数据结构C树和二叉树.pptx

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1、树的定义树的定义树：树：n（n0）个个结点结点的有限的有限集合集合。当当n0时，称为空树；时，称为空树；任意一棵非空树满足以下条件：任意一棵非空树满足以下条件：有且仅有一个特定的称为有且仅有一个特定的称为根根的结点；的结点；当当n1时时，除除根根结结点点之之外外的的其其余余结结点点被被分分成成m（m0）个个互互不不相相交交的的有有限限集集合合T1,T2,Tm，其其中中每每个个集集合合又又是是一一棵棵树树，并称为这个根结点的并称为这个根结点的子树子树。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的定义是采用递归方法树的定义是采用递归方法第1页/共202页(a)一棵树结构一棵树结构 (b)一个非树结构一个非

2、树结构 (c)一个非树结构一个非树结构 5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的定义树的定义ACBGFEDHIACBGFDACBGFDE第2页/共202页树的应用举例树的应用举例文件结构文件结构5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构My ComputerC:D:E:etcWINDOWSProgram FilesPictureMusic第3页/共202页树的基本术语树的基本术语结点的度：结点的度：结点所拥有的子树的个数。结点所拥有的子树的个数。树的度：树的度：树中各结点度的最大值。树中各结点度的最大值。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构CGBDEFKLHMIJA第4页/共202页5.1 树的逻辑结构树的逻辑

3、结构叶子结点：叶子结点：度为度为0的结点，也称为终端结点。的结点，也称为终端结点。分支结点：分支结点：度不为度不为0的结点，也称为非终端结点。的结点，也称为非终端结点。CGBDEFKLHMIJA树的基本术语树的基本术语第5页/共202页孩子、双亲：孩子、双亲：树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结树中某结点子树的根结点称为这个结点的孩子结点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；点，这个结点称为它孩子结点的双亲结点；兄弟兄弟：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。：具有同一个双亲的孩子结点互称为兄弟。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构CGBDEFKLHMIJA树的基本术语树的基本术语第6页/共20

4、2页路径：路径：如果树的结点序列如果树的结点序列n1,n2,nk有如下关系：结点有如下关系：结点ni是是ni+1的双亲（的双亲（1=ik），则把，则把n1,n2,nk称为一条由称为一条由n1至至nk的的路径；路径上经过的边的个数称为路径；路径上经过的边的个数称为路径长度路径长度。CGBDEFKLHMIJA5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语第7页/共202页祖先、子孙：祖先、子孙：在树中，如果有一条路径从结点在树中，如果有一条路径从结点x到结到结点点y，那么那么x就称为就称为y的祖先，而的祖先，而y称为称为x的子孙。的子孙。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构CGBDEFKLH

5、MIJA树的基本术语树的基本术语第8页/共202页结点所在层数：结点所在层数：根结点的层数为根结点的层数为1 1；对其余任何结点，；对其余任何结点，若某结点在第若某结点在第k k层，则其孩子结点在第层，则其孩子结点在第k+1k+1层。层。树的深度：树的深度：树中所有结点的最大层数，也称树中所有结点的最大层数，也称高度高度。1 1层层2层层4 4层层3层层高度高度4CGBDEFKLHMIJC5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语第9页/共202页CBDEFKLHJA71234568910层序编号：层序编号：将树中结点按照从上层到下层、同层从左将树中结点按照从上层到下层、同层从左

6、到右的次序依次给他们编以从到右的次序依次给他们编以从1 1开始的连续自然数。开始的连续自然数。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语第10页/共202页有序树、无序树：有序树、无序树：如果一棵树中结点的各子树从左如果一棵树中结点的各子树从左到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为到右是有次序的，称这棵树为有序树；反之，称为无序树。无序树。数据结构中讨论的一般都是有序树数据结构中讨论的一般都是有序树 5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语ACBGFEDACBGFED第11页/共202页CBDEFKLHJ森林：森林：m(m0)棵互不相交的树的集合。棵互不相交

