第三章静电场的边值问题.ppt

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1、第三章第三章 静电场的边值问题静电场的边值问题 主主 要要 内内 容：容：电位微分方程（泊松方程、拉普拉斯方程），三类边值电位微分方程（泊松方程、拉普拉斯方程），三类边值问题，镜像法，分离变量法。问题，镜像法，分离变量法。3-13-1 电位微分方程电位微分方程已知，电位已知，电位 与电场强度与电场强度 E 的关系为的关系为 对上式两边取散度，得对上式两边取散度，得 对于线性各向同性的均匀介质，电场强度对于线性各向同性的均匀介质，电场强度 E 的散度为的散度为 1.1.泊松方程和拉普拉斯方程泊松方程和拉普拉斯方程1那么，线性各向同性的均匀介质中，电位满足的微分方程式为那么，线性各向同性的均匀介质

2、中，电位满足的微分方程式为 该方程称为该方程称为泊松方程泊松方程。对于无源区，上式变为对于无源区，上式变为 上式称为上式称为拉普拉斯方程拉普拉斯方程。2.2.边值问题边值问题静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及静电场的场量与时间无关，因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的解空间任一点的电位就是静电场的边值问题边值问题。2 通常给定的边界条件有三种类型：通常给定的边界条件有三种类型：第一类边界条件给定的是边界上的电位，这种边值问题又称为第一类边界条件给定的是

3、边界上的电位，这种边值问题又称为狄狄利克雷利克雷问题。问题。第二类边界条件是给定边界上电位的法向导数值，这种边值问题第二类边界条件是给定边界上电位的法向导数值，这种边值问题又称为又称为诺依曼诺依曼问题。问题。第三类边界条件是给定一部分边界上的电位及另一部分边界上电第三类边界条件是给定一部分边界上的电位及另一部分边界上电位的法向导数值，这种边界条件又称为位的法向导数值，这种边界条件又称为混合混合边界条件。边界条件。静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的静电场的边界通常是由导体形成的。此时，若给定导体上的电位值就是第一类边界。电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导已知

4、导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为数的关系为 ，可见，表面电荷给定等于给定了电位的，可见，表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。法向导数值。因此，给定导体上的电荷就是第二类边界。因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的因此，对于导体边界的静电场问题，当边界上的电位电位，或电，或电位的位的法向导数法向导数给定时，或导体给定时，或导体表面电荷表面电荷给定时，空间的静电场即给定时，空间的静电场即被惟一地确定被惟一地确定。这个结论称为。这个结论称为静电场惟一性定理静电场惟一性定理。该定理适用于。该定理适用于非线性介质。非线性介质。3证明唯一性定理证明唯一性

5、定理：（反证法）：（反证法）设静电场存在的区域为V，其边界表面为S，如果在给定的第一类或第二类边界条件时，V中存在两个电位及均满足泊松方程，即令：，则有利用第一标量格林定理，并令，有1、如给定边界的电位，即边界S上的电位差即为0。则即所以，区域V中不可能存在两个电位。得证。2、如给定边界的电位的法向导数，同理可证。43-2 镜像法镜像法 实质实质:是以一个或几个是以一个或几个等效电荷等效电荷代替边界的影响，将原来具代替边界的影响，将原来具有边界的有边界的非均匀非均匀空间变成无限大的空间变成无限大的均匀均匀自由空间，从而使计算过自由空间，从而使计算过程大为简化。程大为简化。依据：依据：惟一性定理

6、。因此，等效电荷的引入必须维持原来的惟一性定理。因此，等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定边界条件不变，从而保证原来区域中静电场没有改变，这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位镜像位置置，因此称为，因此称为镜像电荷镜像电荷，而这种方法称为，而这种方法称为镜像法镜像法。关键：关键：确定镜像电荷的大小及其位置。确定镜像电荷的大小及其位置。局限性：局限性：边界必须是封闭的，才有可能确定其镜像电荷。边界必须是封闭的，才有可能确定其镜像电荷。镜像法是求解静电场问题的一种方法。镜像法

