数学物理中的偏微分方程.pptx

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1、1 数学物理方程数学物理方程 指从物理学或其他各指从物理学或其他各门自然自然科学、技科学、技术科学中的某些物理科学中的某些物理问题导出的偏出的偏微分方程微分方程(有有时也包括也包括积分方程、微分分方程、微分积分方分方程等程等)。它。它们反映了有关的未知反映了有关的未知变量关于量关于时间的的导数和与空数和与空间变量的量的导数之数之间的制的制约关系。关系。连续介介质力学、力学、电磁学、量子力学等方面的磁学、量子力学等方面的基本方程都属于数学物理方程的范基本方程都属于数学物理方程的范围。教学目的教学目的 通通过本本课程的教学使学生程的教学使学生获得有得有关偏微分方程的一些基本概念、基本方法，关偏微分

2、方程的一些基本概念、基本方法，掌握三掌握三类典型方程定解典型方程定解问题的解法，的解法，进一步一步扩大学生的数学知大学生的数学知识面，面，为后后继课程提供必程提供必要的数学基要的数学基础。第1页/共81页2参考书目数学物理方程数学物理方程,王明新王明新,清清华大学出版社。大学出版社。数学物理方程数学物理方程，姜礼尚，高教出版社。，姜礼尚，高教出版社。工程技工程技术中的偏微分方程中的偏微分方程，潘祖梁，潘祖梁，浙江大学出版社。浙江大学出版社。第2页/共81页1.1 偏微分方程的一些基本概念3第3页/共81页4一一.偏微分方程（偏微分方程（partial differential equation

3、)（PDE）的基本概念）的基本概念自自变量量未知函数未知函数偏微分方程的一般形式偏微分方程的一般形式第4页/共81页5PDE的的阶：PDE的解的解 古典解古典解广广义解解概念概念是指是指这样一个函数，它一个函数，它满足方程，足方程，并且在所考并且在所考虑的区域内有的区域内有m阶连续偏偏导数。数。线性性PDE非非线性性PDE半半线性性PDE拟线性性PDE完全非完全非线性性PDE自由自由项 在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏在偏微分方程中，不含有未知函数及其偏导数的数的项称称为自由自由项第5页/共81页6线性性PDE：PDE中中对所含未知函数及其各所含未知函数及其各阶导数的数的全体都是全体都是线

4、性的。例如：性的。例如：常系数常系数线性性PDE:不然称不然称为变系数的系数的齐次线性齐次线性PDE:不然称不然称为非非齐次的次的线性性PDE的主部的主部:具有最高具有最高阶数偏数偏导数数组成的部分成的部分主部第6页/共81页7PDE中中对最高最高阶导数是数是线性的。例如性的。例如：半半线性性PDE：完全非完全非线性性PDE：PDE中中对最高最高阶导数不是数不是线性的。性的。拟线性性PDE：拟线性性PDE中，最高中，最高阶导数的系数数的系数仅为自自变量的函数。例如：量的函数。例如：非非线性性PDE第7页/共81页8举例（未知函数例（未知函数为二元函数）二元函数）1.2.变换解为：解为：第8页/

5、共81页9举例（未知函数例（未知函数为二元函数）二元函数）4.3.解为：变换解为：第9页/共81页105.不易找出其通解，但不易找出其通解，但还是可以找出一些特解是可以找出一些特解任意解析函数任意解析函数的的实部和虚部均部和虚部均满足方程。足方程。也是解也是解6.特解都不易找到特解都不易找到KDV方程方程举例（未知函数例（未知函数为二元函数）二元函数）第10页/共81页117.拟线性拟线性PDE8.拟线性拟线性PDE9.半线性半线性PDE10.半线性半线性PDE11.完全非线性完全非线性PDE第11页/共81页1.2 三个典型的方程 12第12页/共81页13举例例(多元函数多元函数)拉普拉斯

