数论专题典型结论汇总-.pdf

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1、数论专题典型结论汇总整除一、常见数字的整除判定方法1.一个数的末位能被2 或 5 整除，这个数就能被2 或 5 整除；一个数的末两位能被4 或 25 整除，这个数就能被4 或 25 整除；一个数的末三位能被8 或 125 整除，这个数就能被8 或 125 整除；2.一个位数数字和能被3 整除，这个数就能被3 整除；一个数各位数数字和能被9 整除，这个数就能被9 整除；3.如果一个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差能被11 整除，那么这个数能被 11 整除.4.如果一个整数的末三位与末三位以前的数字组成的数之差能被7、11 或 13 整除，那么这个数能被7、11 或 13 整除.5

2、.如果一个数能被99 整除，这个数从后两位开始两位一截所得的所有数（如果有偶数位则拆出的数都有两个数字，如果是奇数位则拆出的数中若干个有两个数字还有一个是一位数）的和是99 的倍数，这个数一定是99 的倍数。【备注】（以上规律仅在十进制数中成立.）二、整除性质性质 1 如果数a和数b都能被数c整除，那么它们的和或差也能被c整除即如果ca，cb，那么c(ab)性质 2 如果数a能被数b整除，b又能被数c整除，那么a也能被c整除即如果ba，cb，那么ca用同样的方法，我们还可以得出：性质 3如果数a能被数b与数c的积整除，那么a也能被b或c整除即如果bca，那么ba，ca性质 4如果数a能被数b整

3、除，也能被数c整除，且数b和数c互质，那么a一定能被b与c的乘积整除即如果ba，ca，且(b，c)=1，那么bca例如：如果312，412，且(3，4)=1，那么(34)12性质 5 如果数a能被数b整除，那么am也能被bm整除如果ba，那么bmam（m为非 0 整数）；性质 6如果数a能被数b整除，且数c能被数d整除，那么ac也能被bd整除如果ba，且dc，那么bdac；质数合数一、判断一个数是否为质数的方法根据定义如果能够找到一个小于p的质数q(均为整数)，使得q能够整除p，那么p就不是质数，所以我们只要拿所有小于p的质数去除p就可以了；但是这样的计算量很大，对于不太大的p，我们可以先找一

4、个大于且接近p的平方数2K，再列出所有不大于K的质数，用这些质数去除p，如没有能够除尽的那么p就为质数.例如：149 很接近14412 12，根据整除的性质149 不能被 2、3、5、7、11 整除，所以149 是质数.二、唯一分解定理任何一个大于1 的自然数n都可以写成质数的连乘积，即：312123kaaaaknpppp|其中为质数，12kaaa为自然数，并且这种表示是唯一的.该式称为n的质因子分解式.例如：三个连续自然数的乘积是210，求这三个数.分析：210=2357，可知这三个数是5、6 和 7.三、部分特殊数的分解111337；10017 11 13；1111141 271；1000

5、173 137；19953 57 19；1998233 337；20073 3223；2008222251；10101 37 13 37.约数倍数一、求最大公约数的方法分解质因数法：先分解质因数，然后把相同的因数连乘起来例如：2313 711，22252237，所以(231,252)3721；短除法：先找出所有共有的约数，然后相乘 例如：218123 9632，所以(12,18)236；辗转相除法：每一次都用除数和余数相除，能够整除的那个余数，就是所求的最大公约数 用辗转相除法求两个数的最大公约数的步骤如下：先用小的一个数除大的一个数，得第一个余数；再用第一个余数除小的一个数，得第二个余数；又

6、用第二个余数除第一个余数，得第三个余数；这样逐次用后一个余数去除前一个余数，直到余数是0 为止那么，最后一个除数就是所求的最大公约数(如果最后的除数是1，那么原来的两个数是互质的)例如，求600 和 1515 的最大公约数：1515 6002315；6003151285；315285130；28530915；30 1520；所以 1515 和 600 的最大公约数是15二、最大公约数的性质几个数都除以它们的最大公约数，所得的几个商是互质数；几个数的公约数，都是这几个数的最大公约数的约数；几个数都乘以一个自然数n，所得的积的最大公约数等于这几个数的最大公约数乘以n 三、求一组分数的最大公约数先把

