等差数列性质（1）.ppt

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1、或或a an n+1+1=a an n+d+d等差数列等差数列 AAAAAAAAAAAAA AAAAAAAAAAAAA 每一项与每一项与它前一项的它前一项的差差 如果一个数列从第如果一个数列从第2 2项起，项起，等于同一个常数等于同一个常数.【说明说明】数列数列 a an n 为等差数列为等差数列a an n+1+1-a an n=d=dd d=a an n+1+1-a an n公差是公差是 唯一唯一 的，是一个常数。的，是一个常数。等差数列各项对应的等差数列各项对应的点都在同一条直线上点都在同一条直线上.知识回顾知识回顾an=a1+(n-1)d一、判定题：下列数列是否是等差数列？.9，7，5

2、，3，,-2n+11，；.-1，11，23，35，,12n-13，；.1，2，1，2，；.1，2，4，6，8，10，；.a,a,a,a,，a，；：复习巩固复习巩固(1)等差数列等差数列8，5，2，的第，的第5项是项是AAAAAAAAA(2)等差数列等差数列-5，-9，-13，的第的第n项是项是A-4an=-5+(n-1).(-4)10【说明说明】在等差数列在等差数列an的通项公式中的通项公式中a1、d、an、n 任知任知三三个，个，可求出可求出另外一个另外一个二、填空题：二、填空题：简言之“知三知三求四求四”(3)已知已知an为等差数列，为等差数列，a1=3，d=2，an=21，则，则n=（1

3、 1）数列：）数列：-2-2，0 0，2 2，4 4，6 6，8 8，1010，12345678910123456789100P39例4等差数列的图象等差数列的图象1（2）数列：）数列：7，4，1，-2，12345678910123456789100等差数列的图象等差数列的图象2（1）数列：）数列：4，4，4，4，4，4，4，12345678910123456789100等差数列的图象等差数列的图象3例1 已知数列的通项公式为已知数列的通项公式为a an n=pn+qpn+q，其中，其中p,qp,q是常数，且是常数，且p0p0，那么这个数列是否一定是等，那么这个数列是否一定是等差数列吗？如果是

4、，其首项与公差是什么？差数列吗？如果是，其首项与公差是什么？分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只分析：由等差数列的定义，要判定是不是等差数列，只要看要看a an na an-1n-1(n2)是不是一个与是不是一个与n无关的常数就行了无关的常数就行了解：取数列中的任意相邻两项解：取数列中的任意相邻两项a an-1n-1与与a an n(n2)(n2)a an na an-1n-1=(pn+q)-p(n-1)+q(pn+q)-p(n-1)+q =pn+q-(pn-p+qpn+q-(pn-p+q)=p =p它是一个与它是一个与n n无关的常数，所以是等差数列，且公差是无关的常数，所以是等

5、差数列，且公差是p p在通项公式中令在通项公式中令n=1n=1，得，得a a1 1=p+qp+q,所以这个所以这个等差数列的首项是等差数列的首项是p+qp+q，公差是，公差是p p,等差数列的性质等差数列的性质P P38382 2，3 3在一个数列中在一个数列中,从第从第2 2项起项起,每一项每一项(有穷数列的有穷数列的末项除外末项除外)都是它前一项与后一项的等差中项都是它前一项与后一项的等差中项.如果如果a,A,ba,A,b成等差数列成等差数列,那么那么A A叫叫a a与与b b的等差中项的等差中项.如如:数列数列:1,3,5,7,9,11,13,:1,3,5,7,9,11,13,中中,即：

6、即：P P3737例例5 5等差数列的性质等差数列的性质思考题思考题:已知三个数成等差数列的和已知三个数成等差数列的和是是12，积是，积是48，求这三个数，求这三个数.设数技巧设数技巧已知三个数成等差已知三个数成等差 数列，且和已知时常数列，且和已知时常利用对称性利用对称性设三数为：设三数为：a-d,a,a-d,a,a+da+d四个数怎么设？四个数怎么设？P P39396 6，7 7在等差数列在等差数列中，中，为为公差，若公差，若且且求求证证：证明：证明：设首项为设首项为，则则例例2.等差数列的性质等差数列的性质P P393911 11a amm+a an n=a ap p+a aq q上面的

7、命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+a a2 2=a a3 3 成立吗？成立吗？【说明说明】3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n=，d d=1.1.a an n 为等差数列为等差数列 2.2.a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1-a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n=a a1 1+(n-n-1)1)d da an n=kn +bkn +b（k k、b b为常数）为常数）a amm+(n n-mm)d db b为为a a、c c 的等

8、差中项的等差中项2 2b=a+cb=a+c4.4.在在等差数列等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的；等差数列的性质等差数列的性质P P39398 8，10105 5.在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+a an n a a2 2+a an-n-1 1 a a3 3+a an-n-2 2 =例例2.在在等差数列等差数列an中中(1)已知已知a6+a9+a12+a15=20，求，求a1+a20(2）已知已知a3+a11=10，求求a6+a7+a8(3)已知已知a4+