6、拉普拉斯(Laplace)方程方程热传导方程方程波波动方程方程第13页/共81页物理模型与定解物理模型与定解问题的的导出出14第14页/共81页15弦振弦振动方程的方程的导出出第15页/共81页16 一一长为L的柔的柔软均匀均匀细弦，拉弦，拉紧后，当它后，当它受到与平衡位置垂直的外力作用受到与平衡位置垂直的外力作用时，开始作微，开始作微小横振小横振动。假假设这运运动发生在同一平面内，生在同一平面内，求弦上各点位移随求弦上各点位移随时间变化化规律。律。弦上各点作往返运弦上各点作往返运动的主要原因在于弦的的主要原因在于弦的张力力作用，弦在运作用，弦在运动过程中各点的位移、加速度和程中各点的位移、加

7、速度和张力力都在不断都在不断变化，但它化，但它们遵循物理的运遵循物理的运动规律。由此律。由此可以建立弦上各点的位移函数所可以建立弦上各点的位移函数所满足的微分方程。足的微分方程。第16页/共81页物理背景：物理背景：波的波的传传播和播和弹弹性体振性体振动动。弦振弦振动动方程的方程的导导出出 首先，考察首先，考察弦横振弦横振动这个物理个物理问题：给给定一根两端固定的拉定一根两端固定的拉紧紧的均匀柔的均匀柔软软的弦的弦线线，设设其其长长度度为为l，它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横它在外力作用下在平衡位置附近作微小的横振振动动，求弦上各点的运，求弦上各点的运动规动规律。律。把把实际问题实际问题

8、提提炼为炼为数学模型数学模型时时必必须须做一定的理想化做一定的理想化假假设设，以便抓住，以便抓住问题问题的的最本最本质质特征特征。第17页/共81页基本假基本假设：1.弦的弦的质质量是均匀的，弦的截面直径与量是均匀的，弦的截面直径与长长度相比可以忽略。度相比可以忽略。弦可以弦可以视为视为一条曲一条曲线线，线线密度密度为为常数。常数。（细弦）（细弦）2.弦在某一个平面内作微小横振弦在某一个平面内作微小横振动动。弦的位置始弦的位置始终终在一直在一直线线段附近，弦上各点在同一平面内垂段附近，弦上各点在同一平面内垂直于直于该该直直线线的方向上作微小振的方向上作微小振动动。（微幅微幅）3.弦是柔弦是柔软

9、软的，它在形的，它在形变时变时不抵抗弯曲。不抵抗弯曲。弦上各弦上各质质点的点的张张力方向与弦的切力方向与弦的切线线方向一致，而弦的伸方向一致，而弦的伸长变长变形与形与张张力的关系服从虎克定律。力的关系服从虎克定律。（横振动）（横振动）基本基本规规律：律：牛牛顿顿第二定律（冲量定律）第二定律（冲量定律）第18页/共81页弦线上任意一点在弦线上任意一点在 t 时刻沿时刻沿y轴上的位移轴上的位移研究对象：在在右右图所所示示的的坐坐标系系，用用u(x,t)表表示示弦弦上上各各点点在在时时刻刻t沿沿垂垂直直于于x方方向向的的位位移移。在在这这条条弦弦上上任任意意取取一一弦弦段段(x,x+x)，它它的的弧

10、弧长为长为：由假由假设设3，弦，弦线张线张力力T(x)总总是是沿着弦在沿着弦在x处处的切的切线线方向由于弦只在垂直方向由于弦只在垂直x轴轴的方向的方向进进行横振行横振动动，因此可以把弦，因此可以把弦线线的的张张力力T(x)在在x轴轴的方向的分量的方向的分量看成常看成常数数。对对于于图图中中选选取的取的弦段而言，弦段而言，张张力在力在x轴轴的垂直方向上的合力的垂直方向上的合力为为：假设2和假设3第19页/共81页在在时间时间段段(t,t+t)内内该该合力合力产产生的冲量生的冲量为为：另一方面，在另一方面，在时间时间段段(t,t+t)内内弦段弦段(x,x+x)的的动动量量变变化化为为：于是由冲量定