7、带分数化成假分数，其他分数不变；求出各个分数的分母的最小公倍数a；求出各个分数的分子的最大公约数b；ba即为所求四、约数、公约数最大公约数的关系（1）约数是对一个数说的；（2）公约数是最大公约数的约数，最大公约数是公约数的倍数五、求最小公倍数的方法分解质因数的方法；例如：2313 711，22252237，所以22231,252237112772；短除法求最小公倍数；-1|-1|L_ L一|例如：2181239632，所以18,12233236；,(,)aba ba b六、最小公倍数的性质两个数的任意公倍数都是它们最小公倍数的倍数两个互质的数的最小公倍数是这两个数的乘积两个数具有倍数关系，则它

8、们的最大公约数是其中较小的数，最小公倍数是较大的数七、求一组分数的最小公倍数方法步骤先将各个分数化为假分数；求出各个分数分子的最小公倍数a；求出各个分数分母的最大公约数b；ba即为所求例如：353,515,4 12(4,12)4注意：两个最简分数的最大公约数不能是整数，最小公倍数可以是整数.例如：1,41 4,42 32,3八、倍数、公倍数、最小公倍数的关系（1）倍数是对一个数说的；（2）最小公倍数是公倍数的约数，公倍数是最小公倍数的倍数九、最大公约数与最小公倍数的常用性质1 两个自然数分别除以它们的最大公约数，所得的商互质。如果 m 为A、B的最大公约数，且Ama，Bmb，那么ab、互质，所

9、以A、B的最小公倍数为mab，所以最大公约数与最小公倍数有如下一些基本关系：ABma mbm mab，即两个数的最大公约数与最小公倍数之积等于这两个数的积；最大公约数是A、B、AB、AB及最小公倍数的约数2 两个数的最大公约和最小公倍的乘积等于这两个数的乘积。即(,),a ba bab，此性质比较简单，学生比较容易掌握。3 对于任意3个连续的自然数，如果三个连续数的奇偶性为a)奇偶奇，那么这三个数的乘积等于这三个数的最小公倍数例如：567210，210 就是 567 的最小公倍数b)偶奇偶，那么这三个数的乘积等于这三个数最小公倍数的2 倍例如：6 78336，而 6,7,8的最小公倍数为336

10、2168性质（3）不是一个常见考点，但是也比较有助于学生理解最小公倍数与数字乘积之间的大小关系，即“几个数最小公倍数一定不会比他们的乘积大”。十、求约数个数与所有约数的和1 求任一整数约数的个数一个整数的约数的个数是在对其严格分解质因数后，将每个质因数的指数(次数)加 1L_ L一M L土主后所得的乘积。如:1400严 格 分 解 质 因 数 之 后 为32257，所 以 它 的 约 数 有(3+1)(2+1)(1+1)=4 32=24 个。(包括 1 和 1400 本身)约数个数的计算公式是本讲的一个重点和难点，授课时应重点讲解，公式的推导过程是建立在开篇讲过的数字“唯一分解定理”形式基础之

11、上，结合乘法原理推导出来的，不是很复杂，建议给学生推导并要求其掌握。难点在于公式的逆推，有相当一部分常考的偏难题型考察的就是对这个公式的逆用，即先告诉一个数有多少个约数，然后再结合其他几个条件将原数“还原构造”出来，或者是“构造出可能的最值”。2 求任一整数的所有约数的和一个整数的所有约数的和是在对其严格分解质因数后，将它的每个质因数依次从1加至这个质因数的最高次幂求和，然后再将这些得到的和相乘，乘积便是这个合数的所有约数的和。如：33210002357，所以 21000 所有约数的和为2323(1222)(13)(1555)(17)74880此公式没有第一个公式常用，推导过程相对复杂，需要许

