实验九 无穷级数.pptx

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1、实验九 无穷级数 实验目的实验目的 掌握用掌握用MATLABMATLAB求无穷级数的和、求幂级数的收敛域、展开函数为幂级数以及求无穷级数的和、求幂级数的收敛域、展开函数为幂级数以及展开周期函数为傅里叶级数的方法。展开周期函数为傅里叶级数的方法。第1页/共41页9.1 9.1 学习学习MATLABMATLAB命令命令第2页/共41页9.1.1 符号表达式求和函数 symsum(S(k)symsum(S(k)返回符号表达式返回符号表达式S(k)S(k)中的符号变量中的符号变量k k从从0 0到到k-1k-1的和值的和值 symsum(S(k),v)symsum(S(k),v)返回符号表达式返回符号

2、表达式S(k)S(k)中指定的符号变量中指定的符号变量k k由由v v代替代替,再对再对v v从从0 0到到v-1v-1的和值的和值 symsum(S(k),a,b)symsum(S(k),a,b)返回符号表达式返回符号表达式S(k)S(k)中的符号变量中的符号变量k k从从a a到到b b的和值的和值 symsum(S(k),v,a,b)symsum(S(k),v,a,b)返回符号表达式返回符号表达式S(k)S(k)中的符号变量中的符号变量k k由由v v代替代替,再从再从a a到到b b的和值的和值第3页/共41页9.1.2 符号函数的泰勒级数展开函数 taylor(f(x)taylor(

3、f(x)或或taylor(y,x)taylor(y,x)求函数求函数y=f(x)y=f(x)的的5 5阶麦克劳林展开式阶麦克劳林展开式 taylor(f(x),n)taylor(f(x),n)求函数求函数f(x)f(x)的的n-1n-1阶麦克劳林展开式阶麦克劳林展开式 taylor(f(x),a)taylor(f(x),a)求函数求函数f(x)f(x)在在x=ax=a处的处的5 5阶泰勒展开式阶泰勒展开式 taylor(f(x),n,a)taylor(f(x),n,a)求函数求函数f(x)f(x)在在x=ax=a处的处的n-1n-1阶泰勒展开式阶泰勒展开式 taylor(f,n,v,a)tay

4、lor(f,n,v,a)返回符号表达式返回符号表达式f f在在a a点泰勒展开到点泰勒展开到n-1n-1次式次式,自变量为自变量为v v第4页/共41页 taylortool(f)taylortool(f)对指定的函数对指定的函数f,f,用图形用户界面显示出泰勒展开式用图形用户界面显示出泰勒展开式9.1.3 泰勒级数计算器函数第5页/共41页 subs(S,old,new)subs(S,old,new)将符号表达式将符号表达式S S中的符号变量中的符号变量oldold用用newnew代替代替9.1.4 在符号表达式或矩阵中 进行符号替换的函数第6页/共41页 simplify(expr)sim

5、plify(expr)与与simple(expr)simple(expr)用于化简符号表达式用于化简符号表达式exprexpr9.1.5 符号表达式的化简函数第7页/共41页9.2 9.2 实验内容实验内容第8页/共41页9.2.1 级数求和 当符号变量的和存在时当符号变量的和存在时,可以用可以用symsumsymsum命令来求无穷命令来求无穷级数和。级数和。【例【例1 1】求】求 的值。的值。输入输入:syms nsyms ns1=symsum(1/(4*n2+8*n+3),n,1,inf)s1=symsum(1/(4*n2+8*n+3),n,1,inf)得到该级数的和为得到该级数的和为s1

6、=1/6s1=1/6。第9页/共41页【例【例2 2】求级数】求级数 的和。的和。输入输入:syms k xsyms k xs2=symsum(x(3*k),k,1,inf)s2=symsum(x(3*k),k,1,inf)得到和函数得到和函数s2=piecewise(x3=1,Inf,x3 1 and s2=piecewise(x3=1,Inf,x3 1 and abs(x)in Dom:Interval(0,1),-x3/(x3-1),abs(x)in Dom:Interval(0,1),-x3/(x3-1),x3 1 and(1 abs(x)and not 1 x or x3 1 and

