线性子空间相关理论.pptx

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1、 线线 性性 空空 间间 与与 线线 性性 映映 射射第第 一一 章章第1页/共51页 定理1：设W为n维线性空间V的任一子空间，是W的一组基，则有定理21）；为线性空间V 中的两组向量，则与 等价 2）生成子空间 的维数向量组 的秩一,子空间的相关定理 1.3 线性子空间的相关理论第2页/共51页证：1）若 则对 有 ，从而 可被线性表出；同理每一个也可被 线性表出.所以，与 等价，可被 线性表出，从而可被 线性表出，即 反之，与 等价 第3页/共51页同理可得，故，2）设向量组 的秩t，不妨设 为它的一个极大无关组 则有与 等价，就是 的一组基，所以，的维数t第4页/共51页无关组，则推论

2、：设是线性空间V 中不全为零的一组向量，是它的一个极大设 ，称：定理3：（1）为 的值域；（2）为 的核空间；则 是 的子空间，是 的字空间。第5页/共51页 设 ，则 定理4（1）（2）（3）（3）若 为 的特征值，则：为 的子空间，称 为 的对应于特征值 的特征子空间。第6页/共51页证明（1）（2）由 ，再由定理知 （3）由于 是方程组 的解空间，所以 所以,由(2)第7页/共51页基扩充定理为 V 的一组基即在 V 中必定可找到 nm 个向量设W为 n 维线性空间 V 的一个 m 维子空间，定理5为W的一组基，则这组向量必定可扩充，使 为 V 的一组基定理成立 证明：对nm作数学归纳法

3、当 nm0时，即nm，就是V的一组基.假设当nmk时结论成立.下面我们考虑 nmk1 的情形第8页/共51页必定是线性无关的既然 还不是V的一组基，它又是线性无关的，那么在V中必定有一个向量 不能被 线性表出，把它添加进去，则因 n(m1)(nm)1(k1)1k，由定理，子空间 是m1维的可以扩充为整个空间V的一组基由归纳原理得证.由归纳假设，的基第9页/共51页它扩充为R4的一组基，其中例1 求 的维数与一组基，并把解答:对以 为列向量的矩阵A作初等行变换第10页/共51页由B知，为 的一个极大故，维 3，就是 的一组基.无关组.第11页/共51页则 线性无关，从而为R4的一组基.第12页/

4、共51页也为V的子空间，定义：设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 称之为V1与V2的交空间.二,子空间的交、和及维数定理1.交的概念任取 则有 同时有 故 为V的子空间.事实上，第13页/共51页显然有,推广 多个子空间的交 为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为 的交空间.第14页/共51页2,和的概念定义设V1、V2为线性空间V的子空间，则集合 也为V的子空间，称之为V1与V2的和空间.其中，则有 任取设 事实上，第15页/共51页 推广多个子空间的和 显然有,为线性空间V的子空间，则集合也为V的子空间，称为 的和空间.若 则称 为直和记为第16页/共51页V的两子空间的并

5、集未必为V的子空间.例如 注意：并不是R3的子空间.因为它对R3的运算不封闭，如但是皆为R3的子空间，但是它们的并集 第17页/共51页三、子空间的交与和的有关性质 1.设 为线性空间V的子空间 1）若 则 2）若 则 2、设 为线性空间V的子空间，则以下三条件等价:第18页/共51页3，为线性空间V(F)中两组向量，令：则：证明：而 可由 线性表示 同理：可由 线性表示，所以：可由 线性表示 即：第19页/共51页4、维数公式设 为线性空间V的两个子空间，则或反之：所以：第20页/共51页由扩基定理，它可扩充为V1的一组基证：设取的一组基 它也可扩充为V2的一组基即有 第21页/共51页所以