9、a5+a6+a7=56，a4a7=187，求，求a14及公差及公差d.分析：由分析：由a1+a20=a6+a15=a9+a12及及a6+a9+a12+a15=20，可得可得a1+a20=10分析：分析：a3+a11=a6+a8=2a7，又已知又已知a3+a11=10，a6+a7+a8=（a3+a11）=15分析：分析：a4+a5+a6+a7=56a4+a7=28又又a4a7=187，解解、得得a4=17a7=11a4=11a7=17或或d=_2或或2,从而从而a14=_3或或31例题分析例题分析1 1.等差数列等差数列 an 的前三项依次为的前三项依次为 a-6-6，2 2a-5-5，-3-3

10、a+2 2，则则 a 等于（等于（)A.-.-1 1 B.1 1 C.-2 -2 D.2B2.在在数列数列an中中a1=1，an=an+1+4，则，则a10=2(2a-5)=(-3a+2)+(a-6-6)提示提示1:提示：提示：d=an+1an=4-353.在在等差数列等差数列an中中(1)若若a59=70，a80=112，求，求a101；(2)若若ap=q，aq=p(pq)，求，求ap+qd=2,a101=154d=-1,ap+q=0课堂练习课堂练习3005004.在在等差数列等差数列an中中,a1=83，a4=98，则这个数列有则这个数列有多少项在多少项在300到到500之间？之间？d=5

11、,提示：提示：an=78+5nn=45，46，84402.已知已知an为等差数列，若为等差数列，若a10=20，d=-1，求，求a 3?1.若若a12=23，a42=143，an=263，求，求n.3.三数成等差数列，它们的和为三数成等差数列，它们的和为12，首尾二数的，首尾二数的积为积为12，求此三数，求此三数.d=4n=72a 3=a 10+(3-10)da 3=27设这三个数分别为设这三个数分别为a-da，a+d，则，则3a=12，a2-d2=126，4，2或或2，4，6研究性问题研究性问题练习练习梯子的最高一级宽梯子的最高一级宽33cm，最低一级宽最低一级宽110cm，中间中间还有还有

12、10级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽级，各级的宽度成等差数列，计算中间各级的宽.项数（上）123456789101112数列的项数列的项33110项数（下）121110987654321分析：分析：解法一解法一:用用an题中的等差数列，由已知条件，有题中的等差数列，由已知条件，有a1=33，a12=110，n=12又又a12=a1+(121)d即即1103311d所以所以d=7因此，因此，a2=33+7=40a3=40+47a11=96+7=103答：梯子中间各级的宽从上到下依次是答：梯子中间各级的宽从上到下依次是40cm、47cm、54cm、61cm、68m、75cm、82cm、8

13、9cm、96cm、103cm.a amm+a an n=a ap p+a aq q上面的命题中的等式两边有上面的命题中的等式两边有 相相 同同 数数 目目 的项，否则不成立。如的项，否则不成立。如a a1 1+a a2 2=a a3 3 成立吗？成立吗？【说明说明】3.3.更一般的情形，更一般的情形，a an n=，d d=1.1.a an n 为等差数列为等差数列 2.2.a a、b b、c c成等差数列成等差数列 a an n+1+1-a an n=d=da an n+1+1=a=an n+d+da an n=a a1 1+(n-n-1)1)d da an n=kn +bkn +b（k k

14、、b b为常数）为常数）a amm+(n n-mm)d db b为为a a、c c 的等差中项的等差中项2 2b=a+cb=a+c4.4.在在等差数列等差数列 a an n 中，由中，由 m+n=p+q m+n=p+q 注意：注意：上面的命题的逆命题上面的命题的逆命题 是不一定成立是不一定成立 的；的；等差数列的性质等差数列的性质5 5.在等差数列在等差数列 a an n 中中a a1 1+a an n a a2 2+a an-n-1 1 a a3 3+a an-n-2 2 =前前100个自然数的和：个自然数的和：1+2+3+100=；前前n个奇数的和：个奇数的和：1+3+5+(2n-1)=；

15、前前n个偶数的和：个偶数的和：2+4+6+2n=.思考题：思考题：如何求下列和？如何求下列和？n2n(n+1)二、学习新课二、学习新课等差数列前等差数列前n 项和项和Sn=.=an2+bna、b 为常数为常数Sn=a1+a2+a3+an-2+an-1+an (1)Sn=an+an-1+an-2+a3+a2+a1(2)(1)+(2)得得2Sn=n(a1+an)【说明说明】推导等差数列的前推导等差数列的前n项和公式的方法叫项和公式的方法叫；等差数列的前等差数列的前n项和公式类同于项和公式类同于；an为等差数列为等差数列，这是一个关于，这是一个关于的的没有没有的的“”倒序相加法倒序相加法梯形的面积公

16、式梯形的面积公式Sn=an2+bnn常数项常数项二次函数二次函数（注意注意a 还还可以是可以是0）例例1已知数列已知数列an中中Sn=2n2+3n，求证：求证：an是等差数列是等差数列.等差数列等差数列an的首项为的首项为a1，公差为公差为d，项数为项数为n，第，第n项为项为an，前，前n项和为项和为Sn，请填写下表：请填写下表：三、课堂练习三、课堂练习 a1dnan sn51010-2502550-38-10-36014.526329550010022150.7604.5例例2如图，一个堆放铅笔的如图，一个堆放铅笔的V形架的最下面一层放形架的最下面一层放1支支铅笔，铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放上面一层放120支支.这个这个V形架上共放着多少支铅笔？形架上共放着多少支铅笔？