11、理：于是由冲量定理：从而有从而有：第20页/共81页进进一步由一步由t，x 的任意性的任意性，有有 假定有垂直于假定有垂直于x轴轴方向的外力存在方向的外力存在，并，并设设其其线线密度密度为为F(x,t)，则则弦弦段段(x,x+x)上的外力上的外力为为：它在它在时间时间段段(t,t+t)内的冲量内的冲量为为：第21页/共81页类类似地，三似地，三维维波波动动方程可以表示方程可以表示为为：于是有：于是有：第22页/共81页简化假设：(2)振幅极小，张力与水平方向的夹角很小。(1)弦是柔软的，弦上的任意一点的张力沿弦的切线方向。牛顿运动定律：横向：纵向：其中：第23页/共81页其中：其中：其中：第2

12、4页/共81页一维波动方程令：-非齐次方程非齐次方程自由项-齐次方程齐次方程忽略重力作用：忽略重力作用：第25页/共81页非均匀弦的强迫横振动方程非均匀弦的强迫横振动方程一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：一维波动方程不仅可以描述弦的振动，还可以描述：弹性杆的纵向振动弹性杆的纵向振动管道中气体小扰动的传播管道中气体小扰动的传播等等等等 因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，因此，一个方程反应的不止是一个物理现象，而是一类问题。而是一类问题。而是一类问题。而是一类问题。第26页/共81页272+1维波波动

13、方程或膜振方程或膜振动方程方程 一一块均匀的拉均匀的拉紧的薄膜，离开静止水平位置作的薄膜，离开静止水平位置作垂直于水平位置的微小振垂直于水平位置的微小振动，其运，其运动规律律满足足其中：其中：u(x,y,t)表示在表示在 t 时刻、膜在刻、膜在(x,y)点点处的位移的位移f(x,y,t)表示表示单位位质量所受的外力量所受的外力a2=T/：T表示表示张力、力、为线密度密度第27页/共81页283+1维波波动方程或声波方程方程或声波方程n+1维波波动方程方程第28页/共81页1.4 定解条件和定解问题29第29页/共81页 列列出出微微分分方方程程的的目目的的是是要要从从微微分分方方程程中中求求得

14、得具具体体问问题题的的解解或或者者研研究究解解的的性性质质。前前面面我我们们看看到到，弦弦振振动动方方程程描描述述的的是是弦弦作作微微小小横横振振动动时时的的位位移移函函数数u(x,t)所所应应满满足足的的一一般般性性规规律律。仅仅仅仅利利用用它它并并不不能能完完全全确确定定一一条条弦弦的的具具体体运运动动状状况况。这这是是因因为为弦弦的的运运动动还还与与其其初初始始状状态态以以及及边边界界所所处处的的状状况况有有关关系系，因因此此对对于于具具体体的的弦弦振振动动问问题题而而言言，还还需需要要结结合合实实际际问问题题附附加加某某些特定条件。些特定条件。例如例如:在前面的推在前面的推导导中，弦的

15、两端被固定在中，弦的两端被固定在x=0和和x=l两点，即两点，即 u(0,t)=0，u(l,t)=0，这这两个等式称两个等式称为为边边界条件界条件。此外，。此外，设设弦在初始弦在初始时时刻刻t=0时时的位置和速度的位置和速度为为这这两个等式称两个等式称为为初始条件初始条件。边边界条件和初始条件界条件和初始条件总总称称为为定解条件定解条件。把。把微分微分方程方程和和定解条件定解条件结结合起来，就得到了与合起来，就得到了与实际问题实际问题相相对应对应的的定解定解问题问题。对对于弦振于弦振动动方程而言，与上述定解条件方程而言，与上述定解条件结结合后，其定解合后，其定解问题问题可以描述可以描述为为：定

16、解条件定解条件第30页/共81页要在区域要在区域上（上（见见右上右上图图）求上述定解）求上述定解问题问题的解，就是的解，就是要求要求这样这样的的连续连续函数函数u(x,t)，它在区域，它在区域0 x0中中满满足波足波动动方程方程(2.1)；在；在x轴轴上的区上的区间间0,l上上满满足初始条件足初始条件(2.2)；并在；并在边边界界x=0和和x=l上上满满足足边边界条件界条件(2.3)和和(2.4)。一一般般称称形形如如(2.3)和和(2.4)的的边边界界条条件件为为第第一一类类边边界界条条件件，也也叫叫狄狄利利克克雷雷（Dirichlet）边边界条件界条件。定解条件定解条件第31页/共81页波

