弯曲应力最新.pptx

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1、杆件变形的基本形式杆件变形的基本形式轴向拉伸或压缩：轴向拉伸或压缩：在一对作用线和直杆轴线重合的外力在一对作用线和直杆轴线重合的外力作用下，直杆的主要变形为长度改变。作用下，直杆的主要变形为长度改变。扭转：扭转：在一对转向相反、作用面垂直于杆轴线的外在一对转向相反、作用面垂直于杆轴线的外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕轴线发生相力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕轴线发生相对转动。对转动。弯曲：弯曲：在一对转向相反、作用面在包含杆轴线在内在一对转向相反、作用面在包含杆轴线在内的纵向平面内的外力偶作用下，直杆的相邻横截的纵向平面内的外力偶作用下，直杆的相邻横截面将绕垂直于纵向平面的某一横向轴发生相对

2、转面将绕垂直于纵向平面的某一横向轴发生相对转动，其轴线将弯成曲线。动，其轴线将弯成曲线。剪切：剪切：在一对相距很近的大小相等、指向相反的横在一对相距很近的大小相等、指向相反的横向外力作用下，直杆的主要变形为横截面沿外力向外力作用下，直杆的主要变形为横截面沿外力作用方向发生相对错动。作用方向发生相对错动。第2页/共74页第1页/共74页1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简对称弯曲的概念及梁的计算简图图弯曲的概念：弯曲的概念：杆件承受垂直于其轴线方向的外力杆件承受垂直于其轴线方向的外力,或在其或在其轴线平面内作用有外力偶时轴线平面内作用有外力偶时,杆的轴线变为曲杆的轴线变为曲线线.凡是以弯曲为主要变

3、形的杆件，通称为凡是以弯曲为主要变形的杆件，通称为梁梁。第3页/共74页第2页/共74页1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图力学模型：力学模型：构件几何特征：构件几何特征：具有纵对称面的等截面直杆具有纵对称面的等截面直杆受力特征：受力特征：横向外力（或外力合力）或外力偶均作用横向外力（或外力合力）或外力偶均作用在杆的纵向对称面内在杆的纵向对称面内变形特征：变形特征：杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲杆件轴线变形后为外力作用面内的平面曲线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某线，或任意两横截面间绕垂直于外力作用面的某一横向轴作相对转动一横向轴作相对转动杆轴杆轴XF

4、1FAF2FByz形心纵对称面对称轴Me第4页/共74页第3页/共74页X杆轴纵向对称面F1F2FAFB1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲：对称弯曲：构件的构件的 几何形状、材料性能几何形状、材料性能 和外力作用均对称于和外力作用均对称于 杆件的纵对称面，故杆件的纵对称面，故 变形后的轴线必定是变形后的轴线必定是 一条在该纵对称面内一条在该纵对称面内 的平面曲线。的平面曲线。对称弯曲时，梁变形后的轴线所在平面与外力对称弯曲时，梁变形后的轴线所在平面与外力所在平面相重合所在平面相重合,也称为也称为平面弯曲平面弯曲。注意：对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯注意：

5、对称弯曲必定是平面弯曲，而平面弯曲不一定是对称弯曲。曲不一定是对称弯曲。第5页/共74页第4页/共74页1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简图对称弯曲的概念及梁的计算简图非对称弯曲：非对称弯曲：若构件不具有纵对称面，或虽有纵对若构件不具有纵对称面，或虽有纵对称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形称面但外力不作用在纵对称面时的弯曲变形第6页/共74页第5页/共74页1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简对称弯曲的概念及梁的计算简图图梁的计算简图：梁的计算简图：由于研究对象是等截面的直梁，且外力由于研究对象是等截面的直梁，且外力为作用在梁纵对称面内的平面力系，因此梁的计为作用在梁纵对称面内的平面力系，因

