85直线与圆锥曲线的位置关系（第1课时）.ppt

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1、第八章第八章 圆锥曲线方程圆锥曲线方程第 讲（第一课时）（第一课时）1考点考点搜索搜索直线与圆锥曲线公共点的个数的判定直线与圆锥曲线公共点的个数的判定弦长公式，中点弦、焦点弦弦长公式，中点弦、焦点弦直线与圆锥曲线的方程及其几何性质直线与圆锥曲线的方程及其几何性质高考高考猜想猜想1.通过直线与圆锥曲线的位置关系，求曲通过直线与圆锥曲线的位置关系，求曲线的方程线的方程.2.根据直线与圆锥曲线的位置关系研究有根据直线与圆锥曲线的位置关系研究有关性质关性质.21.设直线设直线l的方程为的方程为:Ax+By+C=0，圆锥曲线，圆锥曲线方程为方程为f(x，y)=0.由由 消去消去x(或或y).如消去如消去

2、y后得后得ax2+bx+c=0(注意：若注意：若f(x,y)=0表示椭圆，则方程中表示椭圆，则方程中a0)，为此有：，为此有：(1)若若a=0,当圆锥曲线是双曲线时当圆锥曲线是双曲线时,直线直线l与双与双曲线的渐近线曲线的渐近线_;当圆锥曲线是抛物当圆锥曲线是抛物线时线时,直线直线l与抛物线的对称轴与抛物线的对称轴_.平行或重合平行或重合平行或重合平行或重合3(2)若若a0，=b2-4ac.当当0时，直线与圆锥曲线时，直线与圆锥曲线_;当当=0时，直线与圆锥曲线时，直线与圆锥曲线_;当当b0)时时,k=_;当曲线当曲线C为双曲线为双曲线 (a0，b0)时，时，k=_;当当曲线曲线C为抛物线为抛

3、物线y2=2px(p0)时时，k=_.61.已知双曲线已知双曲线C：过点过点P(1，1)作作直线直线l，使，使l与与C有且只有一个公共点，则满足有且只有一个公共点，则满足上述条件的直线上述条件的直线l共有共有()A.1条条 B.2条条C.3条条 D.4条条解：解：数形结合法，与渐近线平行、与抛数形结合法，与渐近线平行、与抛物线相切，选物线相切，选D.D72.已知对已知对kR,直线直线y-kx-1=0与椭圆与椭圆 恒有公共点，则实数恒有公共点，则实数m的取值范围是的取值范围是()A.(0，1)B.(0，5)C.1，5)(5，+)D.1，5)解：解：直线直线y-kx-1=0恒过点恒过点(0，1)，

4、仅当点，仅当点(0，1)在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆在椭圆上或椭圆内时，此直线才恒与椭圆有公共点有公共点.所以所以 1且且m0，m5得得m1且且m5.故选故选C.C83.过抛物线过抛物线y2=4x焦点的直线交抛物焦点的直线交抛物线于线于A、B两点两点,已知已知|AB|=8,O为坐标原点为坐标原点,则则OAB的重心的横坐标为的重心的横坐标为_.解：解：由题意知抛物线焦点为由题意知抛物线焦点为F(1，0).易知易知x=1，不满足，不满足|AB|=8,所以设过焦点所以设过焦点F(1，0)的直线为的直线为y=k(x-1)(k0)，A(x1，y1)，B(x2，y2).将直线方程代入抛物线方程消去

5、将直线方程代入抛物线方程消去y，得得k2x2-2(k2+2)x+k2=0.29因为因为k20，所以，所以 x1x2=1.因为因为所以所以k2=1.所以所以OAB的重心的横坐标为的重心的横坐标为101.已知直线已知直线l的一个方向向量为的一个方向向量为(1，tan)，且过点且过点(-，0)，l交椭圆交椭圆x2+9y2=9于于A、B两点，两点，若若为为l的倾斜角，且的倾斜角，且|AB|的长不小于短轴的长，的长不小于短轴的长，求求的取值范围的取值范围.解：解：依题意依题意l的方程为的方程为y=tan(x+).题型题型1 圆锥曲线的弦长问题圆锥曲线的弦长问题11将将l的方程与椭圆的方程联立，消去的方程

