.了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质了解轴对称及线段的垂直平分线的有关性质.2.2.会灵活运用这些性质来解决问题会灵活运用这些性质来解决问题3.3.用尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个用尺规作出线段的垂直平分线并据此得到作出一个轴对称图形的一条对称轴的方法轴对称图形的一条对称轴的方法.4.4.找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，找出轴对称图形的任意一对对应点，连接这对对应点，作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形作出连线的垂直平分线，该垂直平分线就是这个轴对称图形的一条对称轴的一条对称轴小结通过本课时的学习，需要我们：通过本课时的学习，需要我们：好好学习天天向上