7、(1 abs(x)and not 1 x or abs(x)=1 and(abs(x)1 or 0 x)and x=abs(x)=1 and(abs(x)1 or 0 x)and x=1 or not 0 x)and x 1),-1 or not 0 x)and x 1),-(limit(x(3*k)/(x3-1),k=Inf)-(limit(x(3*k)/(x3-1),k=Inf)-x3*limit(x(3*k)/(x3-1),k=Inf)+x3*limit(x(3*k)/(x3-1),k=Inf)+x3)/(x3-1)x3)/(x3-1)第10页/共41页【例【例3 3】设】设 ,求求 。

8、首先输入首先输入:for n=1:25for n=1:25 a=1;a=1;for m=1:n for m=1:n a=a*10/m;a=a*10/m;end end plot(n,a,*)plot(n,a,*)hold on hold onendend 得到输出得到输出(见图见图9.1)9.1)。从散点图可见。从散点图可见 的变化趋势。的变化趋势。syms n;syms n;symsum(10n/gamma(n+1),n,1,inf)symsum(10n/gamma(n+1),n,1,inf)输出：输出：ans=ans=exp(10)-1exp(10)-1第11页/共41页图9.1第12页/

9、共41页9.2.2 求幂级数的收敛域.【例【例4 4】求】求 的收敛域与和函数。的收敛域与和函数。输入输入:clear;clear;syms n xsyms n xa1=4(2*n)*(x-3)n/(n+1);a1=4(2*n)*(x-3)n/(n+1);a2=subs(a1,n,n+1);a2=subs(a1,n,n+1);p=limit(a2/a1,n,inf)p=limit(a2/a1,n,inf)输出为：输出为：p=p=16*x-4816*x-48 注意注意,这里对这里对a2a2和和a1a1都没有加绝对值。因此上式的绝都没有加绝对值。因此上式的绝对值小于对值小于1 1时时,幂级数收敛幂

10、级数收敛,大于大于1 1时发散。时发散。第13页/共41页 为了求出收敛区间的端点为了求出收敛区间的端点,输入输入:x1=solve(16*x-48=1)x1=solve(16*x-48=1)x2=solve(16*x-48=-1)x2=solve(16*x-48=-1)输出为输出为:x1=49/16x1=49/16x2=47/16x2=47/16 由此可知由此可知 时收敛时收敛,或或 时发散。时发散。第14页/共41页 为了判断端点的敛散性为了判断端点的敛散性,输入输入:simplify(subs(a1,x,49/16)simplify(subs(a1,x,49/16)得到得到x x为右端点

11、时幂级数的一般项为为右端点时幂级数的一般项为:ans=ans=1/(n+1)1/(n+1)因此当因此当x=49/16x=49/16时发散。时发散。再输入再输入:simplify(subs(a1,x,47/16)simplify(subs(a1,x,47/16)输出结果为输出结果为:ans=ans=(-1)n/(n+1)(-1)n/(n+1)因此当因此当x=47/16x=47/16时时,级数收敛。级数收敛。第15页/共41页9.2.3 将函数展开为幂级数 MATLABMATLAB求一元函数泰勒展开式的命令为求一元函数泰勒展开式的命令为taylor,taylor,其格其格式已经在本实验的学习式已经

12、在本实验的学习MATLABMATLAB命令中说明。命令中说明。【例例5 5】求求cosxcosx的的6 6阶麦克劳林展开式。阶麦克劳林展开式。输入输入:syms xsyms xser1=taylor(cos(x),7)ser1=taylor(cos(x),7)输出为输出为:ser1=ser1=-x6/720+x4/24-x2/2+1-x6/720+x4/24-x2/2+1第16页/共41页【例例6 6】求求lnxlnx在在x=1x=1处的处的6 6阶泰勒展开式。阶泰勒展开式。输入输入:syms xsyms xser2=taylor(log(x),7,1)ser2=taylor(log(x),7

13、,1)则有输出则有输出:ser2=ser2=x-(x-1)2/2+(x-1)3/3-(x-1)4/4+(x-1)5/5-(x-x-(x-1)2/2+(x-1)3/3-(x-1)4/4+(x-1)5/5-(x-1)6/6-11)6/6-1第17页/共41页【例例7 7】求求arctanxarctanx的的5 5阶麦克劳林展开式。阶麦克劳林展开式。输入输入:syms xsyms xser3=taylor(atan(x),x,6)ser3=taylor(atan(x),x,6)输出为输出为:ser3=x5/5-x3/3+xser3=x5/5-x3/3+x 这就得到了这就得到了arctanxarcta

