2018届高三数学二轮复习专题二函数与导数刺第3讲导数及其应用第2课时导数的综合应用ppt课件文.pptx

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1、第第2 2课时导数的综合应用课时导数的综合应用总纲目录考点一 利用导数证明不等式考点二 利用导数解决不等式的恒成立、存在性问题考点三 利用导数解决函数零点或方程根的问题考点一利用导数证明不等式若证明f(x)g(x),xa,b,只需构造函数F(x)=f(x)-g(x),xa,b,证明F(x)max0即可;同理若证明f(x)g(x),xa,b,只需构造函数F(x)=f(x)-g(x),xa,b,证明F(x)min0即可.典型例题典型例题(2016课标,21,12分)设函数f(x)=ln x-x+1.(1)讨论f(x)的单调性;(2)证明当x(1,+)时,11,证明当x(0,1)时,1+(c-1)x

2、cx.解析解析(1)由题设知,f(x)的定义域为(0,+),f(x)=-1,令f(x)=0,解得x=1.当0 x0,f(x)单调递增;当x1时,f(x)0,f(x)单调递减.(2)证法一:x(1,+),不等式1x等价于ln xx-11).则h(x)=-1=0.h(x)在(1,+)上单调递减.h(x)h(1)=0,即ln x-x+10,ln x1).则g(x)=1-(ln x+1)=-ln x0.g(x)在(1,+)上单调递减.g(x)g(1)=0,即x-1-xln x0,x-1xln x.综上,当x(1,+)时,ln xx-1xln x,即1x.证法二:由(1)知f(x)在x=1处取得最大值,

3、最大值为f(1)=0.所以当x1时,ln xx-1.故当x(1,+)时,ln xx-1,ln-1,即11,设g(x)=1+(c-1)x-cx,则g(x)=c-1-cxln c,令g(x)=0,解得x0=.当x0,g(x)单调递增;当xx0时,g(x)0,g(x)单调递减.由(2)知1c,故0 x01.又g(0)=g(1)=0,故当0 x0.所以当x(0,1)时,1+(c-1)xcx.方法归纳方法归纳利用导数证明不等式的基本步骤(1)作差变形;(2)构造新的函数F(x);(3)对F(x)求导;(4)利用F(x)判断F(x)的单调性或取值;(5)下结论.跟踪集训跟踪集训(2017山西太原第二次模拟

4、)已知函数f(x)=ex-ax2-2x(aR).(1)当a=0时,求f(x)的最小值;(2)当a-1在(0,+)上恒成立.解析解析(1)当a=0时,f(x)=ex-2x,f(x)=ex-2.令f(x)0,得xln 2,令f(x)0,得xln 2.f(x)在(-,ln 2)上单调递减,在(ln 2,+)上单调递增.f(x)min=f(ln 2)=2-2ln 2.(2)证法一:原不等式等价于a0,则g(x)=.令h(x)=(x-2)ex+2x+e-2,x0,则h(x)=(x-1)ex+2,令t(x)=(x-1)ex+2,x0,则t(x)=xex0.h(x)=t(x)在(0,+)上单调递增,h(0)

5、=10,h(x)0在(0,+)上恒成立,h(x)在(0,+)上单调递增,又h(1)=0,当0 x1时,h(x)0,g(x)1时,h(x)0,g(x)0,g(x)在(1,+)上单调递增,g(x)g(1)=-1.a-1,ag(x)在(0,+)上恒成立,原不等式成立.证法二:当a1-2=3-e0,f(x)=p(x)=ex-2ax-2在(0,+)上单调递增,又f(0)=-1e-2-2=0,存在x0(0,1),使得f(x0)=0,即-2ax0-2=0,a=.当x(0,x0)时,f(x)0,f(x)在(0,x0)上单调递减,在(x0,+)上单调递增,当x(0,+)时,f(x)min=f(x0)=-a-2x

6、0=-x0-x0,0 x01,令m(x)=ex-exx-x(0 x1),则m(x)=ex(1-x)-1,令n(x)=ex(1-x)-1(0 x1),则n(x)=-xex0,n(x)在(0,1)上单调递减,m(x)=n(x)n(0)=-m(1)=-1,f(x)f(x0)-1.考点二利用导数解决不等式的恒成立、存在性问题“恒成立”与“存在性”问题可看作一类问题,一般都可通过求相关函数的最值来解决,如:当f(x)在xD上存在最大值和最小值时,若f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)在xD上的最小值,将原条件转化为g(a)f(x)min,若f(x)g(a)对于xD恒成立,应求f(x)在xD上的最

7、大值,将原条件转化为g(a)f(x)max;若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)在xD上的最大值,将原条件转化为g(a)f(x)max,若存在xD,使得f(x)g(a)成立,应求f(x)在xD上的最小值,将原条件转化为g(a)f(x)min.典型例题典型例题(2017课标全国,21,12分)设函数f(x)=(1-x2)ex.(1)讨论f(x)的单调性;(2)当x0时,f(x)ax+1,求a的取值范围.解析解析(1)f(x)=(1-2x-x2)ex.令f(x)=0,得x=-1-或x=-1+.当x(-,-1-)时,f(x)0;当x(-1+,+)时,f(x)0.所以f(x)在(-,-1

