正交试验设计原理与实例.ppt

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1、正交试验设计正交试验设计 在试验研究中，对于单因素或两因素试验，因在试验研究中，对于单因素或两因素试验，因其因素少其因素少，试验的设计，试验的设计、实施与分析都比较简单、实施与分析都比较简单。但在实际工作中。但在实际工作中，常常需要同时考察，常常需要同时考察 3个或个或3个以个以上的试验因素上的试验因素，若进行全面试验，若进行全面试验，则试验的规模将，则试验的规模将很大很大，往往因试验条件的限制而难于实施，往往因试验条件的限制而难于实施。正正 交交设计就是安排多因素试验设计就是安排多因素试验、寻求最优水平组合、寻求最优水平组合 的一的一种高效率试验设计方法。种高效率试验设计方法。1正交试验设计

2、的意义正交试验设计的意义 正正交交试试验验属属于于试试验验设设计计方方法法的的一一种种。简简单单地地讲讲，试试验验设设计计是是研研究究如如何何科科学学安安排排试试验验，以以较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息。较少的人力物力消耗而取得较多较全面的信息。试试验验安安排排得得好好，事事半半功功倍倍；反反之之则则事事倍倍功功半半，甚甚至至达达不不到到预预期期目目的的。因因此此，如如何何进进行行试试验验设设计是一个至关重要的问题。计是一个至关重要的问题。正正交交试试验验设设计计是是试试验验优优化化的的常常用用技技术术。所所谓谓试试验验优优化化，是是指指在在最最优优化化思思想想的的指指导导下下，进进

3、行行最最优优设设计计的的一一种种优优化化方方法法。它它从从不不同同的的优优良良性性出出发发，合合理理设设计计试试验验方方案案，有有效效控控制制试试验验干干扰扰，科科学学处处理理试试验验数数据据，全全面面进进行行优优化化分分析析，直直接接实实现现优优化化目目标标，已成为现代优化技术的一个重要方面。已成为现代优化技术的一个重要方面。正交设计的正交设计的基本特点基本特点是：是：用部分试验来代用部分试验来代替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了替全面试验，通过对部分试验结果的分析，了解全面试验的情况。解全面试验的情况。.试验为什么要设计试验为什么要设计全面试验包含的水平组合数较多，工作量全面试验包含

4、的水平组合数较多，工作量大大，由于受试验场地、试验材料、经费等限制，由于受试验场地、试验材料、经费等限制而难于实施而难于实施。例如，有。例如，有6个因素：个因素：每每因素取因素取 5个水平，个水平，全面试验就需要全面试验就需要56=15625个组合。个组合。若试验的主要目的是若试验的主要目的是 寻寻 求求 最最 优水平组合优水平组合，则，则 可利用正交可利用正交 设设计来安排试验。计来安排试验。.正交拉丁方正交拉丁方 在试验安排中在试验安排中，每个因素在研究的范围内，每个因素在研究的范围内选几个水平，就好比在选优区内打上网格选几个水平，就好比在选优区内打上网格，如，如果网上的每个点都做试验，就

5、是全面试验。果网上的每个点都做试验，就是全面试验。3个个因素的选优区可以用一个立方体表示因素的选优区可以用一个立方体表示(图图11-2)，3个因素各取个因素各取 3个水平，把立方体划分成个水平，把立方体划分成27个个格点，反映在格点，反映在 图图11上就是立方体内的上就是立方体内的27个个“.”。若。若27个网格点都试验，就是全面试验，个网格点都试验，就是全面试验，其试验方案如表其试验方案如表11所示。所示。3 因因 素素 3 水水 平平 的的 全全 面试验水平组合数为面试验水平组合数为33=27，4 因素因素3水平的全面试验水平组合数为水平的全面试验水平组合数为34=81，5因素因素3水平的

6、全面试验水平组合数为水平的全面试验水平组合数为35=243，这在试验中是不可能做到的。，这在试验中是不可能做到的。正正交交设设计计就就是是从从选选优优区区全全面面试试验验点点（水水平平组组合合）中中挑挑选选出出有有代代表表性性的的部部分分试试验验点点（水水平平组组合合）来来进进行行试试验验。图图11-A中中标标有有试试验验号号的的九九个个“()”，就就是是利利用用正正交交表表L9(34)从从27个个试试验验点点中中挑挑选选出出来来的的9个试验点。即：个试验点。即：关于正交的直观印象关于正交的直观印象数据点分布是均匀的数据点分布是均匀的每一个面都有每一个面都有3个点个点每一条线都有每一条线都有1

