同级高数第6章课件第1节.ppt

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1、第三节第三节 定积分在物理学上的应用定积分在物理学上的应用一、变力沿直线所作的功Fabxx+dxF常力常力 F 沿直线对物体所作的功为：沿直线对物体所作的功为：W=F S若力是变力：若力是变力：计算电场力计算电场力 F 对它所作的功对它所作的功 例例1 把一个带把一个带+q 电量的点电荷放在电量的点电荷放在 r 轴上坐标轴上坐标原点处，原点处，它产生一个电场它产生一个电场这个电场对周围的这个电场对周围的电荷有作用力电荷有作用力若一个单位正电荷放在这个电场若一个单位正电荷放在这个电场中距离原点为中距离原点为 r 的地方，的地方，那么电场对它的作用力那么电场对它的作用力的大小为的大小为（k是常数）

2、，是常数），当这个单位当这个单位正电荷在电场中从正电荷在电场中从r=a 处处 沿沿 r 轴移动到轴移动到 r=b处时，处时，解解功元素功元素所求功为所求功为如果要考虑将单位电荷移到无穷远处如果要考虑将单位电荷移到无穷远处取取r为积分变量，为积分变量，取任一小区间取任一小区间 r,r+dr,解解建立坐标系如图建立坐标系如图这一薄层水的重力为这一薄层水的重力为功元素为功元素为(千焦千焦)例例2 一圆柱形蓄水池高为一圆柱形蓄水池高为5米，底半径为米，底半径为3米，米，满了水满了水.问要把池内的水全部吸出，需作多少？问要把池内的水全部吸出，需作多少？池内盛池内盛取取x为积分变量为积分变量 取任一小区间

3、取任一小区间 x,x+dx,解解 设木板对铁钉的阻力为设木板对铁钉的阻力为第一次锤击时所作的功为第一次锤击时所作的功为问第问第n 次锤击时又将铁钉击入多少？次锤击时又将铁钉击入多少？设设n次击入的总深度为次击入的总深度为h 厘米厘米n次锤击所作的总功为次锤击所作的总功为例例3 3 用铁锤把钉子钉入木板，用铁锤把钉子钉入木板，设木板对铁钉的阻力设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板的深度成正比，与铁钉进入木板的深度成正比，铁锤在第一次锤击铁锤在第一次锤击时将铁钉击入时将铁钉击入1厘米，厘米，若每次锤击所作的功相等，若每次锤击所作的功相等，依题意知，每次锤击所作的功相等依题意知，每次锤击所作的功相等n次

4、击入的总深度为次击入的总深度为第第n 次击入的深度为次击入的深度为是水的比重是水的比重二、水压力那么，平板一侧所受的水压力为那么，平板一侧所受的水压力为F=pA 在水深为在水深为h处的压强为处的压强为如果有一面积为如果有一面积为A的平板的平板,水平地放置在水深为水平地放置在水深为h处，处，问题：问题：如果平板垂直放置在水中，如果平板垂直放置在水中，求平板一侧所受的水压力求平板一侧所受的水压力 解解 在端面建立坐标系如图在端面建立坐标系如图计算桶的一端面上所受的压力计算桶的一端面上所受的压力例例4 一个横放着的圆柱形水桶，一个横放着的圆柱形水桶，桶内盛有半桶水，桶内盛有半桶水，设桶的底半径为设桶

5、的底半径为R，水的比重为水的比重为取取x为积分变量为积分变量 取任一小区间取任一小区间 x,x+dx,小矩形片上各处的压强小矩形片上各处的压强近似相等近似相等小矩形片的面积为小矩形片的面积为 小矩形片的压力元素为小矩形片的压力元素为 端面上所受的压力端面上所受的压力 解解 建立坐标系如图建立坐标系如图面积元素面积元素求薄板所受的侧压力求薄板所受的侧压力 例例5 将直角边各为将直角边各为a及及2a的直角三角形薄板垂的直角三角形薄板垂直地浸人水中，斜边朝下，直地浸人水中，斜边朝下，直角边的边长与水面直角边的边长与水面平行，平行，且该边到水面的距离恰等于该边的边长，且该边到水面的距离恰等于该边的边长

6、，质点质点M，三、引 力引力的方向沿着两质点的连线方向引力的方向沿着两质点的连线方向质量分别为质量分别为相距为相距为 r 的两个质点间的两个质点间的引力的大小为的引力的大小为其中其中k为引力系数，为引力系数，例例6 有一长度为有一长度为l、线密度为线密度为 的均匀细棒，的均匀细棒，在其中垂线上距棒在其中垂线上距棒 a 单位处有一质量为单位处有一质量为 m 的的计算该棒对质点计算该棒对质点 M 的引力的引力解解小段的质量为小段的质量为小段与质点的距离为小段与质点的距离为引力引力取取y为积分变量为积分变量取任一小区间取任一小区间 y,y+dy (1)平面图形的面积平面图形的面积直角坐标情形直角坐标

7、情形 本章小结本章小结基本方法：基本方法：元素法元素法如果曲边梯形的曲边为参数方程如果曲边梯形的曲边为参数方程曲边梯形的面积曲边梯形的面积参数方程所表示的函数参数方程所表示的函数极坐标情形极坐标情形(2)体积体积xyo平行截面面积为已知的立体的体积平行截面面积为已知的立体的体积(3)平面曲线的弧长平面曲线的弧长弧长弧长A曲线弧为曲线弧为弧长弧长B曲线弧为曲线弧为弧长弧长C曲线弧为曲线弧为(4)变力所作的功变力所作的功(5)水压力水压力(7)旋转体的侧面积旋转体的侧面积xyo(6)引力引力(8)细棒的质量细棒的质量(9)转动惯量转动惯量二、典型例题二、典型例题例例1 1解解由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有由对称性由对称性,有有例例2 2解解如图所示建立坐标系如图所示建立坐标系.于是对半圆上任一点于是对半圆上任一点,有有故所求速度为故所求速度为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为故将满池水全部提升到池沿高度所需功为例例3 3解解如图建立坐标系如图建立坐标系,此闸门一侧受到静水压力为此闸门一侧受到静水压力为练习：若练习：若1（kg）的力能使弹簧伸长的力能使弹簧伸长1(cm),现在要使弹簧伸长现在要使弹簧伸长10(cm),问需要做多少功？问需要做多少功？解：解：F(x)=kx（千克厘米）（千克厘米）