Z变换的基本性质.pptx

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1、(一一)线性线性ROCROC：一般情况下，取二者的：一般情况下，取二者的：一般情况下，取二者的：一般情况下，取二者的重叠重叠重叠重叠部分部分部分部分某些线性组合中某些某些线性组合中某些某些线性组合中某些某些线性组合中某些零点与极点相抵消零点与极点相抵消零点与极点相抵消零点与极点相抵消，则收敛域可能扩大。则收敛域可能扩大。则收敛域可能扩大。则收敛域可能扩大。(叠加性和均匀性）叠加性和均匀性）叠加性和均匀性）叠加性和均匀性）返回返回返回返回例例例例8-5-18-5-1例例例例8-5-28-5-2其中其中其中其中a a,b b为任意常数。为任意常数。为任意常数。为任意常数。第1页/共35页(二二)位

2、移性位移性1.双边双边z变换变换2.单边单边z变换变换(1)(1)左移位性质左移位性质左移位性质左移位性质(2)(2)右移位性质右移位性质右移位性质右移位性质返回返回返回返回由于序列有由于序列有由于序列有由于序列有 左移、右移左移、右移左移、右移左移、右移 两种不同情况，两种不同情况，两种不同情况，两种不同情况，其变换形式有其变换形式有其变换形式有其变换形式有 双边、单边双边、单边双边、单边双边、单边 z z变换之分；变换之分；变换之分；变换之分；其位移特性基本相同，但又各具不同的特点。其位移特性基本相同，但又各具不同的特点。其位移特性基本相同，但又各具不同的特点。其位移特性基本相同，但又各具

3、不同的特点。所以分情况讨论：所以分情况讨论：所以分情况讨论：所以分情况讨论：根据移位特性，可求周期序列的根据移位特性，可求周期序列的根据移位特性，可求周期序列的根据移位特性，可求周期序列的z z变换变换变换变换第2页/共35页原序列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。原序列不变，只影响在时间轴上的位置。若序列若序列若序列若序列x x(n n)的双边的双边的双边的双边z z变换为变换为变换为变换为Z Z Z Z x x(n n)=)=X X(z z),),则其右移后的则其右移后的则其右移后的则其右移后的z z变换为变换为变换为变换

4、为Z Z Z Z x x(n-mn-m)=)=z z-mm X X(z z)1双边双边z变换的位移性变换的位移性质质同理，左移后的同理，左移后的同理，左移后的同理，左移后的z z变换为变换为变换为变换为:Z Z Z Z x x(n+mn+m)=)=z zmm X X(z z)返回返回返回返回第3页/共35页根据双边根据双边根据双边根据双边z z变换的定义可得变换的定义可得变换的定义可得变换的定义可得令令令令n-m=kn-m=k，则，则，则，则证明双边证明双边z变换的位移性变换的位移性返回返回返回返回同理，可证左移序列。同理，可证左移序列。同理，可证左移序列。同理，可证左移序列。可以看出：可以看

5、出：可以看出：可以看出：1 1）序列位移只会使序列位移只会使序列位移只会使序列位移只会使z z变换在变换在变换在变换在z=z=0 0或或或或 z=z=处的零、极点发生变化；处的零、极点发生变化；处的零、极点发生变化；处的零、极点发生变化；2 2）位移不会使位移不会使位移不会使位移不会使z z变换的收敛域发生变化；变换的收敛域发生变化；变换的收敛域发生变化；变换的收敛域发生变化；第4页/共35页2单边单边z变换的位移性质变换的位移性质x x(n-mn-m)u u(n n),x,x(n+mn+m)u u(n n)较较较较x x(n n)u u(n n)的长度有所增减。的长度有所增减。的长度有所增减