7、个点个点1.3正交试验设计正交试验设计 正正交交试试验验设设计计也也称称正正交交设设计计(orthogonal design)，是是用用来来科科学学地地设设计计多多因因素素试试验验的的一一种种方方法法。它它利利用用一一套套规规格格化化的的正正交交表表(orthogonal table)安安排排试试验验，得得到到的的试试验验结结果果再再用用数数理理统统计计方方法法进进行行处处理理，使使之之得得出出科科学学结结论论。正正交交表表是是试试验验设设计计的的基基本本工工具具，它它是是根根据据均均衡衡分分布布的的思思想想，运运用用组组合合数数学学理理论论构构造造的的一一种种数数学学表表格格，均均衡衡分分布

8、性是正交表的核心。布性是正交表的核心。19世世纪纪20年年代代，英英国国统统计计学学家家R.A.Fisher首首先先后后马马铃铃薯薯肥肥料料试试验验当当中中，运运用用排排列列均均衡衡的的拉拉丁丁方方，解解决决了了试试验验时时的的不不均均匀匀试试验验条条件件，获获得得成成功功，并并创创立立了了“试试验验设设计计”这这一一新新兴兴学学科科。“均均衡衡分分布布”思思想想在在20世世纪纪50年年代代应应用用于于工工业业领领域域，60年年代代应应用用于于农农业业领领域域，使使正正交交试试验验在在科科研研生生产实际中得到推广产实际中得到推广。2、正交表、正交表.正交正交表表 正交拉丁方的自然推广正交拉丁方

9、的自然推广 由于正交设计安排试验和分析试验结果都要由于正交设计安排试验和分析试验结果都要 用用 正交正交表，因此，我们先对正交表作一介绍。表，因此，我们先对正交表作一介绍。安安排排的的4因因素素3水水平平的的试试验验，编编上上试试验验号号，列列成成另另外外一一种种形形式式，见见正正交交表表L9(34)（表表11-6）。可可以以由由此此得得到到系系列列正交表正交表(orthogonal table)。常常用用的的正正交交表表已已由由数数学学工工作作者者制制定定出出来来，供供进进行行正正交交设设计计时时选选用用。2水水平平正正交交表表除除L8(27)外外，还还有有L4(23)、L16(215)等等

10、；3水水 平平 正正 交交 表表 有有 L9(34)、L27(213)等（详见附表等（详见附表17及有关参考书）。及有关参考书）。表表11-6是一张正交表，记号为是一张正交表，记号为L9(34)，其中其中“L”代表正交表；代表正交表；L右下角的数字右下角的数字“9”表示有表示有9行行，用这张正交表安排试验包含，用这张正交表安排试验包含3个处理个处理(水水平组合平组合)；括号内的底数；括号内的底数“3”表示因素的水平表示因素的水平数，括号内数，括号内3的指数的指数“4”表示有表示有4列列，也指安，也指安排的因素数，用这张正交表最多可以安排排的因素数，用这张正交表最多可以安排4个个3水平因素。水平

11、因素。2.2 2.2 正交表的表示符号正交表的表示符号正交表的表示符号正交表的表示符号 正交表记号所表示的含义归纳如下：正交表记号所表示的含义归纳如下：正交表记号所表示的含义归纳如下：正交表记号所表示的含义归纳如下：L Ln n(t tq q）式式式式中中中中：L L为为为为正正正正交交交交表表表表符符符符号号号号，是是是是LatinLatin的的的的第第第第一一一一个个个个字字字字母母母母；n n为为为为试试试试验验验验次次次次数数数数，即即即即正正正正交交交交表表表表行行行行数数数数；t t为为为为因因因因素素素素的的的的水水水水平平平平数数数数，即即即即1 1列列列列中中中中出出出出现现

12、现现不不不不同同同同数数数数字字字字的的的的个个个个数数数数;q q为为为为最最最最多多多多能能能能安安安安排排排排的的的的因因因因素素素素数数数数，即正交表的列数。即正交表的列数。即正交表的列数。即正交表的列数。正交表表示方法L9（34）正交表列数正交表列数一列中出现的数字个数一列中出现的数字个数正交表行数正交表行数正交表的代号正交表的代号 正正交交表表中中1列列可可以以安安排排1个个因因素素，因因此此它它可可安安排排的的因素数可以小于或等于因素数可以小于或等于q，但不能大于但不能大于q。括括号号内内的的tq表表示示q个个因因素素、每每个个因因素素t个个水水平平全全面面试试验验的的水水平平组