12、多步提取公因式，建议帮助学生找规律性的记忆即可。十一、完全平方数常用性质1.主要性质1.完全平方数的尾数只能是0，1，4，5，6，9。不可能是2，3，7，8。2.在两个连续正整数的平方数之间不存在完全平方数。3.完全平方数的约数个数是奇数，约数的个数为奇数的自然数是完全平方数。4.若质数p整除完全平方数2a，则p能被 a 整除。2.性质性质 1：完全平方数的末位数字只可能是0，1，4，5，6，9性质 2：完全平方数被3，4，5，8，16除的余数一定是完全平方数性质 3：自然数N为完全平方数自然数N约数的个数为奇数因为完全平方数的质因数分解中每个质因数出现的次数都是偶数次，所以，如果p是质数，n

13、是自然数，N是完全平方数，且21|npN，则2|npN 性质 4：完全平方数的个位是6它的十位是奇数性质 5：如果一个完全平方数的个位是0，则它后面连续的0的个数一定是偶数如果一个完全平方数的个位是5，则其十位一定是2，且其百位一定是0，2，6中的一个性质 6：如果一个自然数介于两个连续的完全平方数之间，则它不是完全平方数3.一些重要的推论1.任何偶数的平方一定能被4 整除；任何奇数的平方被4（或 8）除余 1.即被 4 除余 2 或 3 的数一定不是完全平方数。2.一个完全平方数被3 除的余数是0或 1.即被 3 除余 2 的数一定不是完全平方数。3.自然数的平方末两位只有：00，01，21

14、，41，61，81，04，24，44，64，84，25，09，29，49，69，89，16，36，56，76，96。4.完全平方数个位数字是奇数（1，5，9）时，其十位上的数字必为偶数。5.完全平方数个位数字是偶数（0，4）时，其十位上的数字必为偶数。6.完全平方数的个位数字为6 时，其十位数字必为奇数。7.凡个位数字是5 但末两位数字不是25 的自然数不是完全平方数；末尾只有奇数个“0”的自然数不是完全平方数；个位数字为1，4，9 而十位数字为奇数的自然数不是完全平方数。3.重点公式回顾：平方差公式：22()()abab ab余数一、三大余数定理：1.余数的加法定理a与b的和除以c的余数，等

15、于a,b分别除以c的余数之和，或这个和除以c的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 23+1639 除以 5 的余数等于4，即两个余数的和3+1.当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之和再除以c的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是3 和 4，所以 23+19 42 除以 5 的余数等于3+4=7除以 5 的余数为2 2.余数的减法定理a与b的差除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数之差。例如：23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 23167 除以 5 的余数等于2，两个余数差 312.当余数的差不够减时时，补上除数再减。例如：23，14

16、 除以 5 的余数分别是3 和 4，23149 除以 5的余数等于4，两个余数差为 3 544 3.余数的乘法定理a与b的乘积除以c的余数，等于a,b分别除以c的余数的积，或者这个积除以c所得的余数。例如：23，16 除以 5 的余数分别是3 和 1，所以 2316 除以 5 的余数等于31 3。当余数的和比除数大时，所求的余数等于余数之积再除以c的余数。例如：23，19 除以 5 的余数分别是3 和 4，所以 2319 除以 5 的余数等于34 除以 5的余数，即2.乘方：如果a与b除以m的余数相同，那么na与nb除以m的余数也相同二、同余定理1、定义：若两个整数a、b被自然数m除有相同的余

17、数，那么称a、b对于模m同余，用式子表示为：ab(modm)，左边的式子叫做同余式。同余式读作：a同余于b，模m。2、重要性质及推论：（1）若两个数a，b除以同一个数m得到的余数相同，则a，b的差一定能被m整除例如：17与11除以3的余数都是2，所以17 11（）能被3整除（2）用式子表示为：如果有ab(modm)，那么一定有abmk,k是整数，即m|(ab)3、余数判别法当一个数不能被另一个数整除时，虽然可以用长除法去求得余数，但当被除位数较多时，计算是很麻烦的建立余数判别法的基本思想是：为了求出“N被m除的余数”，我们希望找到一个较简单的数R，使得：N与R对于除数m同余由于R是一个较简单的