17、动方程的初始条件1、初始条件、初始条件描述系统的初始状态描述系统的初始状态系统各点的初位移系统各点的初速度定解条件定解条件第32页/共81页(2)自由端：自由端：x=a 端既不固定，又不受位移方向力的作用。端既不固定，又不受位移方向力的作用。2、边界条件、边界条件描述系统在边界上的状况描述系统在边界上的状况波动方程的三类边界条件(1)固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：固定端：对于两端固定的弦的横振动，其为：或：或：(3)弹性支承端：在弹性支承端：在x=a端受到弹性系数为端受到弹性系数为k 的弹簧的支承。的弹簧的支承。或或诺依曼（Neumann）边界条件狄利克雷（Dirichlet）边界条

18、件第33页/共81页 同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边同一类物理现象中，各个具体问题又各有其特殊性。边界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即界条件和初始条件反映了具体问题的特殊环境和历史，即个性。个性。初始条件：初始条件：够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。够用来说明某一具体物理现象初始状态的条件。边界条件：边界条件：能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束能够用来说明某一具体物理现象边界上的约束情况的条件情况的条件。其他条件：其他条件：能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。能够用来说明某一具体物理现象情况的条件。定解条件定解条件第34页/共81页定解问题定

19、解问题定解定解问题适定性概念适定性概念(1)(1)初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；初始问题：只有初始条件，没有边界条件的定解问题；(2)(2)边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；边值问题：没有初始条件，只有边界条件的定解问题；(3)(3)混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。混合问题：既有初始条件，也有边界条件的定解问题。把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解把某种物理现象满足的偏微分方程和其相应的定解条件结合在一起，就构成了一个条件结合在一起，就构成了一个定解问题。定解问题的检验定解问题的检验 解的存在性：定解问题是否有解；解的存在性：定解问题是否

20、有解；解的唯一性：是否只有一解；解的唯一性：是否只有一解；解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应解的稳定性：定解条件有微小变动时，解是否有相应 的微小变动。的微小变动。第35页/共81页36经典的定解典的定解问题举例例维波波动方程方程(弦振弦振动方程方程)的初的初值问题第36页/共81页37经典的定解典的定解问题举例例热传导方程的初方程的初值问题第37页/共81页38经典的定解典的定解问题举例例二二维调和方程的和方程的边值问题第一边值问题（Dirichlet）第二边值问题（Neumann）第三边值问题（Robin）第38页/共81页39经典的定解典的定解问题举例例热传导方程的初、方程的

21、初、边值问题第39页/共81页40何何为适定性？适定性？存在性存在性唯一性唯一性连续依依赖性（性（稳定性）定性）适定性适定性若PDE在附加条件及求解域的一定要求下，它的解在已知度量的某函数类中存在、唯一而且关于附加条件为稳定的，就称定解问题在相应的函数类中为适定的适定的。稳定性：只要定解条件的偏差足定性：只要定解条件的偏差足够小，相小，相应的的定解定解问题解的偏差也将非常小解的偏差也将非常小第40页/共81页 除了研究定解除了研究定解问题问题的适定性外，数理方程中的适定性外，数理方程中还经还经常研常研究的究的问题问题包括：解的正包括：解的正则则性（光滑性）、解的性（光滑性）、解的渐渐近性近性（

22、包括衰减性）和定解（包括衰减性）和定解问题问题的求解方法（精确解、的求解方法（精确解、渐渐近近解、数解、数值值解）等。解）等。定解定解问题适定性概念适定性概念第41页/共81页42定解定解问题的适定性的适定性定解定解问题PDE定解条件定解条件初初值条件条件 initial condition边值条件条件 boundary condition初、初、边值条件条件初初值问题、边值问题、混合、混合问题第42页/共81页热传导方程方程43第43页/共81页44热传导分析：分析：设杆杆长方向方向为x轴，考，考虑杆上从杆上从x到到x+dx的一段的一段(代代表表)，其，其质量量为dm=dx，热容量容量为cd