13、组合合数数（即即处处理理数数）。因因为为安安排排因因素素个个数数不能大于不能大于q，所以所以n/tq为最小部分实施。为最小部分实施。显显然然，L4(23)是是最最简简单单的的正正交交表表，有有4列列3行行用用它它最最多多能能安安排排3个个2水水平平因因素素的的试试验验。部部分分试试验验为为4次次，全全面面试试验验为为8次次，最最小小部部分分实实施施为为1/2，即即用用它它安安排排试试验验可可比比全全面面试试验验少少做做1/2。所所以以，当当试试验验因因素素数数q及及每每个个因因素素的的水水平平数数t增增加加时时n/tq则则下下降降，节节省省试试验验次次数数的的效效果更明显。果更明显。一一般般非

14、非等等水水平平正正交交表表表表示示为为Ln(t1q1 X t2 q2）（q1不不等等于于q2）Ln(tlq1 X t2q2 X t3q3）（q1q2q），它它们们各各代代表表一一个个具具体体的的数数字字表表格格。又称混合型正交表。又称混合型正交表。当当用用非非等等水水平平正正交交表表示示为为Ln(t1q1 X t2 q2)安安排排试试验验时时。则则因因素素数数应应不不大大于于q1+q2,且且t1水水平平的的因因素素数数不不大大于于q1，t2水水平平的的因因素素数数不不大大于于q2，最小部分实施为最小部分实施为n/(t1q1+t2 q2）。）。2.3 常用正交表的分类及特点常用正交表的分类及特点

15、 1、标准表（、标准表（相同水平正交表）相同水平正交表）2水平水平:L4(23）,L8(27）,L16(215），），3水平水平:L9(34），），L27（313），），L81(340），），4水平：水平：L16(45）,L64(4 21）,L256(485），），5水平：水平：L25（56）,L125(5 31）,L625(5156），），各各列列中中出出现现的的最最大大数数字字相相同同的的正正交交表表称称为为相相同同水水平平正正交交表表。如如L4(23)、L8(27)、L12(211)等等各各列列中中最最大大数数字字为为2，称称为为两两水水平平正正交交表表；L9(34)、L27(313)等

16、等各各列列中中最最大大数数字字为为3，称称为为3水水平平正正交交表表。凡凡是是标标准准表表，水水平平数数都都相相等等。且且水水平平数数只只能能取取素素数数或或素素数数幂幂。因因此此有有7 7水平，水平，9 9水平的标准表，没有水平的标准表，没有6 6水平，水平，8 8水平的标准表。水平的标准表。2.3 常用正交表的分类及特点常用正交表的分类及特点 2、非标准表（、非标准表（混合水平正交表）混合水平正交表）各各列列中中出出现现的的最最大大数数字字不不完完全全相相同同的的正正交交表表称称为为混混合合水水平平正正交交表表。如如L8(424)表表中中有有一一列列最最大大数数字字为为4，有有4列列最最大

17、大数数字字为为2。也也就就是是说说该该表表可可以以安安排排一一个个4水水平平因因素素和和4个个2水水平平因因素素。再再如如L16(4423)，L16(4212)等等都都混混合合水平正交表。水平正交表。2.4正交表的基本性质正交表的基本性质 任何一张正交表都有如下三个特性：任何一张正交表都有如下三个特性：（）正交性（）正交性1、任一列中，不同数字出现的次数相等任一列中，不同数字出现的次数相等 例如例如L8(27)中不同数字只有中不同数字只有1和和2，它，它们各出现们各出现4次；次；L9(34)中不同数字有中不同数字有1、2和和3，它们各出现，它们各出现3次次。2、任两列中，同一横行所组成的数字对

18、出任两列中，同一横行所组成的数字对出现的次数相等现的次数相等 例如例如 L8(27)中中(1,1),(1,2),(2,1),(2,2)各出现两各出现两次；次；L9(34)中中(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)各出现各出现1次。即每个因素的一个次。即每个因素的一个水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意水平与另一因素的各个水平互碰次数相等，表明任意两列各个数字之间的搭配是均匀的。两列各个数字之间的搭配是均匀的。由正交表的正交性可以看出：由正交表的正交性可以看出：正正交交表表各各列列的的地地位位是是平平等等的的，表表中中

19、各各列列之之间间可以互相置换，称为列间置换；可以互相置换，称为列间置换；正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；正交表各行之间也可相互置换，称行间置换；正正交交表表中中同同一一列列的的水水平平数数字字也也可可以以相相互互置置换换，称水平置换。称水平置换。上上述述3种种置置换换即即正正交交表表的的3种种初初等等置置换换。经经过过初初等等置置换换所所能能得得到到的的一一切切正正交交表表，称称为为原原正正交交表表的的同同构构表表或或等等价价表表，显显然然，实实际际应应用用时时，可以根据不同需要进行变换。可以根据不同需要进行变换。(2)代代表表性性。代代表表性性的的含含义义之之一一，在在于于正正交交表

