选修空间向量的正交分解及其坐标表示.pptx

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1、会计学1选修空间向量的正交分解及其坐标表示选修空间向量的正交分解及其坐标表示lOP例1 在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直。已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线，斜线,AO是PA在平面内的射影，A第1页/共17页lOPA已知：如图，PO,PA分别是平面的垂线，斜线,AO是PA在平面内的射影，a第2页/共17页分析:同样可用向量,证明思路几乎一样,只不过其中的加法运算用减法运算来分析.第3页/共17页nlmgnzmgl例2 如图，m,n是平面内的两条相交直线。如果lm,ln,求证：l第4页/共17页3.1.4空间向量的正交分 解及其坐标表示第5页/共

2、17页共线向量定理:复习：共面向量定理:第6页/共17页平面向量基本定理：平面向量的正交分解及坐标表示xyo第7页/共17页问题：我们知道，平面内的任意一个向量 都可以用两个不共线的向量 来表示（平面向量基本定理）。对于空间任意一个向量，有没有类似的结论呢？xyzOQP 由此可知，如果 是空间两两垂直的向量，那么，对空间任一向量 ，存在一个有序实数组 x,y,z使得 我们称 为向量 在 上的分向量。第8页/共17页探究：在空间中，如果用任意三个不共面向量 代替两两垂直的向量 ，你能得出类似的 结论吗？任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。空间向量基本定理：如果三个向量 不共面，那么对空间

3、任一向量 ，存在一个唯一的有序实数组x，y，z，使都叫做基向量第9页/共17页（1）任意不共面的三个向量都可做为空间的一个基底。特别提示：对于基底a,b,c,除了应知道a,b,c不共面，还应明确：（2）由于可视 为与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着它们都不是 。（3）一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关连的不同概念。推论：设O、A、B、C是不共线的四点，则对空间任一点P，都存在唯一的有序实数组x,y,z，使 当且仅当x+y+z=1时，P、A、B、C四点共面。第10页/共17页一、空间直角坐标系 单位正交基底：如果空间的一

4、个基底的三个基向量互相垂直，且长都为1，则这个基底叫做单位正交基底,常用e1,e2,e3 表示 空间直角坐标系：在空间选定一点O和一个单位正交基底 e1,e2,e3,以点O为原点，分别以e1,e2,e3的正方向建立三条数轴：x轴、y轴、z轴，它们都叫做坐标轴.这样就建立了一个空间直角坐标系O-xyz 点O叫做原点，向量e1,e2,e3都叫做坐标向量.通过每两个坐标轴的平面叫做坐标平面。第11页/共17页 给定一个空间坐标系和向量 ,且设e1,e2,e3为坐标向量，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组(x,y,z)使 p=xe1+ye2+ze3 有序数组(x,y,z)叫做p在空间直角坐标系O

5、-xyz中的坐标，记作.P=(x,y,z)二、空间向量的直角坐标系xyzOe1e2e3第12页/共17页 在空间直角坐标系O-xyz中，对空间任一点，A,对应一个向量OA，于是存在唯一的有序实数组x,y,z，使 OA=xe1+ye2+ze3 在单位正交基底e1,e2,e3中与向量OA对应的有序实数组(x,y,z)，叫做点A在此空间直角坐标系中的坐标，记作A(x,y,z)，其中x叫做点A的横坐标，y叫做点A的纵坐标，z叫做点A的竖坐标.xyzOA(x,y,z)e1e2e3第13页/共17页练习：1、在空间坐标系o-xyz中，(分别是与x轴、y轴、z轴的正方向相同的单位向量)则 的坐标为 ，点B的坐标为 。2、点M（2，-3，-4）在坐标平面xoy、xoz、yoz内的正投影的坐标分别为 ，关于原点的对称点为 ，关于轴的对称点为 ，第14页/共17页例题已知空间四边形OABC，其对角线为OB，AC，M，N，分别是对边OA，BC的中点，点P，Q是线段MN三等分点，用基向量OA，OB，OC表示向量OP,OQ.BOACPNMQ第15页/共17页1、已知向量a，b，c是空间的一个基底求证：向量a+b，a-b，c能构成空间的一个基底练习第16页/共17页