23、m。设杆中的杆中的热流沿流沿x轴正向，正向，强度度为q(x,t)，温，温度分布度分布为 u(x,t)，则问题：一根：一根长为L的均匀的均匀导热细杆，杆，侧面面绝热，内部无，内部无热源。源。其其热传导系数系数为k，比，比热为c，线密度密度为。求杆内温度。求杆内温度变化化的的规律。律。由能量守恒定律由能量守恒定律 cdmdu=dQ=q(x,t)-q(x+dx,t)dt=-qx(x,t)dxdt于是有于是有c ut=-qx由由热传导定律定律q(x,t)=-k ux(x,t)代入前面的式子，得到代入前面的式子，得到c ut=k uxxut=a2 uxx第44页/共81页45推广：推广：情况：内部有情况

24、：内部有热源源(或或侧面不面不绝热)分析：分析：设热源源强度度(单位位时间在在单位位长度度 中中产生的生的热量量)为F(x,t)，代表段的，代表段的 吸吸热为Fdxdt方程：方程：c ut=k uxx+F ut=a2 uxx+f，f=F/(c)第45页/共81页稳定定场方程方程46第46页/共81页47产生：在演化生：在演化问题中，有中，有时会到达一个不随会到达一个不随时间变化的化的稳定状定状态，对应的方程称的方程称为稳定定场方程。方程。形式：在形式：在对应的演化方程中取消的演化方程中取消时间变量量t，对t的的导数数为零。零。分分类：无外界作用情况无外界作用情况拉普拉斯方程：拉普拉斯方程：u=

25、utt+uyy+uzz=0有外界作用情况有外界作用情况泊松方程：泊松方程：u=utt+uyy+uzz=f(x,y,z)典型典型应用用静静电场方程：方程：u=-/稳定温度分布：定温度分布：u=-F/k第47页/共81页数学物理方程的分数学物理方程的分类在数学物理方程的建立在数学物理方程的建立过程中，我程中，我们主要主要讨论了三种了三种类型的偏微分方程：波型的偏微分方程：波动方程；方程；热传导方程；方程；稳定定场方程方程这三三类方程描写了不同物理方程描写了不同物理现象及其象及其过程程48 第48页/共81页49 二二阶线性性PDE方程的分方程的分类两个自两个自变量，量，齐次次主部主部目的目的：通通

26、过自自变量的非奇异量的非奇异变换来来简化方程化方程的主部，从而据此分的主部，从而据此分类。非奇异非奇异（1）第49页/共81页50复合求复合求导第50页/共81页51系数之间的关系（2）（1）（3）第51页/共81页52其他系数之间的关系（3*）第52页/共81页53考考虑如若能找到两个相互独立的解如若能找到两个相互独立的解那么就作那么就作变换从而有从而有（4）第53页/共81页54假假设是方程是方程的特解，的特解，则关系式关系式是常微分方程是常微分方程（4）（5）的一般的一般积分。反之亦然。分。反之亦然。引理引理 由此可知，要求方程（由此可知，要求方程（4）的解，只）的解，只须求出常微求出常

27、微分方程（分方程（5）的一般）的一般积分。分。第54页/共81页55定定义称常微分方程（称常微分方程（5）为PDE（1）的）的特征方程。特征方程。称（称（5）的）的积分曲分曲线为PDE（1）的）的特征曲特征曲线。（6）第55页/共81页56记定定义方程方程(1)在点在点M 处是是双曲型双曲型：椭圆型：型：抛物型：抛物型：若在点若在点M处，有，有若在点若在点M处，有，有若在点若在点M处，有，有第56页/共81页57双曲型双曲型PDE右端右端为两相异两相异的的实函数函数它它们的一般的一般积分分为由此令由此令，方程（方程（1）可改写）可改写为双曲型方程的双曲型方程的第一第一标准型准型双曲型方程的双曲