20、的正交性中：表的正交性中：任任一一列列的的各各水水平平都都出出现现，使使得得部部分分试试验验中包含所有因素的所有水平。中包含所有因素的所有水平。任任意意2列列间间的的所所有有组组合合全全部部出出现现，使使任任意意两两因因素素间间都都是是全全面面试试验验。因因此此，在在部部分分试试验验中中，所所有有因因素素的的所所有有水水平平信信息息及及两两两两因因素素间间的的所所有有组组合合信信息息都都无无一一遗遗漏漏。这这样样，虽虽然然安安排排的的是是部部分分试试验验，却却能能够够了了解解全全面面试试验验的的情情况，从这个意义上况，从这个意义上讲可以代表全面试验。讲可以代表全面试验。因为正交性，使部分试验点

21、必然均衡因为正交性，使部分试验点必然均衡地分布后全面试验的试验点中。地分布后全面试验的试验点中。所谓均衡所谓均衡分散，是指用正交表挑选出来的各因素水分散，是指用正交表挑选出来的各因素水平组合在全部水平组合中的分布是均匀的平组合在全部水平组合中的分布是均匀的。由由 图图11-2可以看出，在立方体中可以看出，在立方体中，任，任一平面内都包含一平面内都包含 3 个个“()”，任一直任一直线上都包含线上都包含1个个“()”，因此，因此，这些点，这些点代表性强代表性强，能够较好地反映全面试验的，能够较好地反映全面试验的情况。情况。（3）综合可比性。）综合可比性。反映在正交性当中：反映在正交性当中：任一列

22、各水平出现的次数都相等。任一列各水平出现的次数都相等。任任2 2列列间间所所有有可可能能的的组组合合出出现现的的次次数数都都相相等等。因因此此使使任任一一因因素素各各水水平平的的试试验验条条件件相相同同。这这就就保保证证了了在在每每列列因因素素各各个个水水平平的的效效果果中中，最最大大限限度度地地排排除除其其他他因因素素的的干干扰扰，突突出出本本列列因因素素的的作作用用，从从而而可可以以综综合合比比较较该该因因素素不不同同水水平平对对试试验验指指标标的的影影响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。响。这种性质称为综合可比性或整齐可比性。如如在在A、B、C 3个个因因素素中中，A因因素素的的3个

23、个水水平平 A1、A2、A3 条条件件下下各各有有 B、C 的的 3 个个不不同同水平，即：水平，即：在在这这9个个水水平平组组合合中中，A因因素素各各水水平平下下包包括括了了B、C因因素素的的3个个水水平平，虽虽然然搭搭配配方方式式不不同同，但但B、C皆皆处处于于同同等等地地位位，当当比比较较A因因素素不不同同水水平平时时，B因因素素不不同同水水平平的的效效应应相相互互抵抵消消，C因因素素不不同同水水平平的的效效应应也也相相互互抵抵消消。所所以以A因因素素3个个水水平平间间具具有有可可比比性性。同同样样，B、C因因素素3个个水水平平间间亦具有可比性。亦具有可比性。根据以上两个特性，我们用正交

24、表安排的根据以上两个特性，我们用正交表安排的试验，具有试验，具有均衡分散均衡分散和和整齐可比整齐可比的特点。的特点。正交正交表的表的3个基本性质中，正交性即均衡性是核心，个基本性质中，正交性即均衡性是核心，是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然是基础，代表性和综合可比性是正交性的必然结果，从而使正交表得以具体应用。结果，从而使正交表得以具体应用。正正交交表表集集其其3个个性性质质于于一一体体，成成为为正正交交试试验验设设计计的的有有效效工工具具，用用它它来来安安排排试试验验，也也必必然然具具有有“均均衡衡分分散散，整整齐齐可可比比”的的特特性性，代代表表性性强强，效率也高。因而，实际应用越来

25、越广。效率也高。因而，实际应用越来越广。交互作用的处理。在试验设计中，交互交互作用的处理。在试验设计中，交互作一律当做因素看待，这是处理交互作用作一律当做因素看待，这是处理交互作用的一条总原则。的一条总原则。3 正交试验设计的基本步骤正交试验设计的基本步骤 正正交交试试验验设设计计（简简称称正正交交设设计计）的的基基本本程程序序是是设设计计试试验验方方案案和和处处理理试试验验结结果果两两大大部部分分。主要步骤可归纳如下：主要步骤可归纳如下：第一步，明确试验目的，确定考核指标。第一步，明确试验目的，确定考核指标。第二步，挑因素，选水平。第二步，挑因素，选水平。第三步，选择合适的正交表。第三步，选