14、nx的近似多项式的近似多项式ser3ser3。通过作图把。通过作图把arctanxarctanx和它的近似多项式进行比较。和它的近似多项式进行比较。输入输入:x=-1.5:0.01:1.5;x=-1.5:0.01:1.5;y1=atan(x);y1=atan(x);y2=x-1/3*x.3+1/5*x.5;y2=x-1/3*x.3+1/5*x.5;plot(x,y1,r-,x,y2,b)plot(x,y1,r-,x,y2,b)输出为图输出为图9.2,9.2,其中虚线为函数其中虚线为函数y1=arctanx,y1=arctanx,实线为它实线为它的近似多项式的近似多项式y2y2。第18页/共41

15、页图9.2第19页/共41页【例【例8 8】求】求 在在x=1x=1处的处的8 8阶泰勒展开阶泰勒展开,并通过并通过作图比较函数和它的近似多项式。作图比较函数和它的近似多项式。输入：输入：clear;clear;syms xsyms xfun=exp(-(x-1)2*(x+1)2);fun=exp(-(x-1)2*(x+1)2);y2=taylor(fun,x,9,1)y2=taylor(fun,x,9,1)则得到近似多项式则得到近似多项式:y2=y2=7*(x-1)4-4*(x-1)3-4*(x-1)2+16*(x-7*(x-1)4-4*(x-1)3-4*(x-1)2+16*(x-1)5+(

16、4*(x-1)6)/3-28*(x-1)7-(173*(x-1)5+(4*(x-1)6)/3-28*(x-1)7-(173*(x-1)8)/6+11)8)/6+1第20页/共41页 输入比较函数和它的近似多项式的作图命令输入比较函数和它的近似多项式的作图命令:clear;clear;clfclfx=0.5:0.01:1.5;x=0.5:0.01:1.5;y1=exp(-(x-1y1=exp(-(x-1).).2 2.*(x+1)*(x+1).2);2);y2=7*(x-1).4-4*(x-1).3-4*(x-1).2+16*(x-y2=7*(x-1).4-4*(x-1).3-4*(x-1).2

17、+16*(x-1).5+(4*(x-1).6)/3-28*(x-1).7-(173*(x-1).5+(4*(x-1).6)/3-28*(x-1).7-(173*(x-1).8)/6+1;1).8)/6+1;plot(x,y1,r-,x,y2,b)plot(x,y1,r-,x,y2,b)输出为图输出为图9.39.3。第21页/共41页图9.3第22页/共41页 在在MATLABMATLAB语言中语言中,使用使用taylortooltaylortool函数来调用图示化函数来调用图示化泰勒级数逼近计算器。在命令窗口中直接输入泰勒级数逼近计算器。在命令窗口中直接输入taylortooltaylorto

18、ol命令命令,即可将图示化泰勒级数逼近计算器调即可将图示化泰勒级数逼近计算器调出。出。【例例9 9】求函数求函数sinxsinx在在x=0 x=0处的处的3,5,7,153,5,7,15阶泰勒展开阶泰勒展开,通过作图比较函数和它的近似多项式通过作图比较函数和它的近似多项式,并形成动画进一并形成动画进一步观察。步观察。输入输入:taylortool:taylortool 输出泰勒级数逼近计算器输出泰勒级数逼近计算器(见图见图9.4),9.4),在在“f(x)=”f(x)=”文本文本框中输入框中输入“sin(x)”,sin(x)”,在在“N=”N=”文本框中输入文本框中输入“3”,3”,在在“a=

19、”a=”文本框中输入文本框中输入“0”,0”,按按EnterEnter键确认后键确认后,即得如即得如图图9.59.5所示的所示的3 3阶泰勒展开的图形。在阶泰勒展开的图形。在“N=”N=”文本框中文本框中再依次输入再依次输入“5,7,15”,5,7,15”,类似可得其各阶泰勒展开的类似可得其各阶泰勒展开的图形。图图形。图9.69.6给出的是给出的是1515阶泰勒展开的图形。图阶泰勒展开的图形。图9.79.7给给出的是用出的是用taylortooltaylortool命令绘制的例命令绘制的例8 8中的函数在中的函数在x=1x=1处处的的8 8阶泰勒展开的图形。阶泰勒展开的图形。第23页/共41页