7、的树的集合。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语A第12页/共202页同同构构：对对两两棵棵树树，若若通通过过对对结结点点适适当当地地重重命命名名，就就可可以以使使这这两两棵棵树树完完全全相相等等（结结点点对对应应相相等等，结结点点对对应应关关系系也也相相等等），则称这两棵树同构。，则称这两棵树同构。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树的基本术语树的基本术语ACBGFEDDAECFBG第13页/共202页树结构和线性结构的比较树结构和线性结构的比较线性结构线性结构线性结构线性结构树结构树结构树结构树结构第第一一个数据元素个数据元素根结点（只有根结点（只有一一个）个）无前驱无前

8、驱无双亲无双亲最后最后一一个数据元素个数据元素叶子结点叶子结点(可以有可以有多多个个)无后继无后继无孩子无孩子其它数据元素其它数据元素其它结点其它结点一个前驱一个前驱,一个后一个后继继一个双亲一个双亲,多个孩子多个孩子一对一一对一一对一一对一 一对多一对多一对多一对多5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构第14页/共202页树的遍历操作树的遍历操作 树的遍历：树的遍历：从从根根结点出发，按照某种结点出发，按照某种次次序访问序访问树中所有结点，树中所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。使得每个结点被访问一次且仅被访问一次。如何理解如何理解访问访问?抽象抽象操作，操作，可以是对结点进行的各种处

9、理，这里可以是对结点进行的各种处理，这里简化为输出简化为输出结点的数据。结点的数据。如何理解如何理解次序次序?树树通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次）通常有前序（根）遍历、后序（根）遍历和层序（次）遍历三种方式。遍历三种方式。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构树结构（非线性结构）树结构（非线性结构）线性结构。线性结构。遍历的实质遍历的实质?第15页/共202页前序遍历前序遍历 树的树的前序遍历前序遍历操作定义为：操作定义为：若树为空，则空操作返回；否则若树为空，则空操作返回；否则 访问根结点；访问根结点；按照从左到右的顺序按照从左到右的顺序前序遍历前序遍历根结点的每一棵子树。根结点的

10、每一棵子树。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构前序遍历序列：前序遍历序列：A B D E H I F C GACBGFEDHI第16页/共202页后序遍历后序遍历 树的后序遍历操作定义为：树的后序遍历操作定义为：若树为空，则空操作返回；否则若树为空，则空操作返回；否则 按按照照从从左左到到右右的的顺顺序序后后序序遍遍历历根结点的每一棵子树；根结点的每一棵子树；访问根结点。访问根结点。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构后序遍历序列：后序遍历序列：D H I E F B G C AACBGFEDHI第17页/共202页层序遍历层序遍历 树的层序遍历操作定义为：树的层序遍历操作定义为：从从树树的的第第一

11、一层层（即即根根结结点点）开开始始，自自上上而而下下逐逐层层遍遍历历，在在同同一一层层中中，按按从从左左到到右右的的顺顺序序对对结结点点逐逐个个访访问。问。5.1 树的逻辑结构树的逻辑结构层序遍历序列：层序遍历序列：A B C D E F G H IACBGFEDHI第18页/共202页5.2 树的存储结构树的存储结构实现树的存储结构，关键是什么实现树的存储结构，关键是什么?树中结点之间的逻辑关系是什么树中结点之间的逻辑关系是什么?一对多的关系一对多的关系存储结构的关键：如何表示结点的双亲和孩子存储结构的关键：如何表示结点的双亲和孩子如何表示树中结点之间的逻辑关系。如何表示树中结点之间的逻辑关

12、系。第19页/共202页双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法基本思想：基本思想：用一维数组来存储树的各个结点（一般按用一维数组来存储树的各个结点（一般按层序层序存储），存储），数组中的一个元素对应树中的数组中的一个元素对应树中的一个结点，一个结点，每个结点记录两类信息：结点的数据信息以及该结点的双亲每个结点记录两类信息：结点的数据信息以及该结点的双亲在数组中的下标。在数组中的下标。5.2 树的存储结构树的存储结构 data parentdata：存储树中结点的数据信息存储树中结点的数据信息parent：存储该结点的双亲在数组中的下标存储该结点的双亲在数组中的下标第20页/共202页temp