6、此梁的计算简图中就用梁的轴线代表梁。算简图中就用梁的轴线代表梁。固定端固定端固定铰支座固定铰支座可动铰支座可动铰支座第7页/共74页第6页/共74页悬臂梁悬臂梁简支梁简支梁外伸梁外伸梁静定梁：静定梁：如果梁具有如果梁具有1 1个固定端，或具有个固定端，或具有1 1个固定铰个固定铰支座和支座和1 1个可动铰支座，则其支座反力可由静力个可动铰支座，则其支座反力可由静力平衡方程求解。平衡方程求解。跨：跨：梁在两支座间的部分，其长度称为梁的跨长。梁在两支座间的部分，其长度称为梁的跨长。常见的静定梁大多是单跨的。常见的静定梁大多是单跨的。1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简对称弯曲的概念及梁的计算简图图第

7、8页/共74页第7页/共74页固定梁固定梁连续梁连续梁半固定梁半固定梁1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简对称弯曲的概念及梁的计算简图图超静定梁：超静定梁：有时为了工程上的需要，对一个梁设置较有时为了工程上的需要，对一个梁设置较多的支座，致使支座反力数目多于独立的平衡方多的支座，致使支座反力数目多于独立的平衡方程数目，仅用静力平衡方程无法求解。程数目，仅用静力平衡方程无法求解。第9页/共74页第8页/共74页均匀分布荷载均匀分布荷载线性线性(非均匀非均匀)分布荷载分布荷载分分 布布 荷荷 载载Me集中力偶集中力偶集中力集中力1 1 对称弯曲的概念及梁的计算简对称弯曲的概念及梁的计算简图图作用在梁

8、上的载荷形式作用在梁上的载荷形式第10页/共74页第9页/共74页FaABFAFBFAFsxM2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图剪力：剪力：梁横截面上、作用线平行于截面的梁横截面上、作用线平行于截面的内力内力分量分量，记为，记为FsFs弯矩：弯矩：梁横截面上、作用线垂直于截面的梁横截面上、作用线垂直于截面的内力内力偶矩偶矩，记为，记为M M第11页/共74页第10页/共74页Fs0Fs0M0M02 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图符号规定：符号规定：使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，使微段梁有顺时针转动趋势的剪力为正，反之为负；反

9、之为负；使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反使微段梁产生向下凸变形的弯矩为正，反之为负。之为负。第12页/共74页第11页/共74页ACDBACCDBBD2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题4.14.1 试确定截面试确定截面C C及截面及截面D D上的剪力和弯矩上的剪力和弯矩第13页/共74页第12页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图截开后取左边为示力对象：截开后取左边为示力对象：向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；向上的外力引起正剪力，向下的外力引起负剪力；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；向上

10、的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。顺时针引起正弯矩，逆时针引起负弯矩。截开后取右边为示力对象：截开后取右边为示力对象：向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；向上的外力引起负剪力，向下的外力引起正剪力；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；向上的外力引起正弯矩，向下的外力引起负弯矩；顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。顺时针引起负弯矩，逆时针引起正弯矩。第14页/共74页第13页/共74页例题例题4.24.2 一长为一长为2m2m的均质木料，欲锯下的均质木料，欲锯下0.6m0.6m长的一段。长的一段。为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的

11、弯矩为使在锯开处两端面的开裂最小，应使锯口处的弯矩为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木为零，木料放在两只锯木架上，一只锯木架放置在木料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯料的一端，试问另一只锯木架放置何处才能使木料锯口处的弯矩为零口处的弯矩为零。2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第15页/共74页第14页/共74页FA(l-x)-ql(l/2-x)=01.2.Mc=0FA(l-a)-q(l-a)(l-a)/2+Mc=0 先以整个梁做弯矩平衡方程先以整个梁做弯矩平衡方程第16页/共74页第15页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力

12、图和弯矩剪力图和弯矩图图剪力方程：剪力方程：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置变化的函数，表示为变化的函数，表示为Fs=Fs(x)弯矩方程：弯矩方程：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置变化的函数，表示为变化的函数，表示为M=M(x)剪力图：剪力图：表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置表示沿梁轴线各横截面上剪力随截面位置变化的图线，规定正值的剪力画在变化的图线，规定正值的剪力画在x x轴的上侧。轴的上侧。弯矩图：弯矩图：表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置表示沿梁轴线各横截面上弯矩随截面位置变化的图线，规定变化的图线，规