6、与椭圆的方程联立，消去y，得得则则所以所以由由|AB|2，得，得所以所以所以所以的取值范围是的取值范围是12点点评评：求求解解关关于于弦弦长长问问题题的的主主要要步步骤骤是是：联联立立方方程程组组，消消去去一一个个未未知知数数，得得到到一一元元二二次次方方程程，然然后后由由韦韦达达定定理理将将弦弦长长转转化化为为方方程程系系数数的的式式子子，便便获获得得所所求求问问题题的的解解.本本题题由由于于l的的方方程程由由tan给给出出，所所以以可可以以认认定定 ，否否则则涉涉及及弦弦长长计计算算时时，还还应应讨论讨论=时的情况时的情况.13 设设直直线线l过过双双曲曲线线 的的一一个个焦焦点点，交交双

7、双曲曲线线于于A、B两两点点，O为为坐坐标标原点原点.若若 求求|AB|的值的值.解解：不不妨妨设设直直线线AB过过右右焦焦点点F(2，0)，其斜率为其斜率为k，则直线，则直线AB的方程为的方程为y=k(x-2).代入双曲线方程，得代入双曲线方程，得3x2-k2(x-2)2=3，即即(3-k2)x2+4k2x-4k2-3=0.设点设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则则14从而从而y1y2=k2(x1-2)(x2-2)=k2x1x2-2(x1+x2)+4=因为因为 即即x1x2+y1y2=0，所以所以 解得解得此时此时=16k4+4(3-k2)(4k2+3)0.15又当又当ABx轴时轴时,

8、点点A(2,3),B(2,-3)不满足条件，不满足条件，所以所以所以所以162.已知定点已知定点F(1,0),过过F作抛物线作抛物线E：y2=4x的两的两条互相垂直的弦条互相垂直的弦AB、CD，设，设AB、CD的中点分别的中点分别为为G、H.求证：直线求证：直线GH必过定点必过定点Q(3，0).证明：证明：设设A(xA，yA)，B(xB，yB)，G(xG，yG)，H(xH，yH)，直线，直线AB的方程为的方程为y=k(x-1)，则则 .由由-，得，得yA+yB=，即，即yG=.题型题型2 圆锥曲线的中点弦问题圆锥曲线的中点弦问题17代入方程代入方程y=k(x-1)，解得，解得所以点所以点G的坐

9、标为的坐标为同理可得点同理可得点H的坐标为的坐标为(2k2+1，-2k).故直线故直线GH的斜率为的斜率为所以其方程为所以其方程为整理得整理得y(1-k2)=k(x-3).不论为何值，不论为何值，(3，0)均满足上述方程，均满足上述方程，所以，直线所以，直线GH必过定点必过定点Q(3，0).18点点评评：解解决决与与中中点点弦弦有有关关的的问问题题，一一般般采采用用“点点差差法法”，即即先先将将弦弦端端点点的的坐坐标标代代入入圆圆锥锥曲曲线线的的方方程程，然然后后两两方方程程相相减减，得得到到弦弦中中点点的的坐坐标标及及连连线线斜斜率率的的式式子子.同同时时，利利用用中中点点与与定定点点连连线

10、线的的斜斜率率与与两两交交点点连连线线的的斜斜率率相相等等，由由此此得得到到相相应应的的式式子子，可使问题获解可使问题获解.19 已知双曲线的方程是已知双曲线的方程是2x2-y2=2.(1)求求以以A(2,1)为为中中点点的的双双曲曲线线的的弦弦所所在在的的直线方程；直线方程；(2)过过点点B(1,1)能能否否作作直直线线l，使使l与与所所给给双双曲曲线线交交于于Q1、Q2两两点点，且且点点B是是弦弦Q1Q2的的中中点点？这这样样的的直直线线l如如果果存存在在，求求出出它它的的方方程程；如如果不存在，说明理由果不存在，说明理由.解解：(1)设设以以A(2,1)为为中中点点的的弦弦两两端端点点分

