24证明（二）.ppt

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1、证证 明（二）明（二）本课内容本节内容2.4w证明命题的一般步骤证明命题的一般步骤:w(1)根据题意根据题意,画出图形；画出图形；w(2)分清命题的条件和结论，结合图形，在分清命题的条件和结论，结合图形，在“已已知知”中写出条件，在中写出条件，在“求证求证”中写出结论；中写出结论；w(3)在在“证明证明”中写出推理过程中写出推理过程.依据思路依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程；地写出证明过程；检查表达过程是否正确、完善检查表达过程是否正确、完善.动脑筋动脑筋例例3 3、证明命题、证明命题：角平分线上一点到这个角两边相等。角平分线上一点到这个角两

2、边相等。已知：如图已知：如图OP是是AOB的角平分线，点的角平分线，点P是是OP上上任意一点，且任意一点，且PDOB，PEOA，垂足为，垂足为D和和E，求证：求证：PD=PE证明：OP是AOB的角平分线（已知）AOP=BOP（角平分线的定义）PD=PE（全等三角形对应边相等）PDO PEO(AAS)又OP=OP（公共边）PDO=PEO=900(垂直的定义)PDOA，PEOB，(已知)证明过程中的每一步推理都要有依据，依据作为推理的理由可以写在每一步后的括号内.请说出上述命题的逆命题，并进行证明请说出上述命题的逆命题，并进行证明.做一做做一做 证明：有两个角相等的三角形是等腰三角形证明：有两个角

3、相等的三角形是等腰三角形 w已知：如图已知：如图2-62-6，在，在ABCABC中，中，B=C.B=C.w求证：求证：AB=AC.AB=AC.证明证明:已知：如图已知：如图2-6，在，在ABC中，中，B=C.求证：求证：AB=AC.证明证明 作边作边BC上的高上的高AD.在在ABD与与ACD中，中，=，()=，()=，()()ABD ACD.()从而从而 AB=AC.()BC已知已知ADBADC90凡直角都相等凡直角都相等ADADAAS公共边相等公共边相等对应边相等对应边相等D3.已知：如图已知：如图2-7，ABC的两个外角的两个外角EBC，FCB 的角平分线相交于点的角平分线相交于点P 求证

4、：点求证：点P在在A的平分线上的平分线上提示提示:过点过点P P 作作PNPNAFAF于于N N，PMPMBCBC于于M M，PDPDAEAE于于D D，再利用角的平分性质证再利用角的平分性质证PN=PDPN=PD，则则P P在在A A的平分线上的平分线上.图图2-7DNM1 1、分析下列命题的条件和结论，画出符合题意、分析下列命题的条件和结论，画出符合题意 的图形，并写出已知、求证（不需要证明）的图形，并写出已知、求证（不需要证明）命题命题“全等三角形对应边上的高相等全等三角形对应边上的高相等”做一做做一做平行四边形平行四边形ABCD的两条对角线的交点为的两条对角线的交点为O，过点，过点O作

5、作一条直线分别与边一条直线分别与边AB，DC交于点交于点E，F.OE=OF吗吗？你能给出证明吗？你能给出证明吗？动脑筋动脑筋OE=OF.图图2-8举举例例例例4 已知：在已知：在ABC中，边中，边AB，BC，AC的的 中点分别为中点分别为D，E，F，连结，连结DF，FE.求证：（求证：（1）四边形）四边形BEFD是平行四边形；是平行四边形；（2）四边形）四边形BEFD的周长等于的周长等于AB+BC.做一做做一做已知：在已知：在ABC中，中，D，E，F分别是边分别是边 AB，AC，BC的中点，连结的中点，连结DE，AF 求证：求证：AF与与DE互相平分互相平分 结论结论由此我们可以得到下面的结论

6、：由此我们可以得到下面的结论：三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分三角形的一条中位线与第三边上的中线互相平分.已知：在等腰梯形已知：在等腰梯形ABCD中，上底中，上底DC的中点为的中点为E，连结，连结EA、EB求证：求证：EA=EBABCDE要证要证EAEB，而而EA，EB分别位于分别位于ADE 和和BCE 中中，所以只需证所以只需证ADE BCE即可即可例例5 证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的证明：等腰梯形上底的中点与下底两端点的距离相等距离相等分析举举例例做一做做一做 剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一条剪一个三角形纸片，用折叠的方法找出每一条边的垂直平分线，从三条折痕看出

7、，它们是否相交边的垂直平分线，从三条折痕看出，它们是否相交于一点？由此你能作出什么猜测？你能证明这个猜于一点？由此你能作出什么猜测？你能证明这个猜测为真吗？测为真吗？思路：思路：证三角形两条边的垂直平分线的交点在第三条边的垂证三角形两条边的垂直平分线的交点在第三条边的垂直平分线上直平分线上求证：点求证：点O在边在边AC的垂直平分线上的垂直平分线上要证要证O 点在点在 AC 的垂直平分线上的垂直平分线上，只需让只需让 OA=OC 即可即可而而 OD 、OE 分别为分别为 AB、BC 的的垂直平分线垂直平分线，从而从而 OA=OB=OCBECADO分析：举举例例例例6 已知：如图已知：如图2-12

8、，在，在ABC中，边中，边AB，BC的的 垂直平分线相交于点垂直平分线相交于点O 求证：点求证：点O在边在边AC的垂直平分线上的垂直平分线上 结论结论从例从例6 6立即得到立即得到:三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等且这一点到三个顶点的距离相等（）证线段相等，通过证三角形全等得出（）证线段相等，通过证三角形全等得出（）三角形三条边的垂直平分线交于一点，（）三角形三条边的垂直平分线交于一点，交点叫垂心交点叫垂心小结与复习小结与复习中考中考 试题试题例例1 如图如图1，已知：在，已知：在ABC中，中，AB=AC，在，在AB上取点

9、上取点D，又在，又在AC延长线上取点延长线上取点E，使，使CE=BD，连接，连接DE交交BC于于G点点.求证：求证：DG=GE.解解过点过点D作作DFAC交交BC于于F点点.DFAC,DFB=ACB.又又AB=AC,B=ACB.B=DFB.DF=DB.BD=CE,DF=CE.DFCE.DFG=ECG.在在DFG和和ECG中，中，DFGECG(AAS).).DG=GE.DGF=EGC，DFG=ECG,DF=EC,中考中考 试题试题例例2 如图，已知：如图，已知：AD=BC，AB=DC，DE=BF.求证：求证：BE=DF.解解连接连接BD，在在ABD与与CBD中，中，ABDCBD(SSS).A=C.AD=BC,DE=BF,AD+DE=BC+BF.即即AE=CF.在在ABE与与CDF中，中，ABECDF(SAS).BE=DF.AD=CB，AB=CD,DB=BD,AE=CF，A=C,AB=CD,中考中考 试题试题例例3 如图，点如图，点C、D在在ABE的边的边BE上，上，BC=ED，AB=AE.求证：求证：AC=AD.解解过点过点A作作AFBE,垂足为点垂足为点F.AB=AE，BF=EF.又又BC=ED，CF=DF,AF垂直平分垂直平分CD，AC=AD.