7、是求解静电场问题的一种方法。51.点电荷与无限大的导体平面。点电荷与无限大的导体平面。介质 导体 q r P 介质 q r P（x,y,z）hh 介质 以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响，使整个空间变成均匀的介电常数为变成均匀的介电常数为 的空间，则空间任一点的空间，则空间任一点 P 的电位由的电位由 q 及及 q 共同产生，即共同产生，即 考虑到无限大导体平面的电位为零考虑到无限大导体平面的电位为零，求得，求得在平面边界上任一点在平面边界上任一点,有有6 电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半电场线与等位面的分布特性与第

8、二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。部分完全相同。由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体由此可见，电场线处处垂直于导体平面，而零电位面与导体表面吻合。表面吻合。电场线等位线 z 7 电电荷荷守守恒恒：当当点点电电荷荷q 位位于于无无限限大大的的导导体体平平面面附附近近时时，导导体体表表面面将将产产生生异异性性的的感感应应电电荷荷，因因此此，上上半半空空间间的的电电场场取取决决于于原原先先的的点点电电荷荷及及导导体体表表面面上上的的感感应应电电荷荷。可可见见，上上述述镜镜像像法法的的实实质质是是以以一一个个异异性性的的镜镜像像点点电电荷荷代代替替导导体体表表面面上上异异性性的的感

9、感应应电电荷荷的的作作用用。根根据据电电荷荷守守恒恒原原理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。理，镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量。半半空空间间等等效效：上上述述等等效效性性仅仅对对于于导导体体平平面面的的上上半半空空间间成成立立，因因为为在上半空间中，源及边界条件未变。在上半空间中，源及边界条件未变。8q 对对于于半半无无限限大大导导体体平平面面形形成成的的劈劈形形边边界界也也可可应应用用镜镜像像法法。但但是是仅仅当当这这种种导导体体劈劈的的夹夹角角等等于于 的的整整数数分分之之一一时时，才才可可求求出出其其镜镜像像电电荷荷。为为了了保保证证这这种种劈劈形形边边界界的

10、的电电位位为为零零，必必须须引引入入几几个个镜镜像像电电荷荷。例如，夹角为例如，夹角为 的导电劈需引入的导电劈需引入 5 5 个镜像电荷。个镜像电荷。/3/3q 连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加连续分布的线电荷位于无限大的导体平面附近时，根据叠加原理得知，同样可以应用镜像法求解。原理得知，同样可以应用镜像法求解。9fqo（2）点电荷与导体球面。）点电荷与导体球面。Padrq 若导体球若导体球接地接地，导体球的电位，导体球的电位为零。为了等效导体球边界的影响，为零。为了等效导体球边界的影响，令镜像点电荷令镜像点电荷q 位于球心与点电荷位于球心与点电荷 q 的连线上。那么，球面

11、上任一点的连线上。那么，球面上任一点电位为电位为 为了确定为了确定q 和和 d，则有则有 另外，另外，比值比值 对球面上任一点必须具有同一数值。因此，对球面上任一点必须具有同一数值。因此，10镜像电荷离球心的距离镜像电荷离球心的距离d 应为应为 这样，这样，球外空间球外空间任一点的电位为任一点的电位为 fqOPadrq由此获知镜像电荷的大小由此获知镜像电荷的大小在球坐标系下考虑，球心为原点，在球坐标系下考虑，球心为原点，z 轴与轴与oq重重合，则可求得球外任一点的电场强度合，则可求得球外任一点的电场强度同样的，总的感应电荷等于镜像电荷。同样的，总的感应电荷等于镜像电荷。11 若导体球若导体球不

12、接地不接地，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电，则位于点电荷一侧的导体球表面上的感应电荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的荷为负值，而另一侧表面上的感应电荷为正值。导体球表面上总的感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜感应电荷应为零值。因此，对于不接地的导体球，若引入上述的镜像电荷像电荷 q 后，后，为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷为了满足电荷守恒原理，必须再引入一个镜像电荷q，且必须令且必须令 显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷显然，为了保证球面边界是一个等位面，镜像电荷 q“必须位必须位于于球心球心。事实上，由于导体球不接