13、late struct PNode T data;/数据域数据域 int parent;/指针域，双亲在数组中的下标指针域，双亲在数组中的下标;data parent5.2 树的存储结构树的存储结构树的双亲表示法实质上是一个树的双亲表示法实质上是一个静态链表静态链表。双亲表示法中结点数据类型的定义双亲表示法中结点数据类型的定义双亲表示法中结点数据类型的定义双亲表示法中结点数据类型的定义第21页/共202页下标下标 data parent012345678 A -1 B 0 C 0 D 1 E 1 F 1 G 2 H 2 I 4 5.2 树的存储结构树的存储结构如何查找如何查找双亲双亲结点？时间

14、性能？结点？时间性能？双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法ACBHFEDGI第22页/共202页5.2 树的存储结构树的存储结构双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表示法ACBHFEDGI如何查找如何查找孩子孩子结点？时间性能？结点？时间性能？下标下标 data parentfirstchild 1 3 6-1 8-1-1-1-1012345678 A -1 B 0 C 0 D 1 E 1 F 1 G 2 H 2 I 4 第23页/共202页下标下标 data parent rightsib-1 2-1 4 5-17-1-15.2 树的存储结构树的存储结构双亲表示法双亲表示法双亲表示法双亲表

15、示法012345678 A -1 B 0 C 0 D 1 E 1 F 1 G 2 H 2 I 4 ACBHFEDGI如何查找如何查找兄弟兄弟结点？时间性能？结点？时间性能？第24页/共202页链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该结点的一个孩子结点。域指向该结点的一个孩子结点。如何确定链表中的结点结构？如何确定链表中的结点结构？5.2 树的存储结构树的存储结构孩子表示法孩子表示法-多重链表表示法多重链表表示法方案一：方案一：指针域的个数等于树的度指针域的个数等于树的度data child1 child2 childd其中

16、：其中：data：数据域，存放该结点的数据信息；数据域，存放该结点的数据信息；child1childd：指针域，指向该结点的孩子。指针域，指向该结点的孩子。第25页/共202页5.2 树的存储结构树的存储结构缺点：浪费空间缺点：浪费空间ACBHFEDGIABCDEFGHI 第26页/共202页链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针链表中的每个结点包括一个数据域和多个指针域，每个指针域指向该结点的一个孩子结点。域指向该结点的一个孩子结点。如何确定链表中的结点结构？如何确定链表中的结点结构？5.2 树的存储结构树的存储结构方案二：方案二：指针域的个数等于该结点的度指针域的个数等于该结

17、点的度 data degree child1 child2 childd其中：其中：data：数据域，存放该结点的数据信息；数据域，存放该结点的数据信息；degree：度域，存放该结点的度；度域，存放该结点的度；child1childd：指针域，指向该结点的孩子。指针域，指向该结点的孩子。孩子表示法孩子表示法-多重链表表示法多重链表表示法第27页/共202页5.2 树的存储结构树的存储结构缺点：结点结构不一致缺点：结点结构不一致ACBHFEDGIA 2B 3C 2E 1I 0G 0H 0F 0D 0第28页/共202页基本思想：基本思想：把每个结点的孩子排列把每个结点的孩子排列起来，看成是一个

18、线性表，且以单链表起来，看成是一个线性表，且以单链表存储，存储，则则n个结点共有个结点共有 n 个孩子链表个孩子链表。这这 n 个单链表共有个单链表共有 n 个头指针，个头指针，这这 n 个头指针又组成了一个个头指针又组成了一个线性表。线性表。为了便于进行查找为了便于进行查找采用顺序存储采用顺序存储。最后，最后，将存放将存放 n 个头指针的数组和存放个头指针的数组和存放n个结点的数组结合起个结点的数组结合起来，构成孩子链表的来，构成孩子链表的表头数组表头数组。5.2 树的存储结构树的存储结构特点：将每个结点的所有孩子放在一起，构成线性表。特点：将每个结点的所有孩子放在一起，构成线性表。孩子表示

