微积分学基本定理.pptx

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1、一、变限积分与原函数的存在性一、变限积分与原函数的存在性积分;类似称为变下限的定积分.定理9.9(变上限定积分的连续性)证则为变上限的定第1页/共29页于是定理9.10（微积分学基本定理)若 f 在 a,b 上连续,上处处可导,且由 x 的任意性,f 在 a,b 上连续.第2页/共29页证由于 f 在 x 处连续，因此注1 本定理沟通了导数与定积分这两个表面上似续函数必存在原函数”这个重要结论.乎不相干的概念之间的内在联系,也证明了“连第3页/共29页注2 由于 f 的任意两个原函数只能相差一个常数,定理9.11(积分第二中值定理)设 f 在a,b上可积.(i)若函数 g 在 a,b 上单调减

2、,且则存所以当 f 为连续函数时,它的任一原函数 F 必为第4页/共29页(ii)若函数 g 在 a,b 上单调增,且则存证这里只证(i),类似可证(ii).证明分以下五步:(1)对任意分割 T：第5页/共29页第6页/共29页第7页/共29页(4)综合(2),(3),得到第8页/共29页推论即第9页/共29页证 若 g 为单调递减函数，则 h 非负、单调减,由定理 9.11(i)，因此第10页/共29页即得第11页/共29页二、二、换元积分法与分部积分法换元积分法与分部积分法则证定理9.12（定积分换元积分法）的一个原函数.因此第12页/共29页注 与不定积分不同之处:定积分换元后不一定要例

3、1解（不变元,不变限）元积分法时，引入了新变量，此时须改变积分限.保留原积分变量，因此不必改变积分限;用第二换用原变量代回.一般说来，用第一换元积分法时，第13页/共29页例2解（变元,变限）第14页/共29页例3解（必须注意偶次根式的非负性）第15页/共29页例4解第16页/共29页因此,定理9.13（定积分分部积分法）若 u(x),v(x)为 a,b 上的连续可微函数,则有定第17页/共29页积分的分部积分公式：证因为 uv 是在 a,b 上的一个原函数,移项后则得所以第18页/共29页例5解第19页/共29页例6解于是第20页/共29页其中第21页/共29页若 u(x),v(x)在 a,b 上有(n+1)阶连续导函数,则三、泰勒公式的积分型余项三、泰勒公式的积分型余项由此可得以下带积分型余项的泰勒公式.第22页/共29页阶连续导数,则则定理9.14第23页/共29页注 由推广的积分第一中值定理,可得拉格朗日型第24页/共29页由积分第一中值定理,可得第25页/共29页此式称为泰勒公式的柯西型余项.若记第26页/共29页复习思考题第27页/共29页(2)给出正确证明(提示:需要借助变限积分).要求:(1)指出其中三处错误;第28页/共29页感谢您的观看！第29页/共29页