13、地，因此，其电位不等零。由。事实上，由于导体球不接地，因此，其电位不等零。由q 及及q在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷在球面边界上形成的电位为零，因此必须引入第二个镜像电荷q“以提供一定的电位。以提供一定的电位。球外空间球外空间任意点的电位由这三个电荷共同决定。任意点的电位由这三个电荷共同决定。12l（3）无限长无限长线电荷与线电荷与无限长无限长带电的导体圆柱面。带电的导体圆柱面。Pafdr-lO 在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离在圆柱轴线与线电荷之间，离轴线的距离d 处，平行放置一根镜处，平行放置一根镜像线电荷像线电荷 。已知无限长线电荷产生的电场强度为。已知无限长

14、线电荷产生的电场强度为 以圆柱表面为电位参考点，则柱外任意点的电位表示为以圆柱表面为电位参考点，则柱外任意点的电位表示为13对于柱面上任意一点对于柱面上任意一点P P（a，），），有有由边界条件由边界条件 ，可求得可求得柱外任意点的电位为柱外任意点的电位为14 （4）点电荷与无限大的介质平面。）点电荷与无限大的介质平面。E 1 1qr0EEtEnq 2 2qE 1 2qeten=+为了求解上半空间的场可用镜像电荷为了求解上半空间的场可用镜像电荷 q 等效边界上束缚电等效边界上束缚电荷的作用，将整个空间变为介电常数为荷的作用，将整个空间变为介电常数为1 的均匀空间。对于下的均匀空间。对于下半空间

15、，可用位于原点电荷处的半空间，可用位于原点电荷处的q 等效原来的点电荷等效原来的点电荷q 与边界与边界上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为上束缚电荷的共同作用，将整个空间变为介电常数为2 的均匀的均匀空间。空间。15 但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向但是，必须迫使所求得的场符合原先的边界条件，即电场切向分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即分量保持连续，电位移的法向分量应该相等，即 已知各个点电荷产生的电场强度分别为已知各个点电荷产生的电场强度分别为代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：代入上述边界条件，求得镜像电荷如下：16镜像法镜像法n 依据：惟一性定理依

16、据：惟一性定理n 实质：实质：用镜像电荷代替感应电荷的作用用镜像电荷代替感应电荷的作用n 要点：要点：镜像电荷在求解区域之外镜像电荷在求解区域之外引入镜像电荷后，非均匀空间变成了无限大的均匀空间引入镜像电荷后，非均匀空间变成了无限大的均匀空间n 关键：确定镜像电荷的大小和位置关键：确定镜像电荷的大小和位置17 例例 3-3-1 已知同轴线的内导体半径为已知同轴线的内导体半径为a，电位为电位为U，外导体接地，其，外导体接地，其内半径为内半径为b。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。试求内外导体之间的电位分布函数以及电场强度。解解 对对于于这这种种边边值值问问题题，镜镜像像法法不不适适用用

17、，只只好好求求解解电电位位方方程程。为为此此，选选用用圆圆柱柱坐坐标标系系。由由于于场场量量仅仅与与坐坐标标 r 有有关关，因因此此，电电位位所所满满足足的的拉拉普普拉拉斯斯方方程程在在圆圆柱柱坐坐标标系系中中的的展展开开式式只只剩剩下下包包含含变变量量r 的的一一项项，即即电电位微分方程为位微分方程为求得求得VbaO18利用边界条件：利用边界条件：求得求得最后求得最后求得19 从以上求解静电场边值问题的方法来看，镜像法求解方便，但有局从以上求解静电场边值问题的方法来看，镜像法求解方便，但有局限性。对于同轴线的静电场边值问题的求解。其电位函数仅与一个坐标限性。对于同轴线的静电场边值问题的求解。

18、其电位函数仅与一个坐标变量变量 r 有关，也就是说，原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，有关，也就是说，原先的三维拉普拉斯方程简化为一维微分方程，因而可采用因而可采用直接积分方法直接积分方法求解这类边值问题。求解这类边值问题。但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求但一般说来，静电场的边值问题与空间三个坐标变量有关。为了求解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是解三维拉普拉斯方程，一种有效的方法就是分离变量法分离变量法。分离变量法分离变量法是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三是将原先的三维偏微分方程通过变量分离简化为三个独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。个

