新函数连续性.pptx

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1、第1页/共40页一、连续函数的概念1.1.函数在一点处的连续性函数在一点处的连续性定义定义1 1在在的某邻域内有定义的某邻域内有定义 ,则称函数则称函数设函数设函数且且可见可见,函数函数在点在点(1)(1)在点在点即即(2)(2)极限极限(3)(3)连续必须具备下列条件连续必须具备下列条件:存在存在 ;有定义有定义,存在存在;第2页/共40页函数的增量函数的增量那第3页/共40页则则定义定义2 2 设函数在内有定义,如果当自变量的 增量趋向于零时,也趋向于零,对应的函数的增量即第4页/共40页例例1 1证证由定义由定义1知知例例2第5页/共40页单侧连续单侧连续定理定理定义定义3第6页/共40

2、页例例3 3解解右连续但不左连续右连续但不左连续,第7页/共40页2.2.函数在区间上的连续性函数在区间上的连续性连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线.例如例如,在区间在区间 内每一点都连续的函数内每一点都连续的函数,间上的间上的连续函数连续函数,或者说函数在该区间上连续或者说函数在该区间上连续.叫做在该区叫做在该区第8页/共40页例例4 4证证第9页/共40页3.3.函数的间断点及其分类在在在在(1)(1)函数函数(2)(2)函数函数不存在不存在;(3)(3)函数函数存在存在 ,但但 不连续不连续 :设设在点在点的某去心邻域内有定义的某去心邻域内有定义

3、,则满足下列则满足下列这样的点这样的点情形之一的函数情形之一的函数 f(x)在点在点虽有定义虽有定义,但但虽有定义虽有定义,且且称为函数的称为函数的间断点间断点 .在在无定义无定义 ;第10页/共40页间断点分类:第一类间断点第一类间断点:及及均存在均存在 ,若若称称若若称称第二类间断点第二类间断点:及及中至少一个不存在中至少一个不存在 ,称称若其中有一个为若其中有一个为为为可去间断点可去间断点 .为为跳跃间断点跳跃间断点 .为为无穷间断点无穷间断点 .第11页/共40页例例5 5解解注意注意 可去间断点只要改变或者补充间断处函可去间断点只要改变或者补充间断处函数的定义数的定义,则可使其变为连

4、续点则可使其变为连续点.第12页/共40页例例6 6解解例例7 7解解第13页/共40页例例8 8解解例例9 9 研究函数研究函数间断点，说明间断点的类型.的连续性，如有第14页/共40页二、连续函数的运算及初等函数的连续性二、连续函数的运算及初等函数的连续性定理定理1 1例如例如,定理定理2 2 在区间上单调递增在区间上单调递增(递减递减)且连续的函数的且连续的函数的反函数在相应区间上也单调递增反函数在相应区间上也单调递增(递减递减)且连续且连续.(证明略证明略)例如例如,在其定义域内连续.故第15页/共40页在在上连续上连续 单调单调 递增递增,其反函数其反函数在在上也连续单调递增上也连续

5、单调递增.又如又如,定理定理（证明略）（证明略）例如例如解解第16页/共40页证证:设函数设函数于是于是故复合函数故复合函数且且即即定理定理3 3第17页/共40页例如例如第18页/共40页2.初等函数的连续性三角函数及反三角函数在它们的定义域内是三角函数及反三角函数在它们的定义域内是连续的连续的.定理定理 基本初等函数在定义域内是连续的基本初等函数在定义域内是连续的.(均在其定义域内连续均在其定义域内连续)第19页/共40页基本初等函数在定义域内连续基本初等函数在定义域内连续连续函数经四则运算仍连续连续函数经四则运算仍连续连续函数的复合函数连续连续函数的复合函数连续一切初等函数一切初等函数在

6、在定义区间内定义区间内连续连续例如例如,的连续区间为的连续区间为(端点为单侧连续端点为单侧连续)的连续区间为的连续区间为的定义域为的定义域为因此它无连续点因此它无连续点而而定理定理4 4 一切初等函数在其一切初等函数在其定义区间定义区间内都是连续的内都是连续的.定义区间是指包含在定义域内的区间定义区间是指包含在定义域内的区间.第20页/共40页例例1010解解初等函数求极限的方法初等函数求极限的方法代入法代入法.例例1111第21页/共40页三、三、闭区间上连续函数的性质闭区间上连续函数的性质 例如例如,定义定义:最大值，使得对于在最小值，第22页/共40页问题问题1 1 如何根据函数在区间上

7、的图形找该函数在区间上如何根据函数在区间上的图形找该函数在区间上的最大值点的最大值点 和最小值点？和最小值点？问题问题2 2 是否在某区间上有定义的函数在这个区间一定有是否在某区间上有定义的函数在这个区间一定有最大值最大值 和最小值？和最小值？例例无最大值与最小值无最大值与最小值第23页/共40页也无最大值和最小值也无最大值和最小值 又如又如,定理定理5 5(最值定理最值定理)在在闭区间闭区间上连续的函数在该区间上一上连续的函数在该区间上一定存在最大值与最小值定存在最大值与最小值.(证明略证明略)推论推论(有界性）有界性）在在闭区间闭区间上连续的函数在该区间上一定上连续的函数在该区间上一定有界

8、有界.第24页/共40页定理定理6 6(介值定理介值定理)在闭区间上连续的函数必取得在闭区间上连续的函数必取得介于最大值介于最大值 与最小值与最小值 之间的任何值之间的任何值.定理定理7 7(零值定理零值定理 )几何意义：几何意义：证证：再利用介值定理可证取值为再利用介值定理可证取值为0的点的存在性的点的存在性.第25页/共40页例例1212证证由零点定理由零点定理,说明说明:内必有方程的根内必有方程的根 ;取取的中点的中点内必有方程的根内必有方程的根 ;可用此法求近似根可用此法求近似根.二分法则则则则第26页/共40页例例1313证证由零点定理由零点定理,第27页/共40页零值定理的推广零值

9、定理的推广例例1414第28页/共40页左连续左连续右连续右连续当当时时,有有函数函数在点在点连续有下列连续有下列等价命题等价命题:小结第29页/共40页 作 业 P69 1.(1)(6)（10）2.(3)（4）4.5.7.12第30页/共40页三、小结1.函数在一点连续必须满足的三个条件函数在一点连续必须满足的三个条件;3.间断点的分类与判别间断点的分类与判别;2.区间上的连续函数区间上的连续函数;第一类间断点第一类间断点:可去型可去型,跳跃型跳跃型.第二类间断点第二类间断点:无穷型无穷型,振荡型振荡型.间断点间断点(见下图见下图)第31页/共40页可去型可去型第第一一类类间间断断点点oyx跳跃型跳跃型无穷型无穷型振荡型振荡型第第二二类类间间断断点点oyxoyxoyx第32页/共40页思考题思考题第33页/共40页思考题解答思考题解答且且第34页/共40页但反之不成立但反之不成立.例例但但第35页/共40页练练 习习 题题第36页/共40页第37页/共40页练习题答案练习题答案第38页/共40页第39页/共40页感谢您的观看！第40页/共40页