19、法孩子表示法-孩子链表表示法孩子链表表示法第29页/共202页ACBHFEDGI012345678下标下标 data firstchild A B C D E F G H I 5.2 树的存储结构树的存储结构12 345 7 68 第30页/共202页child next孩子结点孩子结点struct CTNode int child;CTNode*next;5.2 树的存储结构树的存储结构template struct CBNode T data;CTNode*firstchild;孩子链表表示法孩子链表表示法Data firstchild表头结点表头结点第31页/共202页ACBHFEDGI

20、012345678下标下标 data firstchild A B C D E F G H I 5.2 树的存储结构树的存储结构如如何何查查找找孩孩子子结结点？点？12 345 7 68 第32页/共202页ACBHFEDGI012345678下标下标 data firstchild A B C D E F G H I 5.2 树的存储结构树的存储结构12 345 7 68 如如何何查查找找双双亲亲结点？结点？第33页/共202页ACBHFEDGI012345678下标下标 data firstchild A B C D E F G H I 5.2 树的存储结构树的存储结构12 345 7 6

21、8 如如何何查查找找兄兄弟弟结点？结点？第34页/共202页孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法5.2 树的存储结构树的存储结构ACBHFEDGI某结点的第一个孩子是惟一的某结点的第一个孩子是惟一的某结点的右兄弟是惟一的某结点的右兄弟是惟一的设置两个分别指向该结点的设置两个分别指向该结点的第一个孩子和右兄第一个孩子和右兄弟的指针弟的指针 第35页/共202页template struct TNode T data;TNode *firstchild,*rightsib;5.2 树的存储结构树的存储结构结点结构结点结构firstchild data rightsibdata：

22、数据域，存储该结点的数据信息；数据域，存储该结点的数据信息；firstchild：指针域，指向该结点第一个孩子；指针域，指向该结点第一个孩子；rightsib：指针域，指向该结点的右兄弟结点。指针域，指向该结点的右兄弟结点。孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法第36页/共202页5.2 树的存储结构树的存储结构孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法ACBHFEDGI A B C D E F G H I如如何何查查找找兄兄弟弟结结点点？第37页/共202页5.2 树的存储结构树的存储结构孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法孩子兄弟表示法ACBHFEDG

23、I A B C D E F G H I如如何何查查找找孩孩子子结结点点？第38页/共202页树的存储结构小结顺序存储：本质上是静态指针双亲表示法链式存储：多重链表示法孩子链表表示法孩子兄弟表示法第39页/共202页二叉树的定义二叉树的定义二叉树的定义二叉树的定义 二叉树是二叉树是n（n0）个结点的有限集合，该集合或者为空个结点的有限集合，该集合或者为空集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵集（称为空二叉树），或者由一个根结点和两棵互不相互不相交交的、分别称为根结点的的、分别称为根结点的左子树左子树和和右子树右子树的二叉树组成。的二叉树组成。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构结构简单，

24、适合于计算机处理结构简单，适合于计算机处理结构简单，适合于计算机处理结构简单，适合于计算机处理问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解决树的有问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解决树的有问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解决树的有问题转化：将树转换为二叉树，从而利用二叉树解决树的有关问题。关问题。关问题。关问题。研究二叉树的意义？研究二叉树的意义？第40页/共202页二叉树的特点：二叉树的特点：每个结点最多有两棵子树；每个结点最多有两棵子树；二叉树是有序的，其次序不二叉树是有序的，其次序不能任意颠倒能任意颠倒。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构注意：二叉树和树是两种树

25、结构。注意：二叉树和树是两种树结构。ABCDEFGABAB第41页/共202页二叉树的基本形态二叉树的基本形态空二叉树空二叉树只有一个根结点只有一个根结点左子树左子树根结点只有左子树根结点只有左子树右子树右子树根结点只有右子树根结点只有右子树左子树左子树右子树右子树根结点同时有左右子树根结点同时有左右子树5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第42页/共202页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构具有具有3 3个结点的树和具有个结点的树和具有3 3个结点的二叉树的形态个结点的二叉树的形态v二叉树和树是两种树结构。二叉树和树是两种树结构。第43页/共202页特殊的二叉树特殊的二叉树斜树斜树

