新课标高中数学理第一轮总复习 数学归纳法.pptx

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1、第1页/共50页解析：当n=1时，左边式子是二次式，为1+x+x2.第2页/共50页2.记凸k边形的内角和为f(k)，则凸k+1边形的内角和f(k+1)=f(k)+_.解析：由凸k边形到凸k+1边形，增加了一个三角形，故f(k+1)=f(k)+p.p第3页/共50页第4页/共50页4.一个关于正整数n的命题，如果验证n=1时命题成立，并在假设n=k(k1)时命题成立的基础上，证明了n=k+2时命题成立，那么论证过程到此为止只说明该命题对_一切正奇数都成立解析：上述论证过程，只说明对n=1,3,5,7，命题成立，并不能说明命题对n=2,4,6，这些偶数能否成立，故这样的论证只能说明命题对一切正奇

2、数都成立第5页/共50页5.用 数 学 归 纳 法 证 明 对 任 意 nN*，有34n+2+52n+1能被14整除的过程中，当n=k+1时，34(k+1)+2+52(k+1)+1应该变形为_.解析：因为n=k+1时的证明过程，要用归纳假设n=k时，34k+2+52k+1能被14整除，所以34(k+1)+2+52(k+1)+1=8134k+2+2552k+1=25(34k+2+52k+1)+5634k+2.25(34k+2+52k+1)+5634k+2第6页/共50页数学归纳法在证明等式中的应用【例1】是否存在常数a、b、c使得等式。122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正

3、整数n都成立？证明你的结论.第7页/共50页第8页/共50页用数学归纳法证明：122+232+n(n+1)2=(3n2+11n+10).当n=1时，等式自然成立；假设n=k(kN*)时，等式成立，即122+232+k(k+1)2=那么当n=k+1时，左边=122+232+k(k+1)2+(k+1)(k+2)2,第9页/共50页=(3k+5)(k+2)+(k+1)(k+2)2=k(3k+5)+12(k+2)=(3k2+17k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10=右边.所以当n=k+1时，等式成立.由知，等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c)对一切正整数n都成立.第10

4、页/共50页 用数学归纳法证明等式时，要清楚等式两边的结构，特别是由nk到nk1等式两边发生了怎样的变化，项数增加了多少项，这是正确解答问题的关键 第11页/共50页【变式练习1】用数学归纳法证明：用数学归纳法证明：第12页/共50页【证明】(1)当n=1时，左边=右边=，命题成立 (2)假设n=k时，命题成立，即 .那么当n=k+1时，左边第13页/共50页数学归纳法在证明整除问题中的应用【例2】用数学归纳法证明：1(3x)n(nN*)能够被x2整除 第14页/共50页第15页/共50页第16页/共50页 整除问题的证明一般是将nk1时的结论设法用nk时的结论表示，然后应用归纳假设证明nk1

5、时命题成立第17页/共50页第18页/共50页第19页/共50页第20页/共50页数学归纳法在证明不等式中的应用 第21页/共50页 当x=0或m=1时，原不等式中等号显然成立.下面用数学归纳法证明“当x-1，且x0时，(1+x)m1+mx(*)对m2,mN*成立”.(1)当m=2时，左边=12xx2，右边=12x.因为x0，所以x20，即左边右边，不等式(*)成立；第22页/共50页 (2)假设当m=k(k2,kN*)时，不等式(*)成立，即(1+x)k1+kx.则当m=k+1时，因为x-1，所以1+x0.又因为x0,k0，所以kx20.于是在不等式(1+x)k 1+kx两边同乘以1+x,得