18、数，所以可以通过计算R被m除的余数来求得N被m除的余数 整数N被 2 或 5 除的余数等于N的个位数被2 或 5 除的余数；整数N被 4 或 25 除的余数等于N的末两位数被4 或 25 除的余数；整数N被 8 或 125 除的余数等于N的末三位数被8 或 125 除的余数；整数N被 3 或 9 除的余数等于其各位数字之和被3 或 9 除的余数；整数N被 11 除的余数等于N的奇数位数之和与偶数位数之和的差被11 除的余数；（不够减的话先适当加 11 的倍数再减）；整数N被 7，11 或 13 除的余数等于先将整数N从个位起从右往左每三位分一节，奇数节的数之和与偶数节的数之和的差被7，11 或

19、 13 除的余数就是原数被7，11 或 13除的余数奇偶一、奇数与偶数的运算性质性质 1：偶数偶数=偶数，奇数奇数=偶数性质 2：偶数奇数=奇数性质 3：偶数个奇数的和或差是偶数性质 4：奇数个奇数的和或差是奇数性质 5：偶数奇数=偶数，奇数奇数=奇数，偶数偶数=偶数二、两个实用的推论推论 1：在加减法中偶数不改变运算结果奇偶性，奇数改变运算结果的奇偶性。推论 2：对于任意2 个整数a,b,有a+b与a-b同奇或同偶位值原理一、位值原理的定义：同一个数字，由于它在所写的数里的位置不同，所表示的数值也不同。也就是说，每一个数字除了有自身的一个值外，还有一个“位置值”。例如“2”,写在个位上，就表

20、示2 个一，写在百位上，就表示2 个百，这种数字和数位结合起来表示数的原则，称为写数的位值原理。二、位值原理的表达形式：以六位数为例：abcdefa 100000+b 10000+c 1000+d 100+e 10+f。三、解位值一共有三大法宝：（1）最简单的应用解数字谜的方法列竖式（2）利用十进制的展开形式，列等式解答（3）把整个数字整体的考虑设为x，列方程解答进制1.十进制：我们常用的进制为十进制，特点是“逢十进一”。在实际生活中，除了十进制计数法外，还有其他的大于1 的自然数进位制。比如二进制，八进制，十六进制等。2.二进制：在计算机中，所采用的计数法是二进制，即“逢二进一”。因此，二进

21、制中只用两个数字 0 和 1。二进制的计数单位分别是1、21、22、23、，二进制数也可以写做展开式的形式，例如100110 在二进制中表示为：(100110)2=125+024+023+122+121+020。二进制的运算法则：“满二进一”、“借一当二”，乘法口诀是：零零得零，一零得零，零一得零，一一得一。注意：对于任意自然数n,我们有n0=1。3.k进制：一般地，对于k进位制，每个数是由0，1，2，1k（）共k个数码组成，且“逢k进一”1k k（）进位制计数单位是0k，1k，2k，如二进位制的计数单位是02，12，22，八进位制的计数单位是08，18，28，4.k进位制数可以写成不同计数单

22、位的数之和的形式1110110nnnnknna aa aakakaka（）m川|十进制表示形式：1010101010nnnnNaaa；二进制表示形式：1010222nnnnNaaa；为了区别各进位制中的数，在给出数的右下方写上k，表示是k进位制的数如：8352（），21010（），123145（）,分别表示八进位制，二进位制，十二进位制中的数5.k进制的四则混合运算和十进制一样先乘除，后加减；同级运算，先左后右；有括号时先计算括号内的。6.进制间的转换：一般地，十进制整数化为k进制数的方法是：除以k取余数，一直除到被除数小于k为止，余数由下到上按从左到右顺序排列即为k进制数反过来，k进制数化为十进制数的一般方法是：首先将k进制数按k的次幂形式展开，然后按十进制数相加即可得结果