26、1.所所有结点都只有左子树的有结点都只有左子树的二叉树称为二叉树称为左斜树左斜树；2.所有结点都只所有结点都只有右子树的有右子树的二叉树称为二叉树称为右斜树右斜树；斜树斜树。1.在斜树中，每一层只有一个结点；在斜树中，每一层只有一个结点；2.斜树的结点个数与其深度相同。斜树的结点个数与其深度相同。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构斜树的特点：斜树的特点：ABCABC第44页/共202页满二叉树满二叉树在一棵二叉树中，在一棵二叉树中，如果所有分如果所有分支结点都存在左子树和右子树支结点都存在左子树和右子树，并且所有叶子都在并且所有叶子都在同一层上同一层上。满二叉树的特点满二叉树的特点：叶子

27、只能出现在最下一层；叶子只能出现在最下一层；只有度为只有度为0和度为和度为2的结点。的结点。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构特殊的二叉树特殊的二叉树A15234678910BCDEFGHIJKLM NO1112 13 14 15第45页/共202页满二叉树满二叉树5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构不是满二叉树，虽然不是满二叉树，虽然所有分支结点都有左所有分支结点都有左右子树，但叶子不在右子树，但叶子不在同一层上。同一层上。满二叉树在同样深度的二叉树中满二叉树在同样深度的二叉树中结点结点个数最多个数最多满二叉树在同样深度的二叉树中满二叉树在同样深度的二叉树中叶子结点叶子结点个数最多

28、个数最多A1523467BCDEFGLM89特殊的二叉树特殊的二叉树第46页/共202页完全二叉树完全二叉树对一棵具有对一棵具有n个结点的二叉树个结点的二叉树按层序编号，如果编号为按层序编号，如果编号为i（1in）的结点与同样深度的结点与同样深度的满二叉树中编号为的满二叉树中编号为i的结点的结点在二叉树中的位置完全相同。在二叉树中的位置完全相同。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构特殊的二叉树特殊的二叉树A15234678910BCDEFGHIJKLM NO1112 13 14 15A15234678910BCDEFGHIJ第47页/共202页在满二叉树中，从最后在满二叉树中，从最后一个结

29、点开始，一个结点开始，连续连续去去掉掉任意任意个结点，即是一个结点，即是一棵完全二叉树。棵完全二叉树。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构A1523467910BCDEFGHIJK11L12M13N14O158A15234678910BCDEFGHIJ不是完全二叉树，结点不是完全二叉树，结点10与满二叉树中的结点与满二叉树中的结点10不是同一个结点不是同一个结点特殊的二叉树特殊的二叉树第48页/共202页1.叶子结点只能出现在最下两层，叶子结点只能出现在最下两层，且最下层的叶子结点都集中在二且最下层的叶子结点都集中在二叉树的左部；叉树的左部；2.完全二叉树中如果有度为完全二叉树中如果有度为

30、1的的结点，只可能有一个，且该结结点，只可能有一个，且该结点点只有左孩子。只有左孩子。3.深度为深度为k的完全二叉树在的完全二叉树在k-1层层上一定是满二叉树。上一定是满二叉树。完全二叉树的特点完全二叉树的特点5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构特殊的二叉树特殊的二叉树A15234678910BCDEFGHIJ第49页/共202页二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 性质性质5-1 二叉树的第二叉树的第i层上最多有层上最多有2i-1个结点（个结点（i1）。）。证明：证明：当当i=1时时，第，第1层只有一个根结点，而层只有一个根结点，而 2i-1=20=1，结论显

31、然成立。结论显然成立。假定假定i=k（1ki）时结论成立，即第）时结论成立，即第k层上至多有层上至多有2k-1个结点，个结点，则则 i=k+1时时，因为第，因为第k+1层上的结点是第层上的结点是第k层上结点的孩子，而层上结点的孩子，而二叉树中每个结点最多有二叉树中每个结点最多有2个孩子，故在第个孩子，故在第k+1层上最大结点个层上最大结点个数为第数为第k层上的最大结点个数的二倍，即层上的最大结点个数的二倍，即22k-12k。结论成立。结论成立。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构第50页/共202页性质性质5-2 一棵深度为一棵深度为k的二叉树中，最多有的二叉树中，最多有2k-1个结点，最