6、(1+x)(1+x)k(1+kx)(1+x)=1+(k+1)x+kx21+(k+1)x，所以(1+x)k+11+(k+1)x.即当m=k+1时，不等式(*)也成立.综上(1)(2)所述，所证不等式成立.第23页/共50页 用数学归纳法证明函数中的不等式，首先要弄清楚谁是变量，作为函数，自变量x是变量，但在归纳法的应用中，与自然数有关的量才是数学归纳法要研究的变量；其次在应用归纳假设时，要对不等式作适当的放缩转化，确保向目标前进.第24页/共50页第25页/共50页第26页/共50页数学归纳法在数列问题中的应用 第27页/共50页第28页/共50页第29页/共50页 数学归纳法在解决有关数列问题

7、时发挥着很大的作用数列是关于自然数的命题，由数列的递推关系，可以对结果进行推测和猜想，对猜想的结论进行合理证明，数学归纳法是最佳的工具本题联系等差数列、等比数列，考查了数学归纳法的应用和综合运用数学知识进行归纳、推理、论证的能力第30页/共50页第31页/共50页第32页/共50页数学归纳法在几何问题中的应用 5 5第33页/共50页 当n=1时，一个圆把平面分成两部分，又f(1)=2，命题成立；假设n=k时，命题成立，即k个圆把平面分成f(k)=k2-k+2个部分，那么当n=k+1时，第k+1个圆与原来k个圆都相交于两点，且无任意三圆相交于同一点，于是第k+1个圆与前k个圆有2k个交点，因此

8、第k+1个圆被分成2k段弧，每段弧把原区域分成两部分，因此平面区域在原基础上增加了2k块,于是f(k+1)=f(k)+2k=k2-k+2+2k=(k+1)2第34页/共50页 即当n=k+1时，命题成立.由知，命题对任意正整数都成立.第35页/共50页 用数学归纳法证明几何问题，关键是第二步中由k到k+1的变化情况.通过几何说理，来完成算式推理，借助于几何特征和图形的直观性来建立k与k+1的递推关系.第36页/共50页第37页/共50页所以f(3)=4+3=7；当n=4时，四条直线把平面分成11个部分，所以f(4)=7+4=11.猜想f(n)=f(n-1)+n.当n=2,3,4,n时，得到(n

9、-1)个式子，相加得f(n)=用数学归纳法证明：当n=1时，f(1)=第38页/共50页第39页/共50页 第40页/共50页1.一个与自然数有关的命题，若nk(kN*)时，命题成立，可以推出nk1时，该命题也成立现在已知n5时该命题不成立，则当n4时该命题_.第41页/共50页2.设f(n)n+f(1)+f(2)+f(n1)，用数学归纳法证明“n+f(1)+f(2)+f(n-1)=nf(n)”时，第 一 步 要 证 的 等 式 是_.第42页/共50页第43页/共50页4.圆内有n条两两相交的弦将圆最多分为f(n)个区域，通过计算f(1)，f(2)，f(3)，f(4)，由此猜想f(n)=_.

10、第44页/共50页第45页/共50页第46页/共50页 数学归纳法是演绎推理中的完全归纳法，也叫科学归纳法.从观察一些特殊简单的问题入手，根据它们所体现的共同性质，运用不完全归纳法作出一般命题的猜想，然后从理论上证明这种猜想，这一过程称为“归纳猜想证明”过程，它是一个完整的思维过程.数学归纳法将这一过程进行了抽象概括，构建了自己的证明体系.一般地，当要证明一个命题对于不小于某个正整数n0的所有第47页/共50页 正整数n都成立时，可以用下面两个步骤来完成：(1)证明当n=n0时，命题成立；(2)假设当n=k(kN*,kn0)时，命题成立，再证明当n=k+1时，命题也成立.这种证明方法就是数学归纳法.数学归纳法是一种适应于与正整数有关的命题的证明方法，它的表述严格而有规范，两个步骤缺一不可，第一步是递推的基础.第48页/共50页第二步是递推的依据.第二步中，归纳假设起着“已知条件”的作用，在“n=k+1”时，必须要用到归纳假设这个条件否则会犯推理的逻辑错误.第二步的关键是在推证中，一要依据假设，二要符合推证的结论.第49页/共50页感谢您的观看！第50页/共50页