13、定正值的弯矩画在梁的受拉侧，正值的弯矩画在梁的受拉侧，即即x x轴的下侧轴的下侧。第17页/共74页第16页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图ABFAFBx第18页/共74页第17页/共74页XkNkNm2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题4.34.3 图示悬臂梁图示悬臂梁AB,AB,自由端受力自由端受力F F的作用的作用,试作试作剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图.第19页/共74页第18页/共74页AB35kN25kNX1X22.5kNkNm2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题4

14、.44.4 图示外伸梁图示外伸梁,试作剪力图和弯矩图试作剪力图和弯矩图.第20页/共74页第19页/共74页归纳如下规律：在集中力或集中力偶作用处，梁的弯矩方程应分段列出。在梁上集中力作用处，剪力图有突变，其左右两侧横截面上剪力的代数差，即等于集中力值。而在弯矩图上的相应处则形成一个尖角。与此相仿，梁上受集中力偶作用处，弯矩图有突变，其左右两侧横截面上弯矩的代数差，即等于集中力偶值。全梁的最大剪力和最大弯矩可能发生在全梁或各段梁的边界截面，或极值点的截面处。第21页/共74页第20页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系

15、及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用第22页/共74页第21页/共74页剪力图是水平直线剪力图是水平直线.弯矩图是斜直线弯矩图是斜直线.弯矩图是水平直线弯矩图是水平直线.剪力图是斜直线剪力图是斜直线.弯矩图是二次抛物线弯矩图是二次抛物线.2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用剪力、弯矩与分布荷载集度间的微分关系及应用第23页/共74页第22页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图若若x x1 1,x,x2 2两截面间无集中力作用两截面间无集中力作用,则则x x2 2截面上的截

16、面上的F FS1S1等于等于x x1 1截面上的截面上的F FS1S1加上两截面之间分布荷载加上两截面之间分布荷载图的面积图的面积.若若x x1 1,x,x2 2两截面间无集中力偶作用两截面间无集中力偶作用,则则x x2 2截面上截面上的的M M2 2等于等于x x1 1截面上的截面上的M M1 1加上两截面之间剪力图加上两截面之间剪力图的面积的面积.第24页/共74页第23页/共74页+-+2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图第25页/共74页第24页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图突变规律突变规律(从左向右画从左向右

17、画)：集中力作用处，集中力作用处，F FS S图突变，方向、图突变，方向、大小与力同，大小与力同，M M图斜率突变，突变成的尖角与集中图斜率突变，突变成的尖角与集中力力F F的箭头是同向；集中力偶作用处，的箭头是同向；集中力偶作用处，M M图发生突图发生突变，顺下逆上，大小与变，顺下逆上，大小与M M同，同，F FS S图不发生变化。图不发生变化。叠加原理：叠加原理：当所求参数（内力、应力或位移等）与梁上当所求参数（内力、应力或位移等）与梁上荷载为线性关系时，则由几项荷载共同作用时所荷载为线性关系时，则由几项荷载共同作用时所引起的参数等于每项荷载单独作用下所引起的该引起的参数等于每项荷载单独作

18、用下所引起的该参数的叠加。参数的叠加。弯矩图的叠加：弯矩图的叠加：在线弹性、小变形的条件下，梁横截面在线弹性、小变形的条件下，梁横截面上的弯矩与荷载成线性关系。因此，由几项荷载上的弯矩与荷载成线性关系。因此，由几项荷载共同作用时梁的弯矩图等于每项荷载单独作用下共同作用时梁的弯矩图等于每项荷载单独作用下梁弯矩图的叠加。梁弯矩图的叠加。第26页/共74页第25页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图结构对称，载荷反对称，则结构对称，载荷反对称，则F FS S图对称，图对称，M M图反对称图反对称第27页/共74页第26页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力

19、和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图结构对称，载荷对称，则结构对称，载荷对称，则F FS S图反对称，图反对称，M M图对称图对称第28页/共74页第27页/共74页2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题4.5 4.5 作图示梁的内力图作图示梁的内力图kNkNm第29页/共74页第28页/共74页4.51.55.5kNkNm2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题4.64.6第30页/共74页第29页/共74页FqLFF+qLFL1/2qL21/2qL2+FL2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩剪力图和弯矩图图

