线性空间与线性变换重要.pptx

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1、3.1 线性空间的定义与性质0数轴平面三维空间yxzOxyO常见的几何空间：第1页/共66页几何空间几何空间R R3 3的运算的运算运算规律运算规律加法：数乘：数乘：第2页/共66页第3页/共66页u对几何空间进行推广，通过抽象出几何空间线性运算的本质；u在任意研究对象的集合上定义具有线性运算的代数结构。线性空间线性空间第4页/共66页若对于任一数 与任一元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的积，记作定义 设 是一个非空集合，为一个数域如果对于任意两个元素 ，总有唯一的一个元素 与之对应，称为 与 的和，记作如果上述的两种运算满足以下八条运算规律:第5页/共66页那么 就称为数域

2、上的线性空间第6页/共66页2 判别线性空间的方法：一个集合，对于定义的加法和数乘运算不封闭，或者运算不满足八条性质的任一条，则此集合就不能构成线性空间 注注1 凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，凡满足以上八条规律的加法及数乘运算，称为称为线性运算线性运算特别地，当集合中定义的加法和乘数运算是通常的实数间的加乘运算，则只需检验对运算的封闭性第7页/共66页例例1 1 实数域上的全体 矩阵，对矩阵的加法和数乘运算构成实数域上的线性空间，记作 注注第8页/共66页加法：加法：数乘:第9页/共66页例3 全体正实数R+,定义加法和数量乘法如下：解：零元为常数1第10页/共66页 故在该加法和数乘运

3、算下，对应集合构成实数域上的线性空间。负元为1/a第11页/共66页注：线性空间的元素统称为“向量”，但它可以是通常的向量，也可以是矩阵、多项式、函数等.线性空间的简单性质：零元素是唯一的；负元素是唯一的；0=0;k0=0;(-1)=-；如果k=0,那么k=0或=0。01=01+02=02 -1=(-1)+0 0=(-1)+(+(-2)=(-1)+)+(-2)=0 0+(-2)=-2第12页/共66页3.4 线性子空间对三维几何空间：yxzO任何过原点的平面是R3的子集的子集 在该平面上的所有向量对于向量的加法和数乘运算构成一个二维的线性空间。R3的线性子空间的线性子空间第13页/共66页线性

4、子空间线性子空间 定义：设W是数域F上线性空间V的非空子集合.如果W中的向量对V中所定义的向量加法和数乘运算也构成F上的线性空间，则称W为V的线性子空间,简称子空间.定理:W是V的非空子集合，则的非空子集合，则W是是V的子空间的充要的子空间的充要条件是条件是V的子空间注V和零子空间是V的平凡子空间；其它子空间称为V的真子空间.第14页/共66页生成子空间生成子空间第15页/共66页3.2 向量的线性相关性如果线性空间V以通常的向量作为元素，即V中含有无穷多个向量。如何用有限个向量刻划空间中的所有向量？需要讨论向量间的关系.如三维几何空间：如三维几何空间：yxzO第16页/共66页线性组合与线性

5、表示线性组合与线性表示 设V是数域F上的一个线性空间，是V 中的一组向量，是数域F 中的数，那么向量称为向量 的一个线性组合，有时也称向量 可以由 线性表示。例1:第17页/共66页第18页/共66页线性相关与线性无关线性相关与线性无关 设V是数域F上的一个线性空间，且 如果在数域F中存在s 个不全为零的数 ,使得则称向量组 线性相关.否则称向量组 线性无关，即若则必有此时至少有一个此时至少有一个向量可以由其他向量可以由其他向量线性表示。向量线性表示。第19页/共66页进一步来理解向量一步来理解向量组的的线性相关与性相关与线性无关性无关考考虑等式等式第20页/共66页注：(1)给定向量组 ，该

6、向量组要么线性相关，要么线性无关。(2)含有零向量的向量组一定线性相关。(3)向量组只包含一个向量 时：若 ,则说 线性相关；若 ,则说 线性无关。第21页/共66页解：令即故第22页/共66页解：令即系数矩阵为方阵故方程组Ax=0存在非零解.即 线性相关.第23页/共66页即r(A)=23，故Ax=0存在非零解.另解：同理，对 ,令即故 线性无关.注：向量组只包含两个非零向量 时，则第24页/共66页定理1 n维列向量组 线性相关的充要条件是r(A)s，其中线性相关性的判定线性相关性的判定推论 n个 n维列向量组 线性相关的充要条件是|A|=0，其中注：若给定的是行向量组，需要将其转化成列向

7、量组。第25页/共66页例5 设判断 是线性相关还是线性无关？解故r(A)=35第26页/共66页27 证证第27页/共66页第28页/共66页定理2 向量组线性相关的充要条件是其中至少有一个向量可以由其他向量线性表示.定理3线性相关线性相关定理4线性无关线性相关部分相关部分相关,则整体相关则整体相关;整体无关整体无关,则部分无关则部分无关.第29页/共66页向量组的等价向量组的等价性质性质第30页/共66页定理1 下列命题等价(1)(2)C的行向量组可由B的行向量组线性表示(3)C的列向量组可由A的列向量组线性表示第31页/共66页推论1 矩阵A经过初等行(列)变换化为B,则A的行(列)向量