6、。的长度有所增减。若若若若x x(n n)为双边序列，其单边为双边序列，其单边为双边序列，其单边为双边序列，其单边z z变换为变换为变换为变换为返回返回返回返回第5页/共35页(1)左移位性质左移位性质其中其中其中其中mm为正整数为正整数为正整数为正整数返回返回返回返回对于对于对于对于m=m=1 1、2 2的情况，可以写作的情况，可以写作的情况，可以写作的情况，可以写作为为为为第6页/共35页证明左移位性质证明左移位性质根据根据根据根据单边单边单边单边z z变换的定义，可得变换的定义，可得变换的定义，可得变换的定义，可得返回返回返回返回第7页/共35页(2)右移位性质右移位性质而而而而左左左左

7、移位序列的移位序列的移位序列的移位序列的单边单边单边单边z z变换变换变换变换不变不变不变不变。例例例例8-5-38-5-3返回返回返回返回其中其中其中其中mm为正整数为正整数为正整数为正整数对于对于对于对于m=m=1 1、2 2的情况，可以写作的情况，可以写作的情况，可以写作的情况，可以写作为为为为则右则右则右则右移位序列的移位序列的移位序列的移位序列的单边单边单边单边z z变换为变换为变换为变换为注意：注意：注意：注意：对于因果序列对于因果序列对于因果序列对于因果序列x x(n n),),项都等于零，项都等于零，项都等于零，项都等于零，第8页/共35页证明右移位性质证明右移位性质根据根据根

8、据根据单边单边单边单边z z变换变换变换变换的定义，可得的定义，可得的定义，可得的定义，可得返回返回返回返回第9页/共35页周期序列的周期序列的z变换变换若周期序列若周期序列若周期序列若周期序列x x(n n)的周期为的周期为的周期为的周期为N N，即，即，即，即x x(n n)=)=x x(n+Nn+N)。令第一个周期的序列为令第一个周期的序列为令第一个周期的序列为令第一个周期的序列为x x1 1(n n)，其，其，其，其z z变换为：变换为：变换为：变换为：由于由于由于由于x x(n n)=)=x x1 1(n n)+)+x x1 1(n-Nn-N)+)+x x1 1(n-n-2 2N N

9、)+)+所以所以所以所以X X(z z)=)=X X1 1(z z)1+)1+z z-N N+z z-2-2N N+=+=要使几何级数收敛，必须使要使几何级数收敛，必须使要使几何级数收敛，必须使要使几何级数收敛，必须使|z z-N N|1z|1 1所以所以所以所以X X(z z)=)=返回返回返回返回第10页/共35页(三三)序列线性加权（序列线性加权（z域微分）域微分）共共共共求导求导求导求导mm次次次次返回返回返回返回例例例例8-5-48-5-4两边对两边对两边对两边对z z求导数，得求导数，得求导数，得求导数，得若若若若则则则则因为因为因为因为所以所以所以所以第11页/共35页(四四)序

10、列指数加序列指数加权权同理同理同理同理证明：证明：证明：证明：（z z域尺度变换）域尺度变换）域尺度变换）域尺度变换）返回返回返回返回例例例例8-5-58-5-5若若若若则则则则（a a为非为非为非为非0 0常数）常数）常数）常数）例如：对于例如：对于例如：对于例如：对于(-1)(-1)n nu u(n n)若取单边若取单边若取单边若取单边z z变换应有变换应有变换应有变换应有：第12页/共35页(五五)初值定理初值定理推理推理推理推理 x x(1)(1)？理解：理解：理解：理解：把把把把X X(z z)在在在在z z足够大时的动态特性与足够大时的动态特性与足够大时的动态特性与足够大时的动态特

11、性与x x(n n)的初值的初值的初值的初值 联系起来。联系起来。联系起来。联系起来。返回返回返回返回例例8-5-6若若若若 x x(n n)为因果序列，已知为因果序列，已知为因果序列，已知为因果序列，已知X X(z z)=)=Z Z x x(n n)=)=则则则则证明：证明：证明：证明：第13页/共35页(六六)终值定理终值定理注意：注意：注意：注意：当当当当n n ,x x(n n)收敛，才可用终值定理。收敛，才可用终值定理。收敛，才可用终值定理。收敛，才可用终值定理。若若若若 x x(n n)为因果序列，已知为因果序列，已知为因果序列，已知为因果序列，已知X X(z z)=)=Z Z x