20、例题例题4.7 4.7 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图第31页/共74页第30页/共74页+-+-2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题4.8 4.8 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图第32页/共74页第31页/共74页+-+-2 2 梁的剪力和弯矩梁的剪力和弯矩.剪力图和弯矩图剪力图和弯矩图例题例题4.9 4.9 叠加法作弯矩图叠加法作弯矩图第33页/共74页第32页/共74页3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面刚架：平面刚架：由在同一平面内、不同取向的两根或两根由在同一平面内、不同取向的两根或两根以上的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结以

21、上的杆件，通过杆端相互刚性连接而组成的结构。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面构。在平面载荷作用下，组成刚架的杆件横截面上一般存在上一般存在轴力、剪力和弯矩轴力、剪力和弯矩三个内力分量。三个内力分量。弯矩图：弯矩图：画在杆受拉的一侧，不注明正负号。画在杆受拉的一侧，不注明正负号。剪力图和弯矩图：剪力图和弯矩图：可画在刚架轴线的任一侧，不过通常可画在刚架轴线的任一侧，不过通常正值画在刚架的外侧，须注明正负号。正值画在刚架的外侧，须注明正负号。立柱立柱横梁横梁 当杆件变形时，两杆连接处保持刚当杆件变形时，两杆连接处保持刚性，即角度（一般为直角）保持不变。性，即角度（一般为直角）保持不变。第34

22、页/共74页第33页/共74页qLLABCqLqL/2qL/23 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图例题例题4.10 4.10 求做图示刚架的内力图求做图示刚架的内力图轴力剪力第35页/共74页第34页/共74页BqlyBql解：解：1 1、确定约束力、确定约束力2 2、写出各段的内力方程、写出各段的内力方程FN(y)FS(y)M(y)竖杆竖杆ABAB：A A点向上为点向上为y yy例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l求做图示刚架的内力图3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图第36页/共74页第35页/共74页解：解：横杆横杆CBCB：C C点向左为

23、点向左为x xBqlyBFN(x)M(x)xFS(x)x3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l求做图示刚架的内力图顺时针为正顺时针为正第37页/共74页第36页/共74页竖杆竖杆ABAB：Bqly横杆横杆CBCB：MFNFSql3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图例题4.10 已知平面刚架上的均布载荷集度q,长度l，求做图示刚架的内力图画在杆受拉一侧，不注明正负号画在杆受拉一侧，不注明正负号第38页/共74页第37页/共74页3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图平面曲杆平面曲杆:某些构件（吊钩等）

24、其轴线为平面曲线称为平某些构件（吊钩等）其轴线为平面曲线称为平面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，面曲杆。当外力与平面曲杆均在同一平面内时，曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。曲杆的内力有轴力、剪力和弯矩。平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘平面曲杆横截面上的内力情况及其内力图的绘制方法，与刚架的相类似。制方法，与刚架的相类似。第39页/共74页第38页/共74页解：写出曲杆的内力方程解：写出曲杆的内力方程例题例题4.11 4.11 画出该曲杆的内力图画出该曲杆的内力图3 3 平面刚架和曲杆的内力图平面刚架和曲杆的内力图第40页/共74页第39页/共74页4 4 梁横截面上的正应力梁横截面

25、上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件纯弯曲：纯弯曲：梁（如梁（如CD段）各横截面上的剪力为零，弯矩为段）各横截面上的剪力为零，弯矩为常量常量.对其在横截面上正应力的计算公式，要综合考虑对其在横截面上正应力的计算公式，要综合考虑几几何何，物理物理和和静力学静力学三方面。三方面。横力弯曲：横力弯曲：梁（如梁（如AC和和BD段）各横截面同时有剪力和弯段）各横截面同时有剪力和弯矩，且弯矩为截面位置矩，且弯矩为截面位置x的函数。的函数。第41页/共74页第40页/共74页4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上