8、组与B的行(列)向量组等价。定理2 若向量组 线性无关，且可由 线性表示，则推论2 等价的线性无关向量组必含有相同个数的向量.第32页/共66页如果线性空间中含有无穷多个向量。如何找出有限个向量刻划空间中的所有向量？如三维几何空间：如三维几何空间：yxzO3.4 线性子空间第36页/共66页基、维数和坐标基、维数和坐标注注:(1)规定规定V=为零维空间为零维空间.(2)有限维线性空间有限维线性空间V的基不唯一的基不唯一.第37页/共66页向量组的秩向量组的秩(一一)：若以：若以 的部分组为基的部分组为基 第38页/共66页第39页/共66页寻寻基基求求秩秩的过程的过程明确向量组线性明确向量组线

9、性关系的过程关系的过程(找最大线性无关组的过程找最大线性无关组的过程)第40页/共66页第41页/共66页42解解第42页/共66页继继续续行行变变换换(行最简形)第43页/共66页总结：求列向量组最大线性无关组或生成子空间总结：求列向量组最大线性无关组或生成子空间 的基：的基：(1)将向量按列写成矩阵：将向量按列写成矩阵：(2)用初等用初等行变换行变换将矩阵化为行阶梯形；将矩阵化为行阶梯形；(3)行阶梯形非零行的行数行阶梯形非零行的行数r即为空间的维数；即为空间的维数；(4)如果行阶梯形每个非零行的首非零元对如果行阶梯形每个非零行的首非零元对应列指标为应列指标为 ，则，则(5)若要明确其他向

10、量和最大无关组的线性关系，需继续进行行变换将矩阵化为行最简形.第44页/共66页注：注：若生成向量组为行向量组，则可以转置为列向若生成向量组为行向量组，则可以转置为列向量组，量组，选取部分组选取部分组为对应子空间的基为对应子空间的基.转置不改变转置不改变行向量组的行向量组的线性关系。线性关系。(二二)：若：若不以不以 的部分组为基的部分组为基 第45页/共66页则需要找与则需要找与 等价的线性无关向量组等价的线性无关向量组(二二)：若：若不以不以 的部分组为基的部分组为基 Recall 推论 矩阵A经过初等行(列)变换化为B,则A的行(列)向量组与B的行(列)向量组等价。第46页/共66页初等

11、行变换初等行变换(行阶梯形行阶梯形)第47页/共66页解：解：行变换行变换故故是所求空间的一组基是所求空间的一组基.第48页/共66页矩阵的行秩与列秩矩阵的行秩与列秩给定矩阵给定矩阵A，称矩阵A的行向量组生成的子空间R(A),对应空间的维数为矩阵的行秩；称矩阵A的列向量组生成的子空间C(A)，对应空间的维数为矩阵的列秩.第49页/共66页回顾：求回顾：求列向量组列向量组生成子空间的维数：生成子空间的维数：(1)将向量按列写成矩阵：将向量按列写成矩阵：(2)用初等用初等行变换行变换将矩阵化为行阶梯形；将矩阵化为行阶梯形；(3)行阶梯形非零行的行数即为空间的维数。行阶梯形非零行的行数即为空间的维数

12、。初等行变换初等行变换行向量组：行向量组：(行秩行秩=矩阵的秩矩阵的秩)(列秩列秩=矩阵的秩矩阵的秩)第50页/共66页3.6 欧氏空间对三维几何空间：yxzO定义了向量长度，向量夹角线性空间中对向量如何度量？第51页/共66页向量的内积向量的内积第52页/共66页第53页/共66页向量的长度与夹角向量的长度与夹角第54页/共66页第55页/共66页第56页/共66页欧氏空间的标准正交基欧氏空间的标准正交基第57页/共66页58得即解：第58页/共66页施密特正交化施密特正交化第59页/共66页60例2.用施密特正交化方法,将向量组 化成标准正交向量组.先正交化：先正交化：取取解：第60页/共66页61再单位化：再单位化：得规范正交向量组如下第61页/共66页62证明定理 A 为正交矩阵的充要条件是 A 的列(行)向量都是单位向量且两两正交.正交矩阵正交矩阵第62页/共66页63例例3.判别下列矩阵是否为正交阵判别下列矩阵是否为正交阵所以它不是正交矩阵(1)考察矩阵的第一列和第二列,由于第63页/共66页64所以它是正交矩阵(2)由于第64页/共66页65有关正交矩阵的一些结论有关正交矩阵的一些结论:设设 A,B 都是都是 n 阶正交矩阵阶正交矩阵,则则 第65页/共66页感谢您的观看！第66页/共66页