26、择合适的正交表。第四步，进行表头设计。第四步，进行表头设计。第五步，确定试验方案。第五步，确定试验方案。第六步，试验结果分析。第六步，试验结果分析。3.1明确试验目的，确定考核指标明确试验目的，确定考核指标 试试验验目目的的，就就是是通通过过正正交交试试验验要要想想解解决决什什么问题。么问题。考考核核指指标标，就就是是用用来来衡衡量量或或考考核核试试验验效效果果的的质质量量指指标标。试试验验指指标标一一经经确确定定，就就应应当当把把衡衡量量和和评评定定指指标标的的原原则则、标标准准，测测定定试试验验指指标标的的方方法法及及所所用用的的仪仪器器等等确确定定下下来来。这这本本身身就是一项细致而复杂

27、的研究工作。就是一项细致而复杂的研究工作。3.2 挑因素，选水平挑因素，选水平 影影响响指指标标者者称称为为因因素素。因因素素在在试试验验中中变变化化的的各各种种状状态态，称称为为水水平平。因因素素的的变变化化引引起起指指标标的的变变化化，正正交交试试验验法法适适用用于于试试验验中中能能人人为为加加以以控控制制和和调调节节的的因因素素可可控控因因素素。选选好好的的因因素素、水平通常可列成因素水平表。水平通常可列成因素水平表。3.3 选择合适的正交表选择合适的正交表 总原则：能容纳所有考察因素，又使试验号最小。总原则：能容纳所有考察因素，又使试验号最小。一般有这样几条规则：一般有这样几条规则：(

28、1)先先看看水水平平数数。根根据据水水平平数数选选用用相相应应的的水水平平的的正正交表。交表。(2)其其次次看看试试验验要要求求。如如只只考考察察主主效效应应，则则可可选选择择较较小小的的表表，只只要要所所有有因因素素均均能能顺顺序序上上列列即即可可。如如果果还还需需考考察察交交互互效效应应，那那么么就就要要选选用用较较大大的的表表，而而且且各各因因素素的的排排列列不不能能任任意意上上列列，要要按按照照各各种种能能考察交互作用的表头设计来安排因素。考察交互作用的表头设计来安排因素。3.3 选择合适的正交表选择合适的正交表(3)再再看看允允许许做做试试验验的的正正交交表表的的次次数数和和有有无无

29、重重点点因因素素要要考考察察。如如果果只只允允许许做做9次次试试验验，而而考考察察因因素素只只有有3-4个个，则则用用3水水平平的的L9(34）表表来来安安排排试试验验。若若有有重重点点因因素素要要详详细细考考察察则则可可选选用用水水平平数数不不等等的的正正交交表表如如L8(4X24）等等，将将重重点点因因素素多多取取几几个个水水平平加加以以详详细细考考察。察。要求精度高，可选较大的要求精度高，可选较大的n值的值的L表。表。切切不不可可遗遗漏漏重重要要因因素素，所所以以可可倾倾向向于于多多考考察察些些因因素。素。可可以以先先用用水水平平数数少少的的正正交交表表作作试试验验，找找出出重重要要因因

30、素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考察素后，对少数重要因素再作有交互作用的细致考察。3.4 进行表头设计进行表头设计 所所谓谓表表头头设设计计，就就是是将将试试验验因因素素安安排排到到所选正交表的各列中去的过程。所选正交表的各列中去的过程。(1)只只考考察察主主效效应应，不不考考察察交交互互效效应应，正正交交表表中中每每一一列列的的位位置置是是一一样样的的，可可以以任任意意变变换换。因因此此，不不考考察察交交互互效效应应的的表表头头设设计计非非常常简简单单，将所有因素任意上列即可。将所有因素任意上列即可。(2)考考察察交交互互作作用用的的表表头头设设计计，各各因因素素及及各各交交互互作作

31、用用不不能能任任意意安安排排，必必须须严严格格按按交交互互作作用用列列表表进进行行配配列列。这这是是有有交交互互作作用用正正交交设设计计的重要特点，也是试验方案设计的关键一步。的重要特点，也是试验方案设计的关键一步。3.4 进行表头设计进行表头设计 避避免免混混杂杂，是是表表头头设设计计的的一一个个重重要要原原则则，也也是是表表头头设设计计选选优优的的一一个个重重要要条条件件。所所谓谓混混杂杂，是是指指在在正正交交表表的的同同一一列列中中，安安排排了了2个个或或2个个以以上上的的因因素素或或交交互互作作用用。这这样样，就就无无法法确确定定同同一一列列中中的的这这些些不不同同因因素素或或交交互互