32、少个结点，最少有有k个结点。个结点。证明：由性质证明：由性质1可知，深度为可知，深度为k的二叉树中结点个数最多的二叉树中结点个数最多=2k-1；每一层至少要有一个结点，因此深度为每一层至少要有一个结点，因此深度为k的二叉树，的二叉树，至少有至少有k个结点。个结点。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构深度为深度为k且具有且具有2k-1个结点的二叉树个结点的二叉树一定是一定是满二叉树，满二叉树，深度为深度为k且具有且具有k个结点的二叉树个结点的二叉树不一定不一定是斜树。是斜树。二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 第51页/共202页性质性质5-3 在一棵二叉树中，

33、如果叶子结点数为在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为度为2的的结点数为结点数为n2，则有则有:n0n21。证明证明:设设n为二叉树的结点总数，为二叉树的结点总数，n1为二叉树中度为为二叉树中度为1的结点的结点数，则有：数，则有：nn0n1n2 在二叉树中，除了根结点外，其余结点都有唯一的一个分在二叉树中，除了根结点外，其余结点都有唯一的一个分枝进入，由于这些分枝是由度为枝进入，由于这些分枝是由度为1和度为和度为2的结点射出的，的结点射出的，一个度为一个度为1的结点射出一个分枝，一个度为的结点射出一个分枝，一个度为2的结点射出两的结点射出两个分枝，所以有：个分枝，所以有：nn12n21因此

34、可以得到：因此可以得到：n0n21。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 第52页/共202页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构在有在有n个结点的满二叉树中，有多少个叶子结点？个结点的满二叉树中，有多少个叶子结点？因为在满二叉树中没有度为因为在满二叉树中没有度为1的结点，只有度为的结点，只有度为0的叶子结点的叶子结点和度为和度为2的分支结点，所以，的分支结点，所以，n n0+n2n0n2+1 即叶子结点即叶子结点n0（n+1）/2 二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质二叉树的基本性质 性质性质5-3 在一棵二

35、叉树中，如果叶子结点数为在一棵二叉树中，如果叶子结点数为n0，度为度为2的的结点数为结点数为n2，则有则有:n0n21。第53页/共202页性质性质5-4 具有具有n个结点的完全二叉树的深度为个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构证证明明：假假设设具具有有n个个结结点点的的完完全全二二叉叉树树的的深深度度为为k，根据完全二叉树的定义和性质根据完全二叉树的定义和性质2，有下式成立，有下式成立 2k-1 n 2k 2k-1-12k-12k-1第第k-1层层第第k层层最少结点数最少结点数最多结点数最多结点数完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二

36、叉树的基本性质完全二叉树的基本性质 第54页/共202页 5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构证证明明：假假设设具具有有n个个结结点点的的完完全全二二叉叉树树的的深深度度为为k，根根据据完完全全二叉树的定义和性质二叉树的定义和性质2，有下式成立，有下式成立 2k-1 n 2k完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质 性质性质5-4 具有具有n个结点的完全二叉树的深度为个结点的完全二叉树的深度为 log2n +1。对不等式取对数，有：对不等式取对数，有：k-1log2nk即：即：log2nklog2n+1由于由于k是整数，故必有是整数，故必有k log

37、2n+1。第55页/共202页性质性质5-5 对一棵具有对一棵具有n个结点的完全二叉树中从个结点的完全二叉树中从1开始按层序开始按层序编号，则对于任意的序号为编号，则对于任意的序号为i（1in）的结点（简称为结点的结点（简称为结点i），），有：有：（1）如果）如果i1，则结点则结点i的双亲结点的序号为的双亲结点的序号为 i/2；如果如果i1，则结点则结点i是根结点，无双亲结点。是根结点，无双亲结点。(2)如果如果2in，则结点则结点i的左孩子的序号为的左孩子的序号为2i；如果如果2in，则结点则结点i无左孩子。无左孩子。(3)如果如果2i1n，则结点则结点i的右孩子的序号为的右孩子的序号为2i