28、型方程的第二第二标准型准型第57页/共81页58抛物型抛物型PDE由此得到一般积分为由此令由此令，其中与独立独立(线性无关性无关)的任意函数。的任意函数。第58页/共81页59由于由于由此推出由此推出第59页/共81页60因此，方程（因此，方程（1）可改写）可改写为抛物型方程的抛物型方程的标准型准型而而第60页/共81页61椭圆型型PDE右端右端为两相异两相异的复数的复数由此推出两族复数由此推出两族复数积分曲分曲线为其中第61页/共81页62由此令由此令从而方程（从而方程（1）可改写）可改写为，满足方程（足方程（4）椭圆型方程的型方程的标准型准型第62页/共81页63例例1抛物型方程抛物型方程

29、令第63页/共81页64例例2双曲型方程双曲型方程第64页/共81页65例例3Tricomi方程椭圆型型双曲型双曲型抛物型抛物型第65页/共81页66第66页/共81页叠加原理叠加原理弦振动方程的达朗贝尔解法弦振动方程的达朗贝尔解法第67页/共81页叠加原理叠加原理 从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。在此从本节开始我们讨论弦振动方程的各类定解问题。在此之前，先介绍叠加原理之前，先介绍叠加原理 在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综在物理学研究中经常出现这样的现象：几种不同原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其他原因不存合所产生的效果等于这些不同原因单独（假设其

30、他原因不存在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。在）产生的效果的累加。这就是叠加原理。典型例子：典型例子：力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性力和加速度的关系，万有引力场的可叠加性复杂的声音复杂的声音各种单音的叠加各种单音的叠加电磁场中的叠加原理电磁场中的叠加原理第68页/共81页则对于任意的常数则对于任意的常数C1、C2，函数，函数是方程是方程的解。的解。例如：若例如：若u1 1(x,t)是方程是方程的解，而而u2 2(x,t)是方程是方程的解，因此，弦振动方程满足叠加原理因此，弦振动方程满足叠加原理线性方程线性方程都满足叠加原理第69页/共81页线性方程解（线性系统）具有叠加特性线性方程

31、解（线性系统）具有叠加特性 几种不同的原因的综合所产生的效果等于这些不同原因单独产生的效果的累加。(物理上)第70页/共81页弦振弦振动方程的达朗方程的达朗贝尔解法解法 先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情先从最简单的情形入手，即首先考察边界的影响可以忽略不计的情况（如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在较况（如果所考察的物体（弦线）长度很长，而我们所关注的又只是在较短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影短时间内且距离边界较远的一段范围中的运动情况，那么边界条件的影响就可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长）。这样的情响就

32、可以忽略，并不妨把所考察的物体的长度视为无限长）。这样的情况下，定解问题归结为如下形式：况下，定解问题归结为如下形式：这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题这个定解问题中，定解条件只有初始条件，故通常称为初值问题(也也称柯西（称柯西（Cauchy）问题）。相应地，前一节中的定解问题）问题）。相应地，前一节中的定解问题(1.1)(1.4)由由于既有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题或混合问题。于既有初始条件，又有边界条件，故称为初边值问题或混合问题。方程方程(1.5)中的自由项中的自由项f(x,t)是由于外力作用产生的，因此方程是由于外力作用产生的，因此方程(1.5)中中

33、f(x,t)恒为零恒为零的情况对应于的情况对应于自由振动自由振动；f(x,t)不为零不为零的情况对应于的情况对应于强迫振动强迫振动。第71页/共81页 首首先先，我我们们考考察察代代表表自自由由振振动动情情况况的的初初值值问问题题(I I)，它它可可以以通通过过自自变变量量变变换换的的方方法法求求解解。引引如如新新自自变变量量：=x-at，=x+at。利利用用复复合合函函数数求求导导的的法则，有法则，有类似地，类似地，从从而而，方方程程(1.7)就就化化为为 ，这这个个方方程程可可以以直直接接求求解解。把把它它关关于于积积分分一一次次，再再关关于于积积分分一一次次，就就可可以以得得到到它它的的