8、-),(-1+,+)单调递减,在(-1-,-1+)单调递增.(2)f(x)=(1+x)(1-x)ex.当a1时,设函数h(x)=(1-x)ex,h(x)=-xex0),因此h(x)在0,+)单调递减,而h(0)=1,故h(x)1,所以f(x)=(x+1)h(x)x+1ax+1.当0a0(x0),所以g(x)在0,+)单调递增,而g(0)=0,故exx+1.当0 x(1-x)(1+x)2,(1-x)(1+x)2-ax-1=x(1-a-x-x2),取x0=,则x0(0,1),(1-x0)(1+x0)2-ax0-1=0,故f(x0)ax0+1.当a0时,取x0=,则x0(0,1),f(x0)(1-x

9、0)(1+x0)2=1ax0+1.综上,a的取值范围是1,+).方法归纳方法归纳对于不等式恒成立问题,可从函数角度转化为求函数的最值问题,也可以采用分离变量法将变量分离出来,进而转化为求函数的最值,从而求得参数的范围.跟踪集训跟踪集训(2017福建八校适应性考试)已知函数f(x)=ln x+ax2+bx,a,bR.(1)若a=-2,b=1,求函数f(x)的单调区间;(2)若对任意的a1,+),f(x)0在x1,+)上恒成立,求实数b的取值范围.解析解析(1)函数f(x)的定义域为(0,+),当a=-2,b=1时,f(x)=ln x-x2+x,f(x)=-2x+1=.令f(x)0,得0 x1;令

10、f(x)1.所以函数f(x)的单调递增区间为(0,1),单调递减区间为(1,+).(2)解法一:f(x)=ln x+ax2+bx0在x1,+)上恒成立等价于ln x+bx-x2a在x1,+)上恒成立,因为对任意的a1,+),ln x+bx-x2a在x1,+)上恒成立,所以等价于ln x+bx-x2在x1,+)上恒成立,即ln x+x2+bx0在x1,+)上恒成立.令g(x)=ln x+x2+bx,则g(x)=+x+b=,令g(x)=0,则x2+bx+1=0,=b2-4.当-2b2时,0,即g(x)0恒成立,g(x)=ln x+x2+bx在x1,+)上为增函数,要使g(x)0在x1,+)上恒成立

11、,只需g(1)=ln 1+12+b=+b0,此时-b2.当b2时,显然g(x)0恒成立,g(x)=ln x+x2+bx在x1,+)上为增函数,要使g(x)0在x1,+)上恒成立,只需g(1)=ln 1+12+b=+b0,此时b2.当b0,令g(x)=0,得x1=,x2=,因为x2=1,且x1x2=1,所以0 x11,g(x)=,当1xx2时,g(x)x2时,g(x)0,所以当x1,x2)时,函数g(x)为减函数,g(x)g(1)=+b0,即g(x)0在x1,+)上恒成立,即g(x)在x1,+)上为增函数,所以g(x)min=g(1)=,所以-b,b-.故满足条件的实数b的取值范围是.考点三利用

12、导数解决函数零点或方程根的问题研究函数零点或方程根的情况,可以通过导数研究函数的单调性、最大值、最小值、变化趋势等,并借助函数的大致图象判断函数零点或方程根的情况.典型例题典型例题(2016课标,21,12分)已知函数f(x)=(x-2)ex+a(x-1)2.(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)有两个零点,求a的取值范围.解析解析(1)f(x)=(x-1)ex+2a(x-1)=(x-1)(ex+2a).(i)设a0,则当x(-,1)时,f(x)0.所以f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.(ii)设a-,则ln(-2a)0;当x(ln(-2a),1)时,f(x)0.所以f

13、(x)在(-,ln(-2a),(1,+)单调递增,在(ln(-2a),1)单调递减.若a1,故当x(-,1)(ln(-2a),+)时,f(x)0;当x(1,ln(-2a)时,f(x)0,则由(1)知,f(x)在(-,1)单调递减,在(1,+)单调递增.又f(1)=-e,f(2)=a,取b满足b0且b(b-2)+a(b-1)2=a0,所以f(x)有两个零点.(ii)设a=0,则f(x)=(x-2)ex,所以f(x)只有一个零点.(iii)设a0,若a-,则由(1)知,f(x)在(1,+)单调递增,又当x1时f(x)0,故f(x)不存在两个零点;若a-,则由(1)知,f(x)在(1,ln(-2a)

14、单调递减,在(ln(-2a),+)单调递增,又当x1时f(x)0,由f(1)=a+1=0,解得a=-1,则f(x)=-x+xln x,f(x)=ln x,令f(x)0,解得x1;令f(x)0,解得0 x-1,即m-2,当0 x1时,f(x)=x(-1+ln x)0且x0时,f(x)0;当x+时,显然f(x)+.如图,由图象可知,m+10,即m-1,由可得-2m0且a1),且函数h(x)的图象在(1,0)处的切线方程为x-y-1=0,f(x)=mh(x)+x2+1.(1)讨论函数f(x)的单调性:(2)当-1m0时,若函数F(x)=f(x)-1-ln(-m)在区间(0,+)上的图象恒在x轴上方,

15、求实数m的取值范围.随堂检测随堂检测解析解析(1)h(x)=logax,h(x)=,h(1)=1,a=e,h(x)=ln x.f(x)=mln x+x2+1,f(x)=+(m+1)x=,x(0,+).当m+10,即m-1时,f(x)0,f(x)在区间(0,+)上单调递增;当-1m0时,令f(x)=0,得x=,f(x)在区间上单调递减,在区间上单调递增.综上所述,当m-1时,f(x)在区间(0,+)上单调递减;当-1m0在区间(0,+)上恒成立,即f(x)1+ln(-m)在区间(0,+)上恒成立.由(1)知,当-1m1+ln(-m),即mln+11+ln(-m),整理得ln(m+1)-1,m-1,又-1m0,-1m0.故实数m的取值范围为.