6、，有 下证线性无关.假设有等式令 第22页/共51页则有 即可被 线性表出 令 则 即 从而有 由于线性无关，得 因而 第23页/共51页由于线性无关，得 所以，线性无关.因而它是 的一组基.第24页/共51页注：从维数公式中可以看到，子空间的和的维数往往比子空间的维数的和要小.例如，在R3中，设子空间其中，但，则，由此还可得到，是一直线.维数的和是4和的维数是3第25页/共51页推论：设 为 n 维线性空间V的两个子空间，若 ，则 必含非零的公共向量.即中必含有非零向量.证：由维数公式有又是V的子空间，若则故中含有非零向量.第26页/共51页例3、在 中，用分别表示齐次线性方程组 的解空间，

7、则就是齐次线性方程组 第27页/共51页 的解空间.证：设方程组,分别为 第28页/共51页即 设W为的解空间，任取，有从而 反之，任 取，则有 从而 故第29页/共51页例4、在 中，设1）求 的维数的与一组基；2）求 的维数的与一组基.第30页/共51页解：1)任取 设 则有()解 得（t为任意数）()即第31页/共51页令 t=1，则得 的一组基 为一维的.2)对以 为列向量的矩阵A作初等行变换 第32页/共51页为3维的，由B知，为 的一个极大无关组.为其一组基.第33页/共51页在中，令 求及易知，皆为 的子空间.练 习第34页/共51页 任取由有由有故，从而，第35页/共51页再求

8、因为，第36页/共51页所以，第37页/共51页从维数定理知有两种情形：由维数公式设 为线性空间V的两个子空间，此时 即，必含非零向量.四,论子空间的直和第38页/共51页情形2）是子空间的和的一种特殊情况直和此时 不含非零向量，即 第39页/共51页直和的定义注:若有 则 分解式 唯一的，意即 设 为线性空间V的两个子空间，若和是唯一的，和就称为直和，记作 中每个向量的分解式第40页/共51页 分解式唯一的不是在任意两个子空间的和中都成立.例如，R3的子空间这里，在和中，向量的分解式不唯一，如所以和不是直和.第41页/共51页总之，设为线性空间V的子空间，则下面四个条件等价:2）零向量分解式

9、唯一1）是直和 3）4）余子空间：设U是线性空间V的一个子空间，称这样的W为U的一个余子空间余子空间.则必存在一个子空间W，使 第42页/共51页证：取U的一组基把它扩充为V的一组基则 余子空间 一般不是唯一的(除非U是平凡子空间).注意：如，在R3中，设则 但第43页/共51页 设 分别是线性子空间的一组基，则是直和线性无关.证：由题设，若线性无关，则它是 的一组基.从而有定理：第44页/共51页反之,若 直和，则从而的秩为rs.所以线性无关.是直和.第45页/共51页 练习2：设A是数域F上n阶可逆矩阵.任意将A分为试证：n维线性空间Fn是齐次线性方程组A1X=0的解空间V1与A2X=0的

10、解空间V2的直和.两个子块 证明:由于A是可逆矩阵,那么A的所有行向量线性无关,不妨设r(A1)=r,那么显然有r(A2)=n-r.注意到第46页/共51页 那么有A1A-1=(Ir,0),A2A-1=(0,In-r).对任意的XRn,不妨设 其中 分别是r维和n-r维向量.那么有:有:第47页/共51页 令显然V为V1和V2的和.又有dimV1=n-r,dimV2=r,dim(V1+V2)=dimV=n.于是由维数公式 dim(V1+V2)+dim(V1V2)=dimV1+dimV2可知必有dim(V1V2)=0,也即V1V2=0,显然V为V1和V2的直和.第48页/共51页证明:对于i=1,2,都有dim(Wi+W)=dimWi+dimW-dim(WiW).由题目条件有dim(W1W)=dim(W2W),dim(W1+W)=dim(W2+W).例 设W,W1,W2是向量空间V的子空间W1 W2,W1W=W2W,W1+W=W2+W.证明:W1=W2.那么显然有dimW1=dimW2.又由W1 W2,可知W1=W2.第49页/共51页第50页/共51页感谢您的观看！第51页/共51页