26、的正应力几何关系几何关系 先研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的先研究该截面上任一点处沿横截面法线方向的线应变，即纵向线应变线应变，即纵向线应变。找出纵向线应变在该截。找出纵向线应变在该截面上的变化规律，进而得出正应力的变化规律。面上的变化规律，进而得出正应力的变化规律。正应力的分布规律正应力的分布规律第42页/共74页第41页/共74页4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系平面假设：平面假设：梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕梁在受力弯曲后，其原来的横截面仍为平面，并绕垂

27、直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线。垂直于纵对称面的某一轴旋转，且仍垂直于梁变形后的轴线。第43页/共74页第42页/共74页4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强梁的正应力强度条件度条件中性层：中性层：梁弯曲变形时，其纵向线段无长度改变梁弯曲变形时，其纵向线段无长度改变（不伸长也不缩短）的面。（不伸长也不缩短）的面。中性轴：中性轴：中性层与横截面的交线，即横截面上正应中性层与横截面的交线，即横截面上正应力为零的各点的连线。弯曲变形时，各横截面间力为零的各点的连线。弯曲变形时，各横截面间绕其中性轴作相对转动。绕其中性轴作相对转动。中性轴位置：中性轴位置：梁发生

28、对称弯曲、且处于弹性范围时，梁发生对称弯曲、且处于弹性范围时，中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用平面。中性轴通过横截面形心，并垂直于荷载作用平面。n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系第44页/共74页第43页/共74页n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力几何关系几何关系4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件 该式表明横截面上任一点处的纵向线应变该式表明横截面上任一点处的纵向线应变与该点与该点在截面上之位置成正比在截面上之位置成正比。中性层的曲率第45页/共74页第44页/共74页4 4 梁横截面上

29、的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件若设各纵向线之间没有因纯弯曲而引起的相互挤若设各纵向线之间没有因纯弯曲而引起的相互挤压，则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于压，则可认为横截面上各点处的纵向线段均处于单轴应力状态。单轴应力状态。当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量当材料处于线弹性范围内且拉伸和压缩弹性模量相同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理相同时，由单轴应力状态下的胡克定律可得物理关系：关系：n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力物理关系物理关系 该式表明横截面上任一点处的该式表明横截面上任一点处的正应力正应力与该点到中性轴与该点到中性

30、轴的距离成正比，而在距中性轴为的距离成正比，而在距中性轴为y y的等高线上各点处的正应的等高线上各点处的正应力均相等。力均相等。第46页/共74页第45页/共74页n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力静力学静力学4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件 根据梁上只有外力偶根据梁上只有外力偶Me的受力条件，由截面法可知，的受力条件，由截面法可知，FN和和My均等于零，而均等于零，而Mz就是横截面上的弯矩就是横截面上的弯矩M。其中其中dA为横截为横截面上的法向内力元素，面上的法向内力元素，S指静矩，指静矩，I指惯性矩。指惯性矩。第47页/共

31、74页第46页/共74页4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力静力学静力学 式中，式中，M为横截面上的弯矩，为横截面上的弯矩，Iz为横截面对中性轴的惯性矩，为横截面对中性轴的惯性矩，y为所求应力点的纵坐标。为所求应力点的纵坐标。将弯矩将弯矩M和坐标和坐标y按规定的正负号代入，所得到的正应力按规定的正负号代入，所得到的正应力若若为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。为正值，即为拉应力，若为负值则为压应力。在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中性层在具体计算中，可根据梁变形的情况来判断，即以中

32、性层为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力则为为界，梁变形后凸出边的应力为拉应力，而凹入边的应力则为压应力。压应力。第48页/共74页第47页/共74页4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围内（适用于均匀连续、各向同性材料，在线弹性范围内（maxp）对称弯曲的小变形情况下。）对称弯曲的小变形情况下。Wz称为弯曲截面系数，其值与横截面的形状和尺寸有关。称为弯曲截面系数，其值与横截面的形状和尺寸有关。在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大；反之最在横截面上离中性轴最远的各点处，正应力值最大；反之最