11、分别别为为P1(x1,y1),P2(x2,y2)，则有则有x1+x2=4,y1+y2=2.20又由对称性知又由对称性知x1x2，所以，所以 是中点弦是中点弦P1P2所在直线的斜率所在直线的斜率.由由P1、P2在双曲线上在双曲线上,则有则有2x12-y12=2,2x22-y22=2.两式相减得两式相减得2(x1+x2)(x1-x2)-(y1+y2)(y1-y2)=0,所以所以24(x1-x2)-2(y1-y2)=0,所以所以所求中点弦所在的直线方程为所求中点弦所在的直线方程为y-1=4(x-2)，即即4x-y-7=0.21(2)可假定直线可假定直线l存在，同理，存在，同理，求得求得l的方程为的方

12、程为y-1=2(x-1)，即，即2x-y-1=0.联立方程联立方程消去消去y,得得2x2-4x+3=0,然而方程的判别式然而方程的判别式=(-4)2-423=-80，无实根，无实根，因此直线因此直线l与双曲线无交点，这一矛盾说与双曲线无交点，这一矛盾说明了满足条件的直线明了满足条件的直线l不存在不存在.22如图如图,已知椭圆已知椭圆与抛物线与抛物线(y-m)2=x的公共的公共 弦弦AB经过椭圆的右焦点经过椭圆的右焦点F，且抛物线的焦点也在弦且抛物线的焦点也在弦AB上，求上，求m的值的值.解：解：由椭圆方程知，点由椭圆方程知，点F(1，0).据题意，直线据题意，直线AB不与不与x轴垂直，从而可设

13、轴垂直，从而可设直线直线AB的方程为的方程为y=k(x-1)，题型题型 圆锥曲线的焦点弦问题圆锥曲线的焦点弦问题23代入代入 整理得整理得(4k2+3)x2-8k2x+4k2-12=0.设点设点A(x1,y1),B(x2,y2),则则因为因为AB是椭圆的焦点弦，所以是椭圆的焦点弦，所以又又AB是抛物线的焦点弦，是抛物线的焦点弦，所以所以24从而有从而有所以所以 于是于是 得得k2=6，所以，所以因为抛物线的焦点因为抛物线的焦点 在直线在直线AB上，上，所以所以251.在在解解析析几几何何中中，直直线线与与圆圆锥锥曲曲线线的的位位置置关关系系可可以以转转化化为为二二元元二二次次方方程程组组的的解

14、解的的问问题题进进行行讨讨论论，但但直直线线与与曲曲线线只只有有一一个个交交点点时时须须除除去去如如下下两两种种情情况况，此此直直线线才才是是曲曲线线的的切切线线：一一是是直直线线与与抛抛物物线线的的对对称称轴轴平平行行；二二是是直线与双曲线的渐近线平行直线与双曲线的渐近线平行.2.斜斜率率为为k的的直直线线被被圆圆锥锥曲曲线线截截得得弦弦AB，若若A、B两两点点的的坐坐标标分分别别为为A(x1，y1)、B(x2，y2)，26则则 利利用用这这个个公公式式求求弦长时，应注意应用韦达定理弦长时，应注意应用韦达定理.3.与与焦焦点点弦弦长长有有关关的的问问题题，要要注注意意应应用用圆圆锥曲线的定义求解锥曲线的定义求解.4.涉涉及及中中点点弦弦问问题题，可可以以利利用用判判别别式式和和韦韦达达定定理理的的方方法法加加以以解解决决，也也可可利利用用“点点差差”的的方方法法解解决决此此类类问问题题.若若知知道道中中点点，则则利利用用“点点差差”的的方方法法可可以以得得出出过过中中点点弦弦的的直直线线的的斜斜率率.比比较较两两种种方方法法，用用“点点差差”的的方方法法计计算算量量较较少少，此此法法在在解解决决有有关关存存在在性性问问题题时时，要要结结合合图图形形和和判判别式别式加以检验加以检验.27