选修椭圆方程.pptx

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1、椭圆及其标准方程椭圆及其标准方程第1页/共36页第2页/共36页第3页/共36页数数 学学 实实 验验同学们一起观察以下操作：同学们一起观察以下操作：在图板上，将一根无弹性的长为在图板上，将一根无弹性的长为2a的细绳的细绳的两端（两端点距离为的两端（两端点距离为2c）用图钉固定在不）用图钉固定在不同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得同处，套上铅笔，使笔尖沿细绳运动，能得到什么图形？到什么图形？第4页/共36页绳长第5页/共36页绳长第6页/共36页反反 思思（1）在画出一个椭圆的过程中，细绳的两端的位置是固定的还是运动的？（2）在画椭圆的过程中，绳子的长度变了没有？说明了什么？（3）在画椭圆

2、的过程中，绳子长度与两定点距离大小有怎样的关系？第7页/共36页归纳：归纳：椭圆的定义：椭圆的定义：平面内与两定点平面内与两定点F1、F2的距离之和等于常数的距离之和等于常数（大于（大于|F1F2|）的点的轨迹叫椭圆）的点的轨迹叫椭圆.定点定点F1、F2叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距叫做椭圆的焦距.探究：探究：|MF1|+|MF2|F1F2|椭圆椭圆|MF1|+|MF2|=|F1F2|线段线段|MF1|+|MF2|F1F2|不存在不存在第8页/共36页由上可知，只有当满足由上可知，只有当满足2a 时，时，得到的点的轨迹才是椭圆，所以在椭得到的点的轨迹才是

3、椭圆，所以在椭圆的定义中要注意这个条件。圆的定义中要注意这个条件。第9页/共36页一、椭圆的定义一、椭圆的定义平面内到两定点平面内到两定点 的距离的和等的距离的和等于常数于常数2a(2a )的点的轨迹的点的轨迹叫做椭圆叫做椭圆.其中这两个定点叫做其中这两个定点叫做椭圆的焦点，椭圆的焦点，两焦点的距离叫做两焦点的距离叫做椭圆的焦距椭圆的焦距.文文字字语语言言F1F2M=2a(2a )数数学学语语言言第10页/共36页下面来求椭圆的标准方程下面来求椭圆的标准方程.怎样建立平面直角坐标系呢？怎样建立平面直角坐标系呢？第11页/共36页 探讨建立平面直角坐标系的方案探讨建立平面直角坐标系的方案OxyO

4、xyOxyMF1F2方案一F1F2方案二方案二OxyMOxy2 2.求椭圆的方程：求椭圆的方程：原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；原则：尽可能使方程的形式简单、运算简单；(一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的一般利用对称轴或已有的互相垂直的线段所在的直线作为坐标轴直线作为坐标轴.).)(对称、对称、“简洁简洁”)第12页/共36页 取过焦点取过焦点F1、F2的直线为的直线为x轴，线段轴，线段F1F2的的垂直平分线为垂直平分线为y轴，建立直角坐标系轴，建立直角坐标系,如图所示。如图所示。设设M(x,y)是椭圆上任一点，椭圆的焦距为是椭圆上任一点，椭圆的焦距为2c(c0)，M与与F1、

5、F2的距离的和等于正常数的距离的和等于正常数2a(2a2c)，则，则F1(-c,0)、F2(c,0)。由定义知：由定义知：()()222221 ycxMFycxMF+-=+=()()aycxycx22222=+-+将方程移项后平方得：将方程移项后平方得：两边再平方得：两边再平方得：课本课本P39页推导过程页推导过程第13页/共36页由椭圆定义知：由椭圆定义知：两边同除以两边同除以 得：得：这个方程叫做椭圆的标准方程，这个方程叫做椭圆的标准方程，它所表示的椭圆的焦点在它所表示的椭圆的焦点在x轴上轴上.如果椭圆的焦点在如果椭圆的焦点在y轴上且关于原点对称，用类似的轴上且关于原点对称，用类似的方法，

6、可得出它的方程为：方法，可得出它的方程为：它也是椭圆的标准方程。它也是椭圆的标准方程。第14页/共36页二、椭圆的标准方程二、椭圆的标准方程yx0M1椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴轴方方程程特特点点2焦点是焦点是 （c，0）、（c，0）3第15页/共36页yxM01椭圆的焦点在椭圆的焦点在y轴轴方方程程特特点点2焦点是焦点是 （0，c）、（0，c）3第16页/共36页给了一个标准方程后，如何来判断它给了一个标准方程后，如何来判断它的焦点落在哪个坐标轴上呢？的焦点落在哪个坐标轴上呢？哪个轴的分母大焦点就落在那个轴上哪个轴的分母大焦点就落在那个轴上第17页/共36页注意：注意：（1）、在两种方程中，