33、小。小。在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；在纯弯曲时，横截面在弯曲变形后保持平面，公式为精确解；横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式在多数情况下存在横力弯曲时，横截面不再保持平面，公式在多数情况下存在误差。当梁的跨高比误差。当梁的跨高比l/h 5时，误差时，误差1%。若中性轴为截面对称轴，则受拉若中性轴为截面对称轴，则受拉t,max=受压受压c,max，反之不相，反之不相等等n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力正应力分布正应力分布第49页/共74页第48页/共74页常见截面的常见截面的IZ和和WZ圆截面圆截面矩形截面矩形截面空心圆截面空心圆截面空心矩形截面

34、空心矩形截面4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件第50页/共74页第49页/共74页纯弯曲理论的推广横力弯曲纯弯曲理论的推广横力弯曲4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件第51页/共74页第50页/共74页横力弯曲最大正应力横力弯曲最大正应力弹性力学精确分析表明，弹性力学精确分析表明，当跨度当跨度l与横截面高度与横截面高度h之之比比l/h 5（细长梁）时，（细长梁）时，纯弯曲正应力公式对于横纯弯曲正应力公式对于横力弯曲近似成立。力弯曲近似成立。4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应

35、力强度条件条件n纯弯曲理论的推广横力弯曲纯弯曲理论的推广横力弯曲第52页/共74页第51页/共74页弯曲正应力分布弯曲正应力分布细长梁的细长梁的纯弯曲纯弯曲或或横力弯曲横力弯曲横截面惯性矩横截面惯性矩 I IYZYZ=0=0弹性变形阶段弹性变形阶段n纯弯曲时梁横截面上的正应力纯弯曲时梁横截面上的正应力正应力分布正应力分布n弯曲正应力公式适用范围弯曲正应力公式适用范围4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件第53页/共74页第52页/共74页等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴等直梁的最大正应力发生在最大弯矩的横截面上距中性轴最远的各点处，而

36、该处的切应力等于零或与该点处的正应最远的各点处，而该处的切应力等于零或与该点处的正应力相比很小。而且纵截面上由横向力引起的挤压应力可略力相比很小。而且纵截面上由横向力引起的挤压应力可略去不计。去不计。故可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作是故可将横截面上最大正应力所在各点处的应力状态看作是单轴应力状态。所以按照单轴应力状态下强度条件的形式，单轴应力状态。所以按照单轴应力状态下强度条件的形式，来建立梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正来建立梁的正应力强度条件：梁的横截面上的最大工作正应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即应力不得超过材料的许用弯曲正应力，即4 4 梁横截面上的正应

37、力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件n梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件第54页/共74页第53页/共74页4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件强度校核：强度校核：截面设计：截面设计：由由Wz计算截面尺寸。计算截面尺寸。许可荷载计算：许可荷载计算：由由Mmax计算许可荷载值。计算许可荷载值。n梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件 关于许用弯曲正应力的确定，一般就以材料的许用拉应力关于许用弯曲正应力的确定，一般就以材料的许用拉应力作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸时杆横作为其许用弯曲正应力。事实上，由于弯曲和轴向拉伸

38、时杆横截面上正应力的变化规律不同，材料在弯曲与轴向拉伸时的强截面上正应力的变化规律不同，材料在弯曲与轴向拉伸时的强度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力度并不相同，因而在某些设计规范中所规定的许用弯曲正应力就比其许用拉应力略高。就比其许用拉应力略高。第55页/共74页第54页/共74页F FAYAYF FBYBYBAl=3mq=60kN/mxC1mMx30zy180120K1.1.C 截面上截面上K点正应力点正应力2.2.C 截面上截面上最大最大正应力正应力3.3.全梁全梁上上最大最大正应力正应力4.4.已知已知E=200GPa，C 截面的曲率半径截面的曲率半径FSx90kN9

39、0kN1.求支反力求支反力（压应力）（压应力）解：解：4 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件n例题例题4.124.12第56页/共74页第55页/共74页BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN2.C 截面最大正应力C 截面弯矩C 截面惯性矩n例题例题4.124.124 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件第57页/共74页第56页/共74页BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90k