20、图9.4第24页/共41页图9.5第25页/共41页图9.6第26页/共41页图9.7第27页/共41页9.2.4 9.2.4 将函数展开为傅里叶级数将函数展开为傅里叶级数【例例1010】设设f(x)f(x)是周期为是周期为2 2的周期函数。它在一个周期内的表达式为的周期函数。它在一个周期内的表达式为:求它的傅里叶级数展开式的前求它的傅里叶级数展开式的前5 5项和前项和前1010项项,并作出并作出f(x)f(x)和它的近似三角级和它的近似三角级数的图形。注意数的图形。注意,f(x),f(x)是分段函数是分段函数,下面采用规则定义的方法定义分段函数。下面采用规则定义的方法定义分段函数。第28页/

21、共41页 输入输入:clc,clear;clc,clear;x=-1:0.01:3;x=-1:0.01:3;for n=1:length(x)for n=1:length(x)if x(n)=-1&x(n)=-1&x(n)=0&x(n)=0&x(n)=1&x(n)=1&x(n)2 y(n)=-(x(n)-2);y(n)=-(x(n)-2);elseelse y(n)=1;y(n)=1;endendendendplot(x,y,r)plot(x,y,r)可得到函数的图形可得到函数的图形(见图见图9.8)9.8)。第29页/共41页图9.8第30页/共41页 周期为周期为2L2L的周期函数的傅里叶

22、级数展开式为的周期函数的傅里叶级数展开式为:其中其中第31页/共41页 输入输入:syms xsyms xfor n=5:5:10for n=5:5:10 a0=int(-x,x,-1,0)+int(1,x,0,1);a0=int(-x,x,-1,0)+int(1,x,0,1);ser=a0/2;ser=a0/2;for k=1:n for k=1:n ak=int(-x*cos(k*pi*x),x,-1,0)+int(cos(k*pi*x),x,0,1);ak=int(-x*cos(k*pi*x),x,-1,0)+int(cos(k*pi*x),x,0,1);bk=int(-x*sin(k*

23、pi*x),x,-1,0)+int(sin(k*pi*x),x,0,1);bk=int(-x*sin(k*pi*x),x,-1,0)+int(sin(k*pi*x),x,0,1);sk=ak*cos(k*pi*x)+bk*sin(k*pi*x);sk=ak*cos(k*pi*x)+bk*sin(k*pi*x);ser=ser+sk;ser=ser+sk;end end ser serendend第32页/共41页 这里的这里的serser就是就是f(x)f(x)的近似三角级数的近似三角级数,其中其中n=5n=5的输出结的输出结果为果为:ser=ser=sin(pi*x)/pi-(2*cos(3

24、*pi*x)/(9*pi2)-sin(pi*x)/pi-(2*cos(3*pi*x)/(9*pi2)-(2*cos(5*pi*x)/(25*pi2)-(2*cos(5*pi*x)/(25*pi2)-(2*cos(pi*x)/pi2+sin(2*pi*x)/(2*pi)+sin(3*pi*x(2*cos(pi*x)/pi2+sin(2*pi*x)/(2*pi)+sin(3*pi*x)/(3*pi)+sin(4*pi*x)/(4*pi)+sin(5*pi*x)/(5*pi)+3/)/(3*pi)+sin(4*pi*x)/(4*pi)+sin(5*pi*x)/(5*pi)+3/4 4 现在绘制它们的

25、图形。现在绘制它们的图形。第33页/共41页 输入输入:x=-1:0.01:3;x=-1:0.01:3;f1=sin(pi*x)/pi-(2*cos(3*pi*x)/(9*pi2)-f1=sin(pi*x)/pi-(2*cos(3*pi*x)/(9*pi2)-(2*cos(5*pi*x)/(25*pi2)-(2*cos(5*pi*x)/(25*pi2)-(2*cos(pi*x)/pi2+sin(2*pi*x)/(2*pi)+sin(3*pi*x)/(3*pi)(2*cos(pi*x)/pi2+sin(2*pi*x)/(2*pi)+sin(3*pi*x)/(3*pi)+sin(4*pi*x)/(