7、总有）、在两种方程中，总有（2）、）、有关系式：有关系式：（4）、）、在在 的分母下，焦点在的分母下，焦点在x轴上；轴上；在在 的分母下，焦点在的分母下，焦点在y轴上。轴上。（3）、结构特征：左边是和，右边是）、结构特征：左边是和，右边是1第18页/共36页 图图 形形方方 程程焦焦 点点F(c，0)0)F(0(0，c)a,b,c之间的关系之间的关系c2 2=a2 2-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)定定 义义12yoFFMx1oFyx2FM注注:共同点：椭圆的标准方程表示的一定是焦点在坐标轴上，中心在坐标原点的椭圆；方程的左边是平方和，右边是1.不同点：焦点在x轴的椭圆

8、项分母较大.焦点在y轴的椭圆 项分母较大.第19页/共36页练习1.下列方程哪些表示椭圆？若是,则判定其焦点在何轴？并指明 ，写出焦点坐标.?第20页/共36页判定下列椭圆的焦点在判定下列椭圆的焦点在 轴，并指明轴，并指明a、b，写出焦点坐标，写出焦点坐标答：在答：在 X 轴。（轴。（-3，0）和（和（3，0）答：在答：在 y 轴。（轴。（0，-5）和（和（0，5）答：在答：在y 轴。（轴。（0，-1）和（和（0，1）第21页/共36页小结（一）小结（一）椭圆的标准方程有几种？椭圆的标准方程有几种？方程都有什么特点？方程都有什么特点？如何判断标准方程的如何判断标准方程的焦点落在哪个轴上？焦点落

9、在哪个轴上？第22页/共36页例1椭圆的两个焦点的坐标分别是（4，0）（4，0），椭圆上一点P到两焦点距离之和等于10，求椭圆的标准方程。12yoFFMx.解：解：椭圆的焦点在椭圆的焦点在x轴上轴上设它的标准方程为设它的标准方程为:2a=10,2c=8 a=5,c=4 b2=a2c2=5242=9所求椭圆的标准方程为所求椭圆的标准方程为 求椭圆的标准方程（1）首先要判断类型，（2）用待定系数法求定义法第23页/共36页第24页/共36页第25页/共36页代入法第26页/共36页小结小结(二二)本节课我们主要学习：本节课我们主要学习：椭圆的定义椭圆的定义推导出椭圆的两个标准方程推导出椭圆的两个标

10、准方程第27页/共36页12yoFFMxy xoF2F1M定定 义义图图 形形方方 程程焦焦 点点F(cF(c，0)0)F(0F(0，c)c)a,b,c之间之间的关系的关系c c2 2=a=a2 2-b-b2 2|MF1|+|MF2|=2a (2a2c0)椭圆的标准方程椭圆的标准方程求法：一定定焦点位置；二设设椭圆方程；三求求a、b的值.第28页/共36页再见！再见！第29页/共36页练习2.2.求适合下列条件的椭圆的标准方程：求适合下列条件的椭圆的标准方程：(2)焦点为焦点为F1(0,3)，F2(0,3),且且a=5；(1)a=,b=1,焦点在焦点在x x轴上；轴上；(3)两个焦点分别是两个

11、焦点分别是F1(2,0)、F2(2,0),且过且过P(2,3)点；点；(4)经过点经过点P(2,0)和和Q(0,3).小结：求椭圆标准方程的步骤：定位：确定焦点所在的坐标轴；定位：确定焦点所在的坐标轴；定量：求定量：求a,b的值的值.第30页/共36页练习练习3.已知椭圆的方程为：已知椭圆的方程为：，请，请填空：填空：(1)a=_，b=_，c=_，焦点坐标为，焦点坐标为_，焦距等于，焦距等于_.(2)若若C为椭圆上一点，为椭圆上一点，F1、F2分别为椭圆的左、右焦点，分别为椭圆的左、右焦点，并且并且CF1=2,则则CF2=_.变式：变式：若椭圆的方程为若椭圆的方程为 ,试口答完成（试口答完成（

12、1）.5436(-3,0)、(3,0)8第31页/共36页练习练习4.4.已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在x x轴轴上的椭圆，则上的椭圆，则m的取值范围是的取值范围是 .(0,4)变1 1：已知方程已知方程 表示焦点在表示焦点在y y轴上的椭圆，则轴上的椭圆，则m的取值的取值范围是范围是 .(1,2)第32页/共36页变变2：方程：方程 ，分别求方程满足，分别求方程满足下列条件的下列条件的m的取值范围：的取值范围：表示一个圆；表示一个圆；表示一个椭圆；表示一个椭圆；表示焦点在表示焦点在x轴上的椭圆。轴上的椭圆。第33页/共36页 3、过椭圆、过椭圆 的一个焦点的一个焦点 的直线与椭圆的直

13、线与椭圆交于交于A、B两点，求两点，求 的周长。的周长。yxoAB第34页/共36页已知椭圆有这样的光学性质：从椭已知椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点。今有一个水平放置的台球个焦点。今有一个水平放置的台球盘，点盘，点A、B是它的两个焦点，焦距是它的两个焦点，焦距是是2c，椭圆上的点到，椭圆上的点到A、B的距离的的距离的和为和为2a，当静放在，当静放在A的小球（半径不的小球（半径不计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后计）沿直线出发，经椭圆壁反弹后再回到点再回到点A时，求小球经过的路程。时，求小球经过的路程。第35页/共36页感谢您的观看！第36页/共36页