40、N90kN3.全梁最大正应力全梁最大正应力最大弯矩最大弯矩截面惯性矩截面惯性矩n例题例题4.124.124 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件第58页/共74页第57页/共74页BAl=3mF FAYAYq=60kN/mF FBYBYxC1mMx30zy180120KFSx90kN90kN4.C 截面曲率半径截面曲率半径C 截面弯矩截面弯矩C 截面惯性矩截面惯性矩n例题例题4.124.124 4 梁横截面上的正应力梁横截面上的正应力梁的正应力强度梁的正应力强度条件条件第59页/共74页第58页/共74页6-3切应力分布规律：切应力分布规律：切应力方向与

41、剪力平行，大小沿截面切应力方向与剪力平行，大小沿截面均匀分布，沿高度呈抛物线变化均匀分布，沿高度呈抛物线变化矩形截面梁：矩形截面梁：对于狭对于狭 长矩形截面，由于梁的长矩形截面，由于梁的 侧面上无切应力，故横侧面上无切应力，故横 截面上侧边各点处的切截面上侧边各点处的切 应力必与侧边平行，而应力必与侧边平行，而 在对称弯曲情况下，对在对称弯曲情况下，对 称轴称轴y y处的切应力必沿处的切应力必沿y y方向，且狭长矩形截面方向，且狭长矩形截面上切应力沿截面宽度的变化不可能大，于是可作上切应力沿截面宽度的变化不可能大，于是可作如下假设：如下假设：5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应

42、力强度条件梁的切应力强度条件第60页/共74页第59页/共74页6-3矩形截面梁切应力假设：矩形截面梁切应力假设：横截面上各点处的切应力均与侧边平行横截面上各点处的切应力均与侧边平行横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等横截面上距中性轴等远各点处的切应力大小相等矩形截面梁矩形截面梁5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件Sz*Sz*为面积为面积A*A*对横截面中性轴的静矩；对横截面中性轴的静矩；A*A*为横截面上距中性轴为横截面上距中性轴为为y y的横线以外部分的面积（即绿色部分）的横线以外部分的面积（即绿色部分）第61页/共74页第60页/共74页

43、 悬臂梁由三块木板粘接而悬臂梁由三块木板粘接而成。跨度为成。跨度为1m1m。胶合面的许。胶合面的许可切应力为可切应力为0.34MPa0.34MPa，木材，木材的的=10 MPa=10 MPa，=1MPa=1MPa，求许可载荷。，求许可载荷。1.1.画梁的剪力图和弯矩图画梁的剪力图和弯矩图2.2.按正应力强度条件计算许可载荷按正应力强度条件计算许可载荷 3.3.按切应力强度条件计算许可载荷按切应力强度条件计算许可载荷 解：解：n例题例题4 413135 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件第62页/共74页第61页/共74页4.4.按胶合面强度条件计按胶合

44、面强度条件计算许可载荷算许可载荷 5.5.梁的许可载荷为梁的许可载荷为 n例题例题4 413135 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件第63页/共74页第62页/共74页工字形截面梁的切应力：工字形截面梁的切应力：腹板部分腹板部分任一点处铅垂切应力任一点处铅垂切应力 最大切应力发生在中性轴各点处最大切应力发生在中性轴各点处翼缘部分任一点出水平切应力翼缘部分任一点出水平切应力 Sz,max*Sz,max*为中性轴任一边半个横截面面积对中性轴的静为中性轴任一边半个横截面面积对中性轴的静矩；矩；为翼缘厚度为翼缘厚度薄壁环形截面梁的切应力：薄壁环形截面梁的切应

45、力：任一点处切应力任一点处切应力Sz*Sz*为自为自y y轴一侧至轴一侧至角所包面积对中性轴角所包面积对中性轴z z的静矩的静矩最大切应力发生在中性轴各点处最大切应力发生在中性轴各点处5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件第64页/共74页第63页/共74页圆截面梁切应力：圆截面梁切应力：任一点处切应力任一点处切应力 A A为圆截面面积；为圆截面面积；为距为距z z轴轴y y处的截面切面角处的截面切面角 最大切应力发生在中性轴各点处最大切应力发生在中性轴各点处梁的切应力强度条件：梁的切应力强度条件：梁的最大切应力不得超过材料的许梁的最大切应力不得超过材