19、独立的常微分方程，从而使求解过程比较简便。应用分离变量法，关键的问题是应用分离变量法，关键的问题是选择适当的坐标系选择适当的坐标系。203-4 直角坐标系中的分离变量法直角坐标系中的分离变量法 无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为无源区中电位满足的拉普拉斯方程在直角坐标系中的展开式为 令令代入上式，两边再除以代入上式，两边再除以 X(x)Y(y)Z(z)，得得 显显然然，式式中中各各项项仅仅与与一一个个变变量量有有关关。因因此此，上上式式若若成成立立，各各项项必必分分别别等等 于于 一一 个个 常常 数数，而而 三三 个个 常常 数数 之之 和和 为为 0，即即 各各 项项

20、分分 别别 设设 为为 ，可以写出下三个方程。，可以写出下三个方程。21式中式中kx，ky，kz 称为分离常数，它们可以是实数或虚数。称为分离常数，它们可以是实数或虚数。显然，三显然，三个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程个分离常数并不是独立的，它们必须满足下列方程由由上上可可见见，经经过过变变量量分分离离后后，三三维维偏偏微微分分方方程程式式被被简简化化为为三三个个一一维维常常微微分分方方程程。常常微微分分方方程程的的求求解解较较为为简简便便，而而且且三三个个常常微微分分方方程程又又具具有有同同一一结结构构，因因此此它它们们解解的的形形式式也也一一定定相相同同。例例如如，含含变变量量

21、 x 的常微分方程的通解为的常微分方程的通解为或者或者式中式中A,B,C,D为为待定常数。待定常数。22 分离常数也可为虚数。当分离常数也可为虚数。当 kx 为虚数时，令为虚数时，令 ，则上，则上述通解变为述通解变为 或者或者含变量含变量 x 或或 y 的的常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解常微分方程的解具有完全相同的形式。这些解的的线性组合线性组合仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，仍然是方程的解。解的形式的选择是非常重要的，它完全决定于给定的它完全决定于给定的边界条件边界条件。解中各个待定常数也取决于给。解中各个待定常数也取决于给定的边界条件。定的边界条件。23例例3-4-1

22、3-4-1 两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为两个相互平行的半无限大接地导体平面，间距为 d，其有限其有限端被电位为端被电位为 0 的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图的导电平面封闭，且与无限大接地导体平面绝缘，如图所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。所示。试求三个导体平面形成的槽中电位分布。Odxy=0=0=0解解 选取直角坐标系。由于导电平面沿选取直角坐标系。由于导电平面沿 z 轴无限延伸，槽中电位轴无限延伸，槽中电位分布函数一定与分布函数一定与 z 无关，因此，这是一个无关，因此，这是一个二维场二维场的问题。电位所的问题。电位所满足的拉普拉斯方程变为满足的拉普拉

23、斯方程变为 24应用分离变量法，令应用分离变量法，令根据题意，槽中电位应满足的边界条件为根据题意，槽中电位应满足的边界条件为为了满足为了满足 及及 边界条件，应选边界条件，应选 Y(y)的解为的解为 因为因为 y=0 时，电位时，电位 =0，因此上式中常数因此上式中常数 B=0。为了满足边界为了满足边界条件条件 ，分离常数分离常数 ky 应为应为 25求得求得已知已知 ，求得，求得可见，分离常数可见，分离常数 kx 为虚数，故为虚数，故 X(x)的解应为的解应为因为因为 x=时，时，电位电位 0，因此，式中常数因此，式中常数 C=0，即，即那么，那么，式中常数式中常数 C n=AnDn。26为

24、了满足为了满足 x=0，=0 边界条件，由上式得边界条件，由上式得 上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系上式右端为傅里叶级数。利用傅里叶级数的正交性，可以求出系数数Cn为为最后求得槽中电位分布函数为最后求得槽中电位分布函数为 式中式中 。270dxy=0=0=0电场线等位面电场线及等位面分布如下图示：电场线及等位面分布如下图示：283-5 圆柱坐标系中的分离变量法圆柱坐标系中的分离变量法 电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为电位微分方程在圆柱坐标系中的展开式为 令其解为令其解为 代入上式求得代入上式求得上式中第二项仅为变量上式中第二项仅为变量 的函数，而第一项及第三项与的函