32、作作用用对对试试验验指指标标的的作作用用效效果果。为为避避免免混混杂杂，使使表表头头设设计计合合理理、更更优优，那那些些主主要要因因素素，重重点点考考察察的的因因素素，涉涉及及交交互互作作用用较较多多的的因因素素，就就应应该该优优先先安安排排；而而另另一一些些次次要要因因素素，涉涉及及交交互互作作用用较较少少的的因因素素和和不不涉涉及及交交互互作作用用的的因因素素，可可放放在在后后面面安安排排。表表11-10是是L8(4X24)的的表头设计。表头设计。3.5 排出试验方案排出试验方案 【例例1】鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。虽然有机酸鸭肉保鲜天然复合剂的筛选。虽然有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果

33、，但是大部分有机酸和盐处理对鸭肉保鲜有明显效果，但是大部分有机酸和盐属于合成的化学药剂，在卫生安全上得不到保证，和盐属于合成的化学药剂，在卫生安全上得不到保证，并且不符合消费者纯天然，无污染的要求，试验以茶并且不符合消费者纯天然，无污染的要求，试验以茶多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不同多酚作为天然复合保鲜剂的主要成分，分别添加不同的增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行了的增效剂、被膜剂和不同的浸泡时间，进行了4因素和因素和4水平的正交试验，试安排一个正交试验方案。水平的正交试验，试安排一个正交试验方案。正交设计一般有以下几个步骤：正交设计一般有以下几个步骤：（1）明确目的，确定指标

34、）明确目的，确定指标：本例是一个食品加工工艺：本例是一个食品加工工艺的研究试验，目的是通过试验，寻求一个最佳的鸭肉的研究试验，目的是通过试验，寻求一个最佳的鸭肉天然复合保鲜剂。天然复合保鲜剂。（2）挑因素、选水平）挑因素、选水平 影响试验结果的因素很多，我们不可影响试验结果的因素很多，我们不可能把所有影响因素通过一次试验都予以研究，能把所有影响因素通过一次试验都予以研究，只能根据以往的经验，挑选和确定若干对试只能根据以往的经验，挑选和确定若干对试验指标影响最大、有较大经济意义而又了解验指标影响最大、有较大经济意义而又了解不够清楚的因素来研究。同时还应不够清楚的因素来研究。同时还应根据实际根据实

35、际经验和专业知识，定出各因素适宜的水平，经验和专业知识，定出各因素适宜的水平，列出因素水平表列出因素水平表。【例例1】的因素水平表如的因素水平表如表表11-11所示，选定了所示，选定了4个因素，每个因素个因素，每个因素4个水平的正交试验。个水平的正交试验。(3)选用合适的正交表选用合适的正交表 确确定定了了因因素素及及其其水水平平后后，根根据据因因素素、水水平平及及需需要要考考察察的的交交互互作作用用的的多多少少来来选选择择合合适适的的正正交交表表。选选用用正正交交表表的的原原则则是是：既既要要能能安安排排下下试试验验的的全全部部因因素素，又又要要使使部部分分水水平平组组合合数数（处处理理数数

36、）尽尽可可能能地地少少。一一般般情情况况下下，试试验验因因素素的的水水平平数数应应恰恰好好等等于于正正交交表表记记号号中中括括号号内内的的底底数数；因因素素的的个个数数（包包括括交交互互作作用用）应应不不大大于于正正交交表表记记号号中中括括号号内内的的指指数数；各各因因素素及及交交互互作作用用的的自自由由度度之之和和要要小小于于所所选选正正交交表表的的总总自自由由度度，以以便便估估计计试试验验误误差差。若若各各因因素素及及交交互互作作用用的的自自由由度度之之和和等等于于所所选选正正交交表表总总自自由由度度，则则可可采采用用有有重重复复正正交交试试验验来来估估计计试试验验误误差差。本本例例选选L

37、16（45）最最合合适适，有有1空空列列，可可以以作作为为试验误差以衡量试验的可靠性。试验误差以衡量试验的可靠性。(4)表头设计表头设计 所谓表头设计，就是把挑选出的因素和所谓表头设计，就是把挑选出的因素和要考察的交互作用分别排入正交表的表头适要考察的交互作用分别排入正交表的表头适当的列上。当的列上。在不考察交互作用时，各因素可随机安在不考察交互作用时，各因素可随机安排在各列上；若考察交互作用，就应按该正排在各列上；若考察交互作用，就应按该正交表的交互作用列表安排交表的交互作用列表安排 各各 因因 素与交互作素与交互作用。用。此例不考察交互作用，可将此例不考察交互作用，可将(A)、(B)和和(