38、1；如果如果2i1n，则结点则结点 i无右孩子。无右孩子。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质完全二叉树的基本性质 第56页/共202页18910456723对一棵具有对一棵具有n个结点的完全个结点的完全二叉树中从二叉树中从1开始按层序编开始按层序编号，则号，则l 结点结点i的双亲结点为的双亲结点为 i/2；l 结点结点i的左孩子为的左孩子为2i；l 结点结点i的右孩子为的右孩子为2i1。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构性质性质5表明，在完全二叉树中，结点的层序编号反映表明，在完全二叉树中，结点的层序编号反映了结点之间的逻

39、辑关系。了结点之间的逻辑关系。第57页/共202页二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种二叉树的遍历是指从根结点出发，按照某种次序次序访问二访问二叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被叉树中的所有结点，使得每个结点被访问一次且仅被访问访问一次。一次。二叉树遍历操作的目的？二叉树遍历操作的目的？非线性结构线性化非线性结构线性化5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构抽象操作，抽象操作，可以是对结点进行的各种处理，可以是对结点进行的各种处理，这里这里简化为输出结点的数据。简化为输出结点的数据。前序遍历前序遍历中序遍历中序遍历

40、后序遍历后序遍历层序遍历层序遍历 第58页/共202页二叉树的遍历方式：二叉树的遍历方式：DLR、LDR、LRD、DRL、RDL、RLD 如果限定先左后右，则二叉树遍历方式有三种：如果限定先左后右，则二叉树遍历方式有三种：前序前序：DLR中序中序：LDR后序后序：LRD层序遍历层序遍历：按二叉树的层序编号的次序访问各结点。：按二叉树的层序编号的次序访问各结点。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构考虑二叉树的组成：考虑二叉树的组成：根结点根结点D左子树左子树L右子树右子树R二二叉叉树树第59页/共202页前序（根）遍历前序（根）遍历若二叉树为空，则空操作返回；否则：若二叉树为空，则空操作返回

41、；否则：访问根结点；访问根结点；前序前序遍历遍历根根结点的左子树；结点的左子树；前序前序遍历遍历根根结点的右子树。结点的右子树。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构前序遍历序列：前序遍历序列：A B D G C E FABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第60页/共202页中序（根）遍历中序（根）遍历若二叉树为空，则空操作返回；否则：若二叉树为空，则空操作返回；否则：中序中序遍历遍历根根结点的左子树；结点的左子树；访问根结点；访问根结点；中序中序遍历遍历根根结点的右子树。结点的右子树。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构中序遍历序列：中序遍历

42、序列：D G B A E C FABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第61页/共202页后序（根）遍历后序（根）遍历若二叉树为空，则空操作返回；否则：若二叉树为空，则空操作返回；否则：后序后序遍历遍历根根结点的左子树；结点的左子树；后序后序遍历遍历根根结点的右子树。结点的右子树。访问根结点；访问根结点；5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构后序遍历序列：后序遍历序列：G D B E F C AABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第62页/共202页层序遍历层序遍历二二叉叉树树的的层层次次遍遍历历是是指指从

43、从二二叉叉树树的的第第一一层层（即即根根结结点点）开开始始，从从上上至至下下逐逐层层遍遍历历，在在同同一一层层中中，则则按按从从左左到到右右的的顺顺序序对对结结点点逐逐个个访问。访问。5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构层序遍历序列：层序遍历序列：A B C D E F GABCDEFG二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第63页/共202页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构-/+*abcdef二叉树遍历操作练习二叉树遍历操作练习前序遍历结果：前序遍历结果：-+a*b-c d/e f中序遍历结果：中序遍历结果：a+b*c-d-e/f后序遍历结果：后序遍历

44、结果：a b c d-*+e f/-第64页/共202页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构若已知一棵二叉树的前序（或中序，或后序，或层序）若已知一棵二叉树的前序（或中序，或后序，或层序）序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？ABC例：已知前序序列为例：已知前序序列为ABC，则可能的二叉树有，则可能的二叉树有5种。种。ABC二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第65页/共202页5.3 二叉树的逻辑结构二叉树的逻辑结构例：已知前序遍历序列为例：已知前序遍历序列为ABC，后序遍历序列为，后序遍历序列为CBA，则下列二叉树都满足条件。则下