25、数，而第一项及第三项与 无关，因无关，因此将上式对此将上式对 求导，得知第二项对求导，得知第二项对 的导数为零，可见第二项应为的导数为零，可见第二项应为常数，令常数，令 29即即式中式中 k 为分离常数，为分离常数，它可以是实数或虚数。通常变量它可以是实数或虚数。通常变量 的变化范围的变化范围为为，那么此时场量随，那么此时场量随 的变化一定的变化一定是以是以 2 2 为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且为周期的周期函数。因此，上式的解一定是三角函数，且常数常数 k 一定是整数，以保证函数的周期为一定是整数，以保证函数的周期为2 2。令。令，m 为整数，则上式的解为为整数，则上式的

26、解为式中式中A,B 为待定常数。为待定常数。考虑到考虑到 ，以及变量，以及变量 的方程式，则前述方程可表示为的方程式，则前述方程可表示为30上式左边第一项仅为变量上式左边第一项仅为变量 r 的函数，第二项仅为变量的函数，第二项仅为变量 z 的函数，因的函数，因此按照前述理由，它们应分别等于常数，令此按照前述理由，它们应分别等于常数，令 即即式中分离常数式中分离常数 kz 可可为实数或虚数，其解可为三角函数，指数函数或为实数或虚数，其解可为三角函数，指数函数或双曲函数。当双曲函数。当 kz 为为实数时，可令实数时，可令 式中式中C,D 为待定常数。为待定常数。将变量将变量 z 方程代入前式，得方

27、程代入前式，得 31上式为柱上式为柱贝塞尔方程贝塞尔方程，其解为柱，其解为柱贝塞尔函数贝塞尔函数，即，即 至此，我们分别求出了至此，我们分别求出了R(r),(),Z(z)的解，而电位微分方的解，而电位微分方程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。程的通解应为三者乘积，或取其线性组合。式中式中E,F 为待定常数为待定常数,为为 m 阶第一类阶第一类柱柱贝塞尔函数，贝塞尔函数，为为m阶第二类阶第二类柱柱贝塞尔函数。根据第二类贝塞尔函数。根据第二类柱柱贝塞尔函数的特性知，当贝塞尔函数的特性知，当r=0 时，时，。因此，当场存在的区域包括。因此，当场存在的区域包括 r=0 时，此时只能时，此时只能取第一

28、类取第一类柱柱贝塞尔函数作为方程的解。贝塞尔函数作为方程的解。32 若若所所讨讨论论的的静静电电场场与与变变量量 z 无无关关，则则分分离离常常数数 。那那么么电电位微分方程变为位微分方程变为此方程的解为指数函数，即此方程的解为指数函数，即 若所讨论的静电场又与变量若所讨论的静电场又与变量 无关，则无关，则 m=0。那么，电位微那么，电位微分方程的解为分方程的解为 考虑到以上各种情况，考虑到以上各种情况，电位微分方程电位微分方程的解可取下列一般形式的解可取下列一般形式 33 例例 3-5-1 设一根无限长、半径为设一根无限长、半径为 a 的导体圆柱放入无限大的均的导体圆柱放入无限大的均匀静电场

29、中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体匀静电场中，电场强度方向垂直于导体圆柱，如图所示。试求导体圆柱外的电场强度。圆柱外的电场强度。解解 选取圆柱坐标系，令选取圆柱坐标系，令 z 轴为圆柱轴轴为圆柱轴线，电场强度的方向与线，电场强度的方向与x 轴一致，即轴一致，即 当导体圆柱处于当导体圆柱处于静电平衡静电平衡时，圆柱内的时，圆柱内的电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电电场强度为零，圆柱为等位体，圆柱表面电场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函场强度切向分量为零，且柱外的电位分布函数应与数应与z 无关。解的形式可取前述一般形式，无关。解的形式可取前述一般形式，但应满足下列两个边界条

30、件：但应满足下列两个边界条件：xyaE0O34 由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即由于圆柱表面电场强度的切向分量为零，即 因此因此 无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为无限远处的电场未受到扰动，因此电位应为 此此式式表表明明，无无限限远远处处电电位位函函数数仅仅为为 cos 的的函函数数，可可见见系数系数 ，且，且 m=1。因此电位函数为。因此电位函数为35那么，根据应满足的边界条件即可求得系数那么，根据应满足的边界条件即可求得系数 B1，D1 应为应为代入前式，求得柱外电位分布函数为代入前式，求得柱外电位分布函数为 则柱外电场强度为则柱外电场强度为 36xyaE0电场线等位面圆柱外电场