12、 x(n n)=)=则则则则证明：证明：证明：证明：因为因为因为因为取取取取z z1111的极限的极限的极限的极限所以所以所以所以第14页/共35页终值存在的条终值存在的条件件(1)(1)X X(z z)的极点位于单位圆内，收敛半径小于的极点位于单位圆内，收敛半径小于的极点位于单位圆内，收敛半径小于的极点位于单位圆内，收敛半径小于1 1，有终值，有终值，有终值，有终值;例：例：例：例：，终值为，终值为，终值为，终值为0 0(2)(2)若极点位于单位圆上若极点位于单位圆上若极点位于单位圆上若极点位于单位圆上,只能位于只能位于只能位于只能位于z z=1,=1,并且是一阶极点。并且是一阶极点。并且是

13、一阶极点。并且是一阶极点。利用初、终值定理，在已知序列利用初、终值定理，在已知序列利用初、终值定理，在已知序列利用初、终值定理，在已知序列x x(n n)的的的的 z z变换变换变换变换X X(z z)的情况下，不求逆变换，可方便地求初值的情况下，不求逆变换，可方便地求初值的情况下，不求逆变换，可方便地求初值的情况下，不求逆变换，可方便地求初值x x(0)(0)和终和终和终和终值值值值x x()。例：例：例：例：u u(n n)，终值为，终值为，终值为，终值为1 1注意：注意：注意：注意：和系统和系统和系统和系统稳定性稳定性稳定性稳定性条件区别，系统稳定性条件条件区别，系统稳定性条件条件区别，

14、系统稳定性条件条件区别，系统稳定性条件只有第一条只有第一条只有第一条只有第一条。第15页/共35页无无无无有，有，1有，有，0例题例题返回返回返回返回第16页/共35页(七七)时域卷积定理时域卷积定理收敛域：收敛域：收敛域：收敛域：一般情况下，取二者的重叠部分一般情况下，取二者的重叠部分一般情况下，取二者的重叠部分一般情况下，取二者的重叠部分即即即即描述：描述：描述：描述：两序列在两序列在两序列在两序列在时时时时域中的域中的域中的域中的卷积卷积卷积卷积的的的的z z变换等效于在变换等效于在变换等效于在变换等效于在z z域两域两域两域两序列序列序列序列z z变换的变换的变换的变换的乘积乘积乘积乘

15、积。注意：注意：注意：注意：如果在某些如果在某些如果在某些如果在某些线性组合线性组合线性组合线性组合中某些中某些中某些中某些零点与极点相抵消零点与极点相抵消零点与极点相抵消零点与极点相抵消，则收敛域则收敛域则收敛域则收敛域可能扩大可能扩大可能扩大可能扩大。例例例例8-5-78-5-7返回返回返回返回第17页/共35页证明时域卷积定证明时域卷积定理理因为因为因为因为 所以所以所以所以返回返回返回返回第18页/共35页(八八)序列相乘（序列相乘（z域卷积定理）域卷积定理）*返回返回返回返回则则则则若若若若 Z Z x x(n n)=)=X X(z z)()(R Rx x1 1|z z|R Rx x

16、2 2)Z Z h h(n n)=)=H H(z z)()(R Rh h1 1|z z|R Rh h2 2)或或或或其中其中其中其中C C1 1、C C2 2分别为分别为分别为分别为X X(z z/v v)与与与与H H(v v)或或或或X X(z z)与与与与H H(z/vz/v)收敛域重叠部分收敛域重叠部分收敛域重叠部分收敛域重叠部分内逆时针旋转的围线。内逆时针旋转的围线。内逆时针旋转的围线。内逆时针旋转的围线。收敛域收敛域收敛域收敛域(ROC)(ROC)：R Rx x11R Rh h11|z z|R Rx x22R Rh h2 2例例例例8-5-88-5-8第19页/共35页证明证明z域