45、列二叉树都满足条件。ABCABC若已知一棵二叉树的前序序列和后序序列，能否唯一确若已知一棵二叉树的前序序列和后序序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？定这棵二叉树呢？二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第66页/共202页若已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，能否唯一确若已知一棵二叉树的前序序列和中序序列，能否唯一确定这棵二叉树呢？怎样确定？定这棵二叉树呢？怎样确定？例如：已知一棵二叉树的前序遍历序列和中序遍历序列分别例如：已知一棵二叉树的前序遍历序列和中序遍历序列分别为为ABCDEFGHI 和和BCAEDGHFI，如何构造该二叉树呢如何构造该二叉树呢?5.3 二叉树的

46、逻辑结构二叉树的逻辑结构二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作二叉树的遍历操作 第67页/共202页前序：前序：A B C D E F G H I中序：中序：B C A E D G H F I前序：前序：B C中序：中序：B C B C D EF GH IA前序：前序：D E F G H I中序：中序：E D G H F IABCDEFGHI第68页/共202页前序：前序：F G H I中序：中序：G H F I前序：前序：D E F G H I中序：中序：E D G H F IABCDEFGHIABCDEFIGH第69页/共202页顺序存储结构顺序存储结构二叉树的顺序存储结构就是用

47、一维数组存储二叉树中的结二叉树的顺序存储结构就是用一维数组存储二叉树中的结点，并且结点的点，并且结点的存储位存储位置置（下标）应能体现结点之间的（下标）应能体现结点之间的逻逻辑关系辑关系父子关系。父子关系。如何利用数组下标来反映结点之间的逻辑关系如何利用数组下标来反映结点之间的逻辑关系?完全二叉树完全二叉树和和满二叉树满二叉树中结点的序号可以唯一地反映出中结点的序号可以唯一地反映出结点之间的逻辑关系结点之间的逻辑关系。5.4 二叉树的存储结构及实现二叉树的存储结构及实现第70页/共202页 A B C D E F G H I J数组下标数组下标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10完完全全

48、二二叉叉树树的的顺顺序序存存储储5.4 二叉树的存储结构及实现二叉树的存储结构及实现A15234678910BCDEFGHIJ以编号以编号为下标为下标第71页/共202页二二叉叉树树的的顺顺序序存存储储ABC DE F G数组下标数组下标 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 135.4 二叉树的存储结构及实现二叉树的存储结构及实现ABCDFGE以编号以编号为下标为下标ABCDFGE123561013按照完全按照完全二叉树编号二叉树编号第72页/共202页一棵斜树的顺序存储会怎样呢？一棵斜树的顺序存储会怎样呢？深度为深度为k的右斜树，的右斜树，k个结点需分配个结点需分配2k1个

49、存储单元。个存储单元。一棵二叉树改造后成完一棵二叉树改造后成完全二叉树形态，需增加全二叉树形态，需增加很多空结点，造成存储很多空结点，造成存储空间的浪费。空间的浪费。5.4 二叉树的存储结构及实现二叉树的存储结构及实现二叉树的顺序存储结构一般仅存储二叉树的顺序存储结构一般仅存储完全完全二叉树二叉树ABC137D15第73页/共202页二叉链表二叉链表基本思想：基本思想：令二叉树的每个结点对应一个链表结点，链表结点令二叉树的每个结点对应一个链表结点，链表结点除了存放与二叉树结点有关的数据信除了存放与二叉树结点有关的数据信息外，还要设置指示左右息外，还要设置指示左右孩子的指针。孩子的指针。结点结构

50、：结点结构：lchild data rchild其中，其中，data：数据域，存放该结点的数据信息；数据域，存放该结点的数据信息；lchild：左指针域，存放指向左孩子的指针；左指针域，存放指向左孩子的指针；rchild：右指针域，存放指向右孩子的指针。右指针域，存放指向右孩子的指针。5.4 二叉树的存储结构及实现二叉树的存储结构及实现第74页/共202页template struct BiNode T data;BiNode*lchild,*rchild;5.4 二叉树的存储结构及实现二叉树的存储结构及实现lchild data rchild左孩子结点左孩子结点右孩子结点右孩子结点二叉链表二