46、料的许用切应力用切应力切应力强度计算：切应力强度计算：切应力的强度计算有强度校核、截面切应力的强度计算有强度校核、截面设计和许可荷载三类问题。设计和许可荷载三类问题。5 5 梁横截面上的切应力梁横截面上的切应力梁的切应力强度条件梁的切应力强度条件第65页/共74页第64页/共74页降低降低M Mmaxmax：合理安排支座合理安排支座6 6 梁的合理设计梁的合理设计FFF梁的正应力强度条件梁的正应力强度条件第66页/共74页第65页/共74页n降低降低M Mmaxmax：合理安排支座合理安排支座6 6 梁的合理设计梁的合理设计第67页/共74页第66页/共74页Fn降低降低M Mmaxmax：合

47、理布置荷载合理布置荷载6 6 梁的合理设计梁的合理设计第68页/共74页第67页/共74页6-7n增大增大WzWz：合理设计截面合理设计截面6 6 梁的合理设计梁的合理设计第69页/共74页第68页/共74页n增大增大WzWz：合理设计截面合理设计截面6 6 梁的合理设计梁的合理设计第70页/共74页第69页/共74页n增大增大WzWz：合理放置截面合理放置截面6 6 梁的合理设计梁的合理设计第71页/共74页第70页/共74页n等强度梁等强度梁6 6 梁的合理设计梁的合理设计第72页/共74页第71页/共74页6 6 梁的合理设计梁的合理设计梁的强度问题的讨论：梁的强度问题的讨论：在细长杆件

48、的弯曲变形中，通常在细长杆件的弯曲变形中，通常正应力强度是主要的正应力强度是主要的，一般，一般只需考虑正应力强度。当构件较粗短，弯矩较小，剪力较大；只需考虑正应力强度。当构件较粗短，弯矩较小，剪力较大；薄壁组合截面的腹板较小，导致切应力较大；或梁材料的许薄壁组合截面的腹板较小，导致切应力较大；或梁材料的许用切应力较小等情况下，均需校核切应力强度。用切应力较小等情况下，均需校核切应力强度。最大正应力发生在最大弯矩截面的上下边缘处，该处的切应最大正应力发生在最大弯矩截面的上下边缘处，该处的切应力为零，即危险点处于单轴应力状态；最大切应力通常发生力为零，即危险点处于单轴应力状态；最大切应力通常发生在

49、最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即危险点在最大剪力截面的中性轴处，该处的正应力为零，即危险点处于纯剪切应力状态。对于截面上其余各点处，则同时存在处于纯剪切应力状态。对于截面上其余各点处，则同时存在正应力和切应力。若两者分别接近最大正应力和最大切应力正应力和切应力。若两者分别接近最大正应力和最大切应力（如工字形翼缘和腹板连接处各点，且弯矩和剪力均为最大（如工字形翼缘和腹板连接处各点，且弯矩和剪力均为最大时），则应考虑这些点的强度，但强度计算应按强度理论进时），则应考虑这些点的强度，但强度计算应按强度理论进行。行。第73页/共74页第72页/共74页梁的强度问题的讨论：梁的强度问题的讨论

50、：对于中性轴为对称轴的截面，最大拉应力和最大压应力对于中性轴为对称轴的截面，最大拉应力和最大压应力发生在同一截面上；对于中性轴为非对称轴的截面，最发生在同一截面上；对于中性轴为非对称轴的截面，最大拉、压应力通常并不在同一截面上，若材料的许用拉、大拉、压应力通常并不在同一截面上，若材料的许用拉、压应力不同，则应分别校核其拉、压应力的强度。对于压应力不同，则应分别校核其拉、压应力的强度。对于等宽度的截面，最大切应力发生在中性轴处；对于宽度等宽度的截面，最大切应力发生在中性轴处；对于宽度变化的截面，其最大切应力不一定发生在中性轴处。变化的截面，其最大切应力不一定发生在中性轴处。由梁的正应力强度条件可