17、卷积定理域卷积定理可以看出：可以看出：可以看出：可以看出：X X(v v)的收敛域与的收敛域与的收敛域与的收敛域与X X(z z)相同，为相同，为相同，为相同，为R Rx x1 1|v v|R Rx x2 2 H H(z z/v v)的收敛域与的收敛域与的收敛域与的收敛域与H H(z z)相同，为相同，为相同，为相同，为R Rh h1 1|z/vz/v|R Rh h2 2两式合并，得到两式合并，得到两式合并，得到两式合并，得到Z Z x x(n n)h h(n n)收敛域收敛域收敛域收敛域(ROC)(ROC)：R Rx x11R Rh h11|z z|R Rx x22R Rh h2 2返回返回

18、返回返回第20页/共35页(九九)复序列的共扼复序列的共扼*若若若若 Z Z x x(n n)=)=X X(z z)()(R Rx x1 1|z z|R Rx x2 2)则则则则 Z Z x*x*(n n)=)=X*X*(z*z*)()(R Rx x1 1|z z|R Rx x2 2)返回返回返回返回第21页/共35页(十十)时间反转时间反转*若若若若 Z Z x x(n n)=)=X X(z z)(ROC)(ROC:R R)则则则则 Z Z x x(-(-n n)=)=X X(1/(1/z z)(ROC)(ROC:1/1/R R)返回返回返回返回第22页/共35页(十一十一)帕斯瓦尔定理帕斯

19、瓦尔定理*则则则则若若若若 Z Z x x(n n)=)=X X(z z)()(R Rx x1 1|z z|R Rx x2 2)Z Z y y(n n)=)=Y Y(z z)()(R Ry y1 1|z z|R Ry y2 2)ROCROC满足以下条件：满足以下条件：满足以下条件：满足以下条件：R Rx x11R Ry y1 11,11这就是这就是这就是这就是z z域的域的域的域的帕斯瓦尔方程。帕斯瓦尔方程。帕斯瓦尔方程。帕斯瓦尔方程。如果如果如果如果y y(n n)是实序列，上式去掉共扼号是实序列，上式去掉共扼号是实序列，上式去掉共扼号是实序列，上式去掉共扼号*。C C所在所在所在所在ROC

20、ROC为：为：为：为：maxmaxR Rx x1 1,1/,1/R Ry y2 2|z z|min|minR Rx x2 2,1/,1/R Ry y1 1 令令令令ww(n n)=)=x x(n n)y y*(*(n n)，利用，利用，利用，利用复序列共扼和复序列共扼和复序列共扼和复序列共扼和z z域卷积定理特性域卷积定理特性域卷积定理特性域卷积定理特性(ROCROC：R Rx x11R Ry y11|z z|R Rx x22R Ry y22)由于假设条件规定由于假设条件规定由于假设条件规定由于假设条件规定ROCROC满足：满足：满足：满足：R Rx x11R Ry y1 111|maxmax

21、(a a,b b)解：解：解：解：由由由由Y Y(z z)求求求求y y(n n)返回返回返回返回第33页/共35页例例8-5-8返回返回返回返回利用利用利用利用z z域卷积定理求域卷积定理求域卷积定理求域卷积定理求nanan nu u(n n)的的的的z z变换变换变换变换(0(0aa1|1与与与与|z z/v v|a a的重叠区域，即要求的重叠区域，即要求的重叠区域，即要求的重叠区域，即要求1|1|v v|1|1，|a a|1|1，所以围线，所以围线，所以围线，所以围线C C只包围一个二阶极点只包围一个二阶极点只包围一个二阶极点只包围一个二阶极点v v=1=1，如图所示。，如图所示。，如图所示。，如图所示。第34页/共35页感谢您的观看！第35页/共35页