相似三角形证明.pptx

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1、相似三角形的性质定义相似三角形的对应角相等,对应边成比例.定理相似三角形任意对应线段的比等于相似比.定理相似三角形的面积比等于相似比的平方.第1页/共45页相似三角形的判定定理两角分别对应相等的两个三角形相似.定理两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.定理三边成比例的两个三角形相似.定理一条直角边与斜边成比例的两个直角三角形相似.推论三边对应平行的两个三角形相似.推论一个三角形的两边和三角形任意一边上的中线与另一个三角形的对应部分成比例,那么这两个三角形相似.第2页/共45页射影定理直角三角形中,斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项.每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项

2、.AD=BDDCAB=BDBCAC=CDBC第3页/共45页直接寻求相似三角形例1:如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则AGD和哪两个三角形相似?第4页/共45页直接寻求相似三角形例1:如图:点G在平行四边形ABCD的边DC的延长线上,AG交BC、BD于点E、F,则AGD和哪两个三角形相似?EGCEAB第5页/共45页直接寻求相似三角形例2:已知ABC中,AB=AC,A=36,BD是角平分线.求证:ABCBCD.第6页/共45页直接寻求相似三角形例2:已知ABC中,AB=AC,A=36,BD是角平分线,求证:ABCBCD.证明:A=36,AB=AC,

3、ABC=C=72.第7页/共45页直接寻求相似三角形例2:已知ABC中,AB=AC,A=36,BD是角平分线,求证:ABCBCD.证明:A=36,ABC是等腰三角形,ABC=C=72.又BD平分ABC,DBC=36.第8页/共45页直接寻求相似三角形例2:已知ABC中,AB=AC,A=36,BD是角平分线,求证:ABCBCD.证明:A=36,ABC是等腰三角形,ABC=C=72.又BD平分ABC,DBC=36.在ABC和BCD中,C为公共角,DBC=A=36,ABCBCD.第9页/共45页利用中间线段代换例3:ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证:.第10页/

4、共45页利用中间线段代换例3:ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证第11页/共45页利用中间线段代换例3:ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证证明:过D作DKAB交BC于K第12页/共45页利用中间线段代换例3:ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证证明:过D作DKAB交BC于KDKAB,DF:FE=KB:BE.第13页/共45页利用中间线段代换例3:ABC中,在AC上截取AD,在CB延长线上截取BE,使AD=BE,求证证明:过D作DKAB交BC于KDKAB,DF:FE=KB:BE.又AD=BE

5、,DF:FE=KB:AD.DF:FE=BK:AD.第14页/共45页利用中间线段代换证明:DF:FE=BK:AD.又BK:AD=BC:AC,DF:FE=BC:AC.第15页/共45页利用中间线段代换例4:已知:如图,在ABC中,BAC=900,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延长线于点D.求证:第16页/共45页利用中间线段代换例4:已知:如图,在ABC中,BAC=900,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延长线于点D.求证:第17页/共45页利用中间线段代换例4:已知:如图,在ABC中,BAC=900,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延长线于点D.求证:证明:BAC=9

6、0,M是BC的中点,MA=MC.1=C.DMBC,C=D.1=D.第18页/共45页利用中间线段代换1=D.又2=2,MAEMDA.即.第19页/共45页利用中间线段代换例4:已知:如图,在ABC中,BAC=900,M是BC的中点,DMBC于点E,交BA的延长线于点D.求证:证明:MAEMDA,第20页/共45页利用中间线段代换例5:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F.求证:AE：ED=2AF：FB.第21页/共45页利用中间线段代换例5:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证:AE：ED=2AF：FB.第22页/共45页利

7、用中间线段代换例5:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F,求证:AE：ED=2AF：FB.第23页/共45页利用中间线段代换例5:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F.求证:AE:ED=2AF:FB。证明:作DGBA交CF于G第24页/共45页利用中间线段代换例5:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F.求证:AE:ED=2AF:FB。证明:作DGBA交CF于GDEGAEF,.第25页/共45页利用中间线段代换例5:如图ABC中,AD为中线,CF为任一直线,CF交AD于E,交AB于F.求证:AE:ED

8、=2AF:FB。证明:作DGBA交CF于GDEGAEF,.又D是BC的中点且DGBA,DG为三角形BCF的中位线.第26页/共45页利用中间线段代换DG为三角形BCF的中位线DG=BF第27页/共45页利用中间线段代换DG为三角形BCF的中位线DG=BF第28页/共45页利用中间线段代换DG为三角形BCF的中位线DG=BF即AE:ED=2AF:FB第29页/共45页“三点定形法”例6:已知:等边三角形ABC中,P为BC上任一点,AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点.求证:BPPC=BMCN第30页/共45页“三点定形法”例6:已知:等边三角形ABC中,P为BC上任一点,AP的垂直平分线交A

9、B、AC于M、N两点.求证:BPPC=BMCN第31页/共45页“三点定形法”例6:已知:等边三角形ABC中,P为BC上任一点,AP的垂直平分线交AB、AC于M、N两点.求证:BPPC=BMCN证明:MN垂直平分AP,AM=PM,AN=PN.又MN=MN,AMNPMN(SSS).MPN=MAN=60.1+2=120.123第32页/共45页“三点定形法”1+2=120.又B=C=60,1+3=120.2=3.BMPCPN.BPPC=BMCN123第33页/共45页“三点定形法”例7:已知:AD平分BAC,EF垂直平分AD与BC的延长线交于F.求证:DF2=BFCF第34页/共45页“三点定形法

10、”例7:已知:AD平分BAC,EF垂直平分AD与BC的延长线交于F.求证:DF2=BFCF证明:第35页/共45页“三点定形法”例7:已知:AD平分BAC,EF垂直平分AD与BC的延长线交于F.求证:DF2=BFCF证明:连结AFEF垂直平分AD,DF=AF.第36页/共45页“三点定形法”例7:已知:AD平分BAC,EF垂直平分AD与BC的延长线交于F.求证:DF2=BFCF证明:EF垂直平分AD,DF=AF.ADF=DAF,AD平分BAC,1=2.又ADF=1+B,DAF=2+3,B=3.132第37页/共45页“三点定形法”B=3.又AFC=AFB,ABFCAF.AF2=BFCF,DF2

11、=BFCF.123第38页/共45页“三点定形法”例8:如图,已知ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CFBA,BF交AD于P点,交AC于E点.求证:BP2=PEPF。证明:第39页/共45页“三点定形法”例8:如图,已知ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CFBA,BF交AD于P点,交AC于E点.求证:BP2=PEPF.证明:连结PCABC中,AB=AC,D是BC的中点,BP=PC.第40页/共45页“三点定形法”例8:如图,已知ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CFBA,BF交AD于P点,交AC于E点.求证:BP2=PEPF.证明:连结PCABC中,AB=AC,D是BC的中点,BP=PC.第41页/共45页“三点定形法”例8:如图,已知ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CFBA,BF交AD于P点,交AC于E点.求证:BP2=PEPF。证明:连结PCABC中,AB=AC,D是BC的中点,BP=CP.又CFBA,3=F.第42页/共45页“三点定形法”3=F.又3=4,4=F.又EPC=FPC,PCEPFC.CP2=PEPF.即BP2=PEPF.第43页/共45页谢谢大家第44页/共45页感谢您的观看！第45页/共45页