31、线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：圆柱外电场线、等位面以及圆柱表面的电荷分布如下图示：373-6 球坐标系中的分离变量法球坐标系中的分离变量法 电位微分方程在球坐标系中的展开式为电位微分方程在球坐标系中的展开式为令令代入上式，得代入上式，得与前同理，与前同理，的解应为的解应为38可见，上式中第一项仅为可见，上式中第一项仅为 r 的函数，第二项与的函数，第二项与 r 无关。因此，与前无关。因此，与前同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令同理第一项应为常数。为了便于进一步求解，令 式中式中n 为整数。这是欧拉方程，其通解为为整数。这是欧拉方程，其通解为 将此将此结果代入上式，得结果代入

32、上式，得39令令 ，则上式变为，则上式变为上式为上式为连带勒让德方程连带勒让德方程，其通解为，其通解为第一类连带勒让德函数第一类连带勒让德函数 与与第第二类连带勒让德函数二类连带勒让德函数 之和，这里之和，这里 m n 。当当 n 是整数时，是整数时，及及 为有限项多项式。因此，要求为有限项多项式。因此，要求 n 为为整数。整数。根据第二类连带勒让德函数的特性知，当根据第二类连带勒让德函数的特性知，当 时，时，因此，因此，当场存在的区域包括当场存在的区域包括 或或 时，时，此时只能取第一类连带勒，此时只能取第一类连带勒让德函数作为方程的解。让德函数作为方程的解。所以，通常令所以，通常令40那么

33、，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合那么，电位微分方程的通解通常取为下列线性组合 若若静静电电场场与与变变量量 无无关关，则则 m=0。那那么么 称称为为第第一一类勒让德函数。此时，类勒让德函数。此时，电位微分方程电位微分方程的通解为的通解为41 例例 3-6-1 设半径为设半径为a，介电常数为介电常数为 的介质球放在无限大的真空的介质球放在无限大的真空中，受到其内均匀电场中，受到其内均匀电场 E0 的作用，如图所示。试求介质球内的电的作用，如图所示。试求介质球内的电场强度。场强度。E0zy 0a解解 取取球球坐坐标标系系，令令 E0 的的方方向向与与 z 轴轴一一致致，即即 。显显然然，

34、此此时时场场分分布布以以 z 轴轴为为旋旋转转对对称称，因因此此与与 无无关关。这这样样，球球内内外外的的电位分布函数可取为电位分布函数可取为则球内外电位分别为则球内外电位分别为42球内外电位函数应该满足下列边界条件：球内外电位函数应该满足下列边界条件：无限远处电场未受干扰，因此电位应为无限远处电场未受干扰，因此电位应为 球内电位与球外电位在球面上应该连续，即球内电位与球外电位在球面上应该连续，即 根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外根据边界上电位移法向分量的连续性，获知球面上内外电位的法向导数应满足电位的法向导数应满足 球心电位球心电位 应为有限值；应为有限值；43考虑到边界条件

35、考虑到边界条件，系数，系数 Dn 应应为零，即为零，即 为了满足边界条件为了满足边界条件，除了，除了A1 以外的系数以外的系数 An 应皆为零，且应皆为零，且 。即。即 再考虑到边界条件再考虑到边界条件，得，得 为了进一步满足边界条件为了进一步满足边界条件，得，得式中式中44 由于上两式对于所有的由于上两式对于所有的 值均应满足，因此等式两边对应的各值均应满足，因此等式两边对应的各项系数应该相等。由此获知各系数分别为项系数应该相等。由此获知各系数分别为 代入前式，求得球内外电位分别为代入前式，求得球内外电位分别为45E0zy 0a值得注意的是球内的电场分布。已知值得注意的是球内的电场分布。已知 ，求得球内的电场为，求得球内的电场为可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强可见，球内电场仍然为均匀电场，而且球内场强低于低于球外场强。球内球外场强。球内外的电场线如图示。外的电场线如图示。如如果果在在无无限限大大的的介介电电常常数数为为 的的均均匀匀介介质质中中存存在在球球形形气气泡泡，那那么么当当外外加加均匀电场时，气泡内的电场强度应为均匀电场时，气泡内的电场强度应为那么，泡内的场强那么，泡内的场强高于高于泡外的场强。泡外的场强。46