38、C)依次安排在依次安排在L16(45)的第的第1、2、3列列上，第上，第 4 列列 为空列，见表为空列，见表11-12。(5)排出试验方案排出试验方案 把正交表中安排各因素的每个列把正交表中安排各因素的每个列(不包含不包含欲考察的交互作用列欲考察的交互作用列)中的每个数字依次换成该中的每个数字依次换成该因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。因素的实际水平，就得到一个正交试验方案。表表11-12就是就是例例11-2 的正交试验方案。的正交试验方案。从而得出试验的从而得出试验的16个处理，即：个处理，即：123 3，241 2，343 4，421 1，131 4，213 1，311 3，433

39、2，114 2，232 3，334 1，412 4，142 1，224 4，322 2，444 3。【例例2】要要生生产产某某种种食食品品添添加加剂剂，根根据据试试验验发发现现影影响响添添加加剂剂收收率率的的因因素素有有4个个，每每个个因因素素设设置置2种种水水平平（表表11-13）。）。本本例例有有4个个因因素素，如如果果安安排排后后L8(27）表表中中，从从表表11-8 L8(27)表表头头设设计计可可以以查查出出,4个个因因素素应应安安排排在在1,2,4,7列列为为好好，这这样样考考察察4个个因因素素各各自自的的效效应应都都不不会会与与交交互互作作用用混混杂杂。另另外外根根据据专专业业知

40、知识识可可知知，D因因素素与与A，B，C3因因素素之之间间没没有有或或者者少少有有交交互互作作用用。故故将将D因因素素安安排排后后第第七七列列，则则3，5，6列列就就仅仅为为AXB，AXC和和BXC单单独独的的交互作用。交互作用。本例有本例有4个因素，如果安排后个因素，如果安排后L8(27）表中，从表中，从表表11-8 L8(27)表头设计可以查出表头设计可以查出,4个因素应安排在个因素应安排在1,2,4,7列为好，这样考察列为好，这样考察4个因素各自的效应都不会个因素各自的效应都不会与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，与交互作用混杂。另外根据专业知识可知，D因素因素与与A，B，C3因素之间

41、没有或者少有交互作用。故因素之间没有或者少有交互作用。故将将D因素安排后第七列，则因素安排后第七列，则3，5，6列就仅为列就仅为AXB，AXC和和BXC单独的交互作用。单独的交互作用。4正交试验的结果分析正交试验的结果分析4.1直观分析法（极差分析法）直观分析法（极差分析法）凡凡采采用用正正交交表表设设计计的的试试验验，都都可可用用正正交交表表分分析析试试验验的的结结果果，正正交交试试验验的的结结果果分分析析，有有直直观观分分析析和和方方差差分分析析2种种方方法法，现现分分别别予予以介绍。以介绍。4.1.1不考虑交互作用的分析法不考虑交互作用的分析法 现现对对【例例1】进进行行分分析析，该该试

42、试验验的的结结果果见见表表11-14。分分析析方方法法：首首先先从从1616个个处处理理中中直直观观地地找找出出最最优优处处理理组组合合为为9 9号号处处理理，即即A A1 1B B1 1C C4 4D D2 2，指指标标为为38.7938.79；其其次次为为1313号号处处理理A A1 1B B4 4C C2 2D D1 1，指指标标为为38.0238.02，但但是是究究竟竟哪哪一一个个是是最最好好的的指指标标呢呢？现后通过直观分析进行验证：？现后通过直观分析进行验证：4、正交试验结果的结果分析、正交试验结果的结果分析 若若各各号号试试验验处处理理都都只只有有一一个个观观测测值值，则则称称之

43、之为为单单独独观观测测值值正正交交试试验验；若若各各号号试试验验处处理理都都有有两两个个或或两两个个以以上上观观测测值值，则则称称之之为为有有重重复复观观测值正交试验。测值正交试验。下下面面分分别别介介绍绍单单独独观观测测值值和和有有重重复复观观测测正正交试验结果的方差分析。交试验结果的方差分析。4.1.2 考察交互作用的试验结果分析考察交互作用的试验结果分析 考察交互作用的试验结果的分析方法与前面并无本质不同，只是：考察交互作用的试验结果的分析方法与前面并无本质不同，只是：应把每个互作当成一个因素看待进行分析；应把每个互作当成一个因素看待进行分析；应根据互作的效应，应根据互作的效应，选择出最