26、4*pi)+sin(5*pi*x)/(5*pi)+3/4;+sin(4*pi*x)/(4*pi)+sin(5*pi*x)/(5*pi)+3/4;plot(x,y,r,x,f1,b)plot(x,y,r,x,f1,b)pausepausef2=sin(pi*x)/pi-(2*cos(3*pi*x)/(9*pi2)-f2=sin(pi*x)/pi-(2*cos(3*pi*x)/(9*pi2)-(2*cos(5*pi*x)/(25*pi2)-(2*cos(7*pi*x)/(49*pi2)-(2*cos(5*pi*x)/(25*pi2)-(2*cos(7*pi*x)/(49*pi2)-(2*cos(9

27、*pi*x)/(81*pi2)-(2*cos(9*pi*x)/(81*pi2)-(2*cos(pi*x)/pi2+sin(2*pi*x)/(2*pi)+sin(3*pi*x)/(3*pi)(2*cos(pi*x)/pi2+sin(2*pi*x)/(2*pi)+sin(3*pi*x)/(3*pi)+sin(4*pi*x)/(4*pi)+sin(5*pi*x)/(5*pi)+sin(6*pi*x)/(6*pi)+sin(4*pi*x)/(4*pi)+sin(5*pi*x)/(5*pi)+sin(6*pi*x)/(6*pi)+sin(7*pi*x)/(7*pi)+sin(8*pi*x)/(8*pi)

28、+sin(9*pi*x)/(9*pi)+sin(7*pi*x)/(7*pi)+sin(8*pi*x)/(8*pi)+sin(9*pi*x)/(9*pi)+sin(10*pi*x)/(10*pi)+3/4;+sin(10*pi*x)/(10*pi)+3/4;plot(x,y,r,x,f2,b)plot(x,y,r,x,f2,b)得到两个图形得到两个图形(见图见图9.99.9和图和图9.10)9.10)。图。图9.99.9是是f(x)f(x)和它的近似三角级和它的近似三角级数数f1,f1,图图9.109.10是是f(x)f(x)和它的近似三角级数和它的近似三角级数f2f2。注意观察当。注意观察当n

29、 n趋于无趋于无穷时穷时,在在f(x)f(x)的间断点的间断点,近似三角级数趋于什么值近似三角级数趋于什么值?第34页/共41页图9.9第35页/共41页图9.10第36页/共41页【例【例1111】设】设 是以是以 为周期的周期函数为周期的周期函数,它在它在-,-,的表达式是的表达式是:将将g(x)g(x)展开成傅里叶级数。展开成傅里叶级数。因为因为g(x)g(x)是奇函数是奇函数,所以它的傅里叶展开式中只含正弦项。所以它的傅里叶展开式中只含正弦项。计算系数计算系数syms k xsyms k xbk=2*int(sin(k*x),x,0,pi)/pibk=2*int(sin(k*x),x,

30、0,pi)/pi 输出输出bk=bk=(4*sin(pi*k)/2)2)/(pi*k)(4*sin(pi*k)/2)2)/(pi*k)再再输入输入:第37页/共41页clear;clear;f=sign(sin(x);f=sign(sin(x);x=-3*pi:0.1:3*pi;x=-3*pi:0.1:3*pi;y1=eval(f);y1=eval(f);plot(x,y1,r)plot(x,y1,r)pausepausehold onhold onfor n=3:2:9for n=3:2:9 for k=1:n for k=1:n bk=(4*sin(pi*k)/2)2)/(pi*k);bk

31、=(4*sin(pi*k)/2)2)/(pi*k);s(k,:)=bk*sin(k*x);s(k,:)=bk*sin(k*x);end end s=sum(s);s=sum(s);plot(x,s)plot(x,s)pause pause hold on hold onendend第38页/共41页 运行结果如图运行结果如图9.119.11所示所示(屏幕上显示的红色线为函数屏幕上显示的红色线为函数g(x)g(x)的图形的图形,是一方波是一方波,蓝色线为展开的蓝色线为展开的g(x)g(x)的傅里叶级的傅里叶级数的不同项数的函数曲线数的不同项数的函数曲线)。可以看到。可以看到,n,n越大越大,g(x),g(x)的的傅里叶级数的前傅里叶级数的前n n项与项与g(x)g(x)越接近。越接近。第39页/共41页图9.11第40页/共41页谢谢您的观看！第41页/共41页