34、通通解解为为u(,)=F()+G()，其其中中，F和和G是是任任意意两两个个可可微微分分的的单单变变量量函函数数。代代回回原原来来的的自自变变量量，方方程程(1.7)的的通通解解表示为表示为u(x,t)=F(x-at)+G(x+at)。第73页/共81页 利用这个通解表达式，就可以利用初始条件利用这个通解表达式，就可以利用初始条件(1.8)来决定函数来决定函数F和和G，进而求出初值问题进而求出初值问题(I I)的解。把上述通解表达式代入的解。把上述通解表达式代入初始条件初始条件(1.8)，得到：，得到：(1.12)式是一个简单的常微分方程，求解它得到式是一个简单的常微分方程，求解它得到由由(1

35、.11)和和(1.13)式联立求解可以得出函数式联立求解可以得出函数F和和G把它们代入方程把它们代入方程(1.7)的的通解表达式就得到了通解表达式就得到了初值问题初值问题(I I)的解的解第74页/共81页 这个公式这个公式(1.14)称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果称为达朗贝尔公式。从以上推导过程可以看出：如果初值问题初值问题(I I)有解，则解一定可以根据初始条件由有解，则解一定可以根据初始条件由达朗贝尔公式表达出来，达朗贝尔公式表达出来，因此该问题的解是唯一的。因此该问题的解是唯一的。唯一性唯一性 同时，若函数同时，若函数(x)在求解区域内具有二阶连续偏导数，在求解区域内具

36、有二阶连续偏导数，(x)在求解区在求解区域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式域内具有一阶连续偏导数，那么可以验证公式(1.14)给出的的确是初值问给出的的确是初值问题题(I I)的解。的解。存在性存在性 另外，另外，初值问题初值问题(I I)的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从的解关于初始条件的连续依赖性也可以很容易地从达朗贝尔公式中看出。达朗贝尔公式中看出。稳定性稳定性第75页/共81页 如如右右图图所所示示，在在t=0时时，(x,0)=F(x)，它它对对应应于于初初始始振振动动状状态态（弦弦在在初初始始时时刻刻各各点点位位移移状状态态）。经经过过时时刻刻t0后后，(x,t0)=

37、F(x-at0)，在在(x,u)平平面面上上，它它相相当当于于原原来来的的图图形形向向右右平平移移了了一一段段距距离离at0。这这说说明明振振动动的的波波形形以以常常速速度度a向向右右传传播播。因因此此，齐齐次次波波动动方方程程的的形形如如F(x-at)的的解解所所描描述述的的运运动动规规律律称称为为右右传传播播波波，同同样样形形如如G(x+at)的的解解称称为为左左传传播播波波。并并且且，我我们们知知道道了了方方程程(1.5)中中的的常常数数a实实际际上上表表示示了波动的传播速度。了波动的传播速度。（行波法）（行波法）传播波播波 由前文中推导可见，自由振动情况下的波动方程由前文中推导可见，自

38、由振动情况下的波动方程的解可以表示为形如的解可以表示为形如F(x-at)和和G(x+at)的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出波动传播的性的两个函数的和。由此可以特别清楚地看出波动传播的性质。质。考察考察(x,t)=F(x-at)(a0)，显然它是齐次波动方程的解。给出不同的，显然它是齐次波动方程的解。给出不同的t值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。值就可以看出作一维振动的物体在各个时刻的相应位置。第76页/共81页结论：达朗贝尔解表示沿结论：达朗贝尔解表示沿x 轴正、反向传播的两列波速轴正、反向传播的两列波速为为a波的叠加，故称为行波法。波的叠加，故称为行波法。a.只有初始位

39、移时，只有初始位移时，代表以速度代表以速度a 沿沿x 轴正向传播的波轴正向传播的波 代表以速度代表以速度a 沿沿x 轴负向传播的波轴负向传播的波b.只有初始速度时：只有初始速度时：假使初始速度在区间假使初始速度在区间 上是常数上是常数，而在此区间外恒等于，而在此区间外恒等于0换一个角度看波的传播换一个角度看波的传播第77页/共81页例例2 在上述问题中，初值条件为在上述问题中，初值条件为试说明其解的物理意义。试说明其解的物理意义。-22011第78页/共81页可见右行波与左行波分别为可见右行波与左行波分别为由达朗贝尔公式有由达朗贝尔公式有于是右行波与左行波的波形均为第79页/共81页作业：1，10，13.第80页/共81页谢谢您的观看！第81页/共81页