44、优试验组选择出最优试验组合。见表合。见表11-1511-15。4.2.1 无重复试验的方差分析无重复试验的方差分析 这这种种分分析析方方法法要要求求用用正正交交表表设设计计试试验验时时，必必须须留留有有不不排排入入因因素素或或互互作作的的空空例例，以以作作为为误误差的估计值。差的估计值。【例例3】某某食食品品厂厂或或产产口口香香糖糖，检检验验口口香香糖糖的的质质量量好好坏坏需需要要分分析析：拉拉伸伸率率（越越大大越越好好）；变变形形（越越小小越越好好）；耐耐弯弯曲曲次次数数（越越多多越越好好）这这3种种指指标标，要要求求对对3种种指指标标都都取取得得较较好好水水平平，现现要要进进行行口口香香糖

45、糖配配方方的的试试验验分分析析，因因素素水水平表见表平表见表11-17，结果分析见表，结果分析见表11-18。资资料料整整理理：本本试试验验3个个指指标标同同等等重重要要，我我们们只只以以拉拉伸伸率率1项项为为例例作作方方差差分分析析，其其余余2项项及及综综合合考考察察留留给大家作练习之用。给大家作练习之用。表表11-18中中一一共共有有A，B，C，D4项项因因素素，每每一一因因素素为为4水水平平，每每一一水水平平的的重重复复次次数数为为4次次，总总次次数数为为16次次(n)。自由度与平方和分解：自由度与平方和分解：该该次次试试验验的的16个个观观测测值值总总变变异异由由A因因素素、B因因素素

46、、C因因素素、D因因素素及及误误差差变变异异五五部部分分组组成成，因因而而进行方差分析时平方和与自由度的划分式为：进行方差分析时平方和与自由度的划分式为：SST=SSA+SSB+SSC+SSD+SSe dfT =dfA +dfB+dfC+dfD+dfe表表11-18中中，Ki为为各各因因素素同同一一水水平平试试验验指指标标（拉拉伸伸率率%）之和。之和。如如 A因素第因素第1水平水平 K1=y1+y2+y3+y4=545+490+515+505=2055 A因素第因素第2水平水平 K2=y5+y6+y7+y8=492+485+499+480=1956，A因素第因素第3水平水平 K3=y9+y10

47、+y11+y12=566+539+511+515=2131，A因素第因素第4水平水平 K4=y13+y14+y15+y16=535+488+495+475=1993B因素第因素第1水平水平 K1=y1+y5+y9+y13=545+492+566+535=2138，B因素第因素第3水平水平K3=y3+y7+y11+y15=515+499+511+495=2020同理可求得同理可求得C因素和因素和D因素各水平试验指标之因素各水平试验指标之和。和。为各因素同一水平试验指标的平均数。为各因素同一水平试验指标的平均数。如如A因素第因素第1水平水平 =2055/4=513.75，A因素第因素第2水平水平

48、=1956/4=489.0，A因素第因素第3水平水平 =2131/4=532.75，A因素第因素第4水平水平 =1993/4=489.25，同理可求得同理可求得B、C因素各水平试验指标的平均数。因素各水平试验指标的平均数。1、计算各项平方和与自由度计算各项平方和与自由度 矫正数矫正数 C=T2/n=81352/15=4136139.063 总平方和总平方和 SST=y2-C =5452+4902+4752-4136139.063 =10167.9375 A因素平方和因素平方和 SSAA=/a-C =(20552+19562+21312+19932)/4 4136139.063=4403.687

49、5 B因素平方和因素平方和 SSBB=/b-C =(21382+20022+20202+19752)/4-4136139.063=3897.1875 C因素平方和因素平方和 SSC=T2C/c-C =(20162+19922+20212+20782)/4 4136139.063=1062.1875 D因素平方和因素平方和 SSD=T2D/d-C =(20472+20162+20212+20512)/4 4136139.063=237.6875误差平方和误差平方和 SSe=SST-SSA-SSB-SSC-SSD =10167.9375-4403.6875-3879.1875 1062.1875-

50、237.6875=585.1875 总自由度总自由度 dfT =n-1=16-1=15 A因素自由度因素自由度 dfA=ka-1=4-1=3 B因素自由度因素自由度 dfB=kb-1=4-1=3 C因素自由度因素自由度 dfC=kc-1=4-1=3D因素自由度因素自由度 dfd=kd-1=4-1=3 误差自由度误差自由度 dfe=dfT-dfA-dfB-dfC-dfd =15-3-3-3-3=3 2、列出方差分析表，进行列出方差分析表，进行F检验检验 F 检检验验结结果果表表明明，四四个个因因素素对对拉拉伸伸率率的的影影响响都都不不显显著著。究究其其原原因因